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1、课程名称,复变函数,教 材,复变函数(四版),西安交通大学高等数学教研室 编,课程简介,对 象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等。,复数与复变函数、解析函数、,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处。但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 果。,第一章 复数与复变函数,1 复数及其代数运算 2 复平面上的点集 3 复变函数的极限与连续,1.1 复数及其代数运算,1.
2、 复数的概念 2. 复数几何表示 3. 复数的四则运算 4. 复数的乘幂与方根 5. 复球面、扩充复球面,一般, 任意两个复数不能比较大小。,判断复数相等,第一章 复数与复变函数,1 复数及其代数运算,定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),2. 代数运算,四则运算,z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
3、.,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，,共轭复数的性质,1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法,复数的表示方法,1. 点的表示,3. 三角表示法,4. 指数表示法,由向量表示法知,辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，,z=0时，辐角不确定。,辐角:,例2. 求,的模与辐角.,1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根,1.2 复数的乘幂与方根,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。,证明 设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2
4、)=r2ei2 则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2cos (1+2)+isin(1+2) =r1r2e i(1+2),1. 乘积与商,因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,定理1可推广到n 个复数的乘积。,要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.,2. 复数的乘幂,定义,问题 给定复数z=re i ，求所有的满足n=z 的 复数。,3. 复数的方根,几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。,5.复球面、扩充复球面,复球面,单位球面切于
5、复平面于原点O, 球面上点S与点O重合。点S的对径点为N。 S -南极点； N- 北极点。 球面上任意点 直线PN与复平面交于点z, 即得球面(除去北极点N 外)与复平面上点的 11的对应关系。,扩充复平面 对于球面上的北极点N，在复平面C上没有对应点。设想在复平面上增加一个理想点 , 即无穷远点与之对应,由此得到的扩充复平面 与球面11对。关于新“数”还需作如下几点规定： (1)复平面上每一条直线都通过点，同时，没有一 个半平面包括点; (2) 的实部，虚部及幅角都无意义, | = + ; (3) b0(但可为)时， b= b , b/0=;,(4) a时, /a=0, a/0=, a =
6、。(5) 运算 , 0 , 0, / , 0/0无意义。,1. 复平面上的曲线 2. 平面点集的几个概念 3. 区域,1.3 复平面上的点集,它们确定实平面上的一参数曲线C； 称,1. 复平面上的曲线,是曲线C的复表示式，也称为复平面上的参数曲线,C， 及 分别称为 C的端点 。,是实变量实值函数，,若有限段光滑曲线C1,C2, , C n依次相接所得的连续曲线C称为分段光滑曲线，记为C= C1+C2+ + C n 。,若 当 成立时，则称 为曲线C的一个重合点或重点。,若曲线C是无重点的连续曲线，则称C为简单曲线或 Jordan(约当)曲线；,称 的简单曲线为简单闭曲线或 Jordan (约
7、当)闭曲线。,曲线的表示,实形式,复形式,例,化简得双曲线的复方程,例,以z0为圆心，以R为半径的圆周的曲线方程：,（1）一般表示：,实方程：,复方程：,例 用复数方程表示: （1）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线； （2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆。,解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t +）,例 方程 表示 什么图形？,解,2.平面点集的几个基本概念,邻域,空心邻域,内点 外点 对任意z0属于D,若存在(z0 ,),使该邻域内的所有点都属于D, 则称z0是D的内点。 若存在(z0 ,) ，使该邻域内的所有点都不属于D,则称z0是D的外点。,边界点与边
8、界 已知点P属于C，若点P的任 何邻域中都包含D中的点及 不属于D的点,则称P是D的边 界点; D的全体边界点集称为 D边界。,连通集 设D是复平面上的点集,若D中任意两点P1、P2 都可以用以P1、P2为端点且位于D内的折线连接起来， 则称集合D为连通集。开集 若D内的每一点都是内点，则称D是开集。,3. 区域设D是一个开集, 且D是连通的, 称 D是一个区域。 闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域。,单连通区域、多连通区域 设G是区域或闭区域, 若在G内任作一条简单闭曲线, 曲线的内部区域总是含于G内部，则称B是单连通区域；否则称B是多连通区域。,有界区域与无界区域 若存在 R 0, 对任意 z D,均有zN(0, R)=z | |z|R，则称D是有界区域；否则无界。,
