《2020 全国硕士研究生入学统一考试数学真题试卷及答案解析三》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020 全国硕士研究生入学统一考试数学真题试卷及答案解析三（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020年年考研数学三真题 一、选择题： 1-8小题，第小题4分，共32分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上 1设Jimf(x)-a =b, 则Jim sin/(x)-sina x-+00 x-a x-+00 x-a A. bsina B. bcosa C.b sin/(a) D. b cosf(a) 1 2./(t) = e 7-1Jn I 1 + x I (ex-l)(x-2)第二类间断点个数 A.I B.2 C.3 D.4 3设奇函数f(x)在(-00,+心）上具有连续导数，则 Ar cosf(t)+ f(t)dt是奇函数 。
2、Blcos f(t) + f(t) dt是偶函数 。 c.r cos 1(t) + f(t) dt是奇函数 。 D. f cosf(t)+ f(t)dt是偶函数 。 00 4设幕级数na11(x -2)11的收敛区间为(-2, 6), 则 a 11(x + 1) 211 的收敛区间为（） A. (-2, 6) B. C-3, 1) C. (-5, 3) D. (-17, 15) 5设4阶矩阵A= (aif) 不可逆，a12的代数余子式 A12* O,q,q,q,q为矩阵A的列向噩 第 1 页 2020 全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解 一、选择题
3、：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上. （1）设 ( )( ) lim xa f xf a b xa ，则 sin( )sin lim xa f xa xa （） （A）sinba（B）cosba（C）sin( )bf a（D）cos( )bf a 【答案】（B） 【解析】由 ( ) lim, xa f xa b xa 得( ),( )f aa fab ，则 （2）函
4、数 1 1ln 1 ( ) (1)(2) x x ex f x ex 的第二类间断点的个数为（） （A）1（B）2（C）3（D）4 【答案】（C） 【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x ，由此 1 1 1 2 1 111 ln 1 lim( )limlim ln 1 (1)(2)3(1) x x xxx exe f xx exe ； 1 11 000 ln 1ln(1)1 lim( )limlim (1)(2)22 x x xxx exex f x exxe ； 1 1 1 1 111 1 1 1 1 11 ln 1ln2 lim( )limlim0; (1)(2)1 ln 1l
5、n2 limlim; (1)(2)1 x x x xxx x x x xx ex f xe exe ex e exe ； 1 1 2 222 ln 1ln31 lim( )limlim (1)(2)(1)2 x x xxx exe f x exex 故函数的第二类间断点（无穷间断点）有 3 个，故选项（C）正确。 sin( )sinsin( )sin( ) limlimsin( )cos( )( )cos x a xaxa f xaf xf a f xf a faba xaxa 第 2 页 （3）设奇函数( )f x在(,) 上具有连续导数，则 （A） 0 cos( )( ) x f tf t
6、 dt 是奇函数 （B） 0 cos( )( ) x f tf t dt 是偶函数 （C） 0 cos( )( ) x f tf t dt 是奇函数 （D） 0 cos( )( ) x f tf t dt 是偶函数 【答案】（A） 【解析】由于 0 ( )cos( )( )cos( )( ) x F xf tf tdtf xfx ()cos()()cos( )( )Fxfxfxf xfx，故( )F x为偶函数。 则 0 ( )cos( )( ) x F xf tft dt 为奇函数 （偶函数的原函数为奇函数）。 故选项（A） 正确。 （4） 设幂级数 1 (2)n n n nax 的收敛区间
7、为( 2,6)， 则 2 1 (1) n n n nax 的收敛区间为 （） （A）( 2,6) （B）( 3,1) （C）( 5,3)（D）( 17,15) 【答案】（B） 【解析】 由题设 1 (2)n n n nax 收敛区间为2,6， 则收敛半径4R 。 故 2 1 (1) n n n ax 的 收敛半径为 2，因此其收敛区间为（3,1），即（B）为正确选项。 （5） 设 4 阶矩阵 ij Aa不可逆， 12 a的代数余子式 12 0A , 1234 , 为矩阵A的列向 量组， * A为A的伴随矩阵，则 * 0A x 的通解为（ ） （A） 112233 xkkk，其中 123 ,k
8、k k为任意常数 （B） 112234 xkkk，其中 123 ,k k k为任意常数 （C） 112334 xkkk，其中 123 ,k k k为任意常数 （D） 122334 xkkk，其中 123 ,k k k为任意常数 【答案】（C） 第 3 页 【解析】A由于不可逆， 4r A 故，0A .由由 * 12 014 13Ar Ar A ， 则 3r A ， * 1r A，故，故 * 0A x 的基础解系中有413 个无关解向量。 此外， * 0A AA E，则A的列向量为 * 0A x 的解。则由 12 0A ，可知，可知 134 , 线性 无关（向量组无关，则其延伸组无关），故 *
9、0A x 的通解为 112334 xkkk，即选 项（C）正确。 （6）设A为 3 阶矩阵， 12 , 为A的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 3 为A的属 于特征值1的特征向量，则 1 100 010 001 P AP 的可逆矩阵P为（ ） （A） 1323 , （B） 1223 , （C） 1332 , （D） 1232 , 【答案】（D） 【解析】设 123 (,)P ，若 1 100 010 001 P AP ，则 13 , 应为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 2 应为 A 的属于特征值1的线性无关的特征向量。 这里根据题设， 12 , 为A的属于特征值为 1 的
10、线性无关的特征向量，则 12 也为 A的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量。 又因 3 为A的属于1的特征向量， 则 3 也 为A的属于特征值1的特征向量。且 1232123 12321231232 100100 (,)(,) 101101 010010 (,)(,)3, , rr 由于可逆， 故即线性无关 综上，若 1231232 ()(,),P ，则 1 100 010 001 P AP . 因此选项（D）正确。 第 4 页 （7）设, ,A B C为三个随机事件，且 1 , 4 P AP BP C0,P AB 1 12 P ACP BC,则, ,A B C中恰有一个事件发生的概率为（
11、 ） （A） 3 4 （B） 2 3 （C） 1 2 （D） 5 12 【答案】（D） 【解析】设, ,A B C中恰有一个事件发生的概率为p，则 ()()()pP ABCP ABCP ABC，,()0()0ABCAB P ABP ABC， ()()( )( () 111 ( )()()()= 4126 P ABCP ABCP AP A BC P AP ABP ACP ABC ； ()()( )( () 111 ( )()()()= 4126 P ABCP BACP BP B AC P BP ABP BCP ABC ； ()()( )( () 121 ( )()()()= 41212 P AB
12、CP CABP CP C AB P CP ACP BCP ABC ； 代入，可得 1115 661212 p . （8）设随机变量,X Y服从二维正态分布 1 0,0;1,4; 2 N ，随机变量中服从标准正态分 布且为X独立的是（ ） （A） 5 5 XY （B） 5 5 XY （C） 3 3 XY （D） 3 3 XY 【答案】C 【解析】由题意可知： 1 0,1 ,0,4 , 2 XY XNYN ， cov,1 XY X YD XD X (A) 5 0 5 EXY , 513 2cov, 555 DXYD XD YX Y 第 5 页 (B) 5 0 5 EXY ， 517 2cov, 5
13、55 DXYD XD YX Y (C) 3 0 3 EXY ， 31 2cov,1 33 DXYD XD YX Y （D） 3 0 3 EXY , 317 2cov, 333 DXYD XD YX Y 又 333 cov,cov,cov,10 333 XXYX XX YD X X则与 3 3 ZXY不相关， 又因 10 , 33 33 XX ZY 其中 10 33 33 可逆， 且 ,X Y服从二维正态分布，则,ZX也服从二维正态分布。对于二维正态分布，不相关与 独立等价，故选项（C）符合题意。 二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写
14、在答题纸分，请将答案写在答题纸 指定位置上指定位置上. （9）设arctansinzxyxy ，则0, dz 【答案】1 dxdy 【解析】 22 coscos , 1sin1sin yxyxxyzz xy xyxyxyxy 将0,带入得1,1 zz xy 因此 0, dz 1 dxdy (10)曲线 2 0 xy xye在点0, 1处的切线方程为 【答案】1yx. 【解析】 方程 2 0 xy xye两边对x求导即可得 2 1(22)0 xy yeyxy， 代入0, 1 可得(0)1 y ，则切线方程为10yx ，即1yx. 第 6 页 (11)Q表示产量，成本 10013C QQ,单价p，
15、需求量 800 2 3 q p p ，则工厂取得 利润最大时的产量为 【答案】8. 【解析】由 800800 23 32 qp pq 构造利润函数： 800 3100 13 2 q RCpqCqq q 求一阶导： 2 800(2)800 3 130 2 dqq dq q ， 得： 2 4960qq，12(,8qq 舍） 所以当8q 时，利润最大。 (12)设平面区域 2 1 ,01 21 x Dx yyx x ，则D绕y轴旋转所成旋转体体积 为 【答案】 1 ln2 3 【解析】 11 2 00 1 22 12 x Vxdxx dx x = 11 22 2 00 1 1 dxx dx x 1 ln2 3 （13）行列式 011 011 110 110 a a a a = 【答案】 42 4aa 【解析】 2 42 1000 01 11124 112 1011 aa aa aaaaaaaa aa aa 原式 （14）随机变量X的概率
