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1、1,(一) 向量代数,1、向量的有关概念与表示法,（1） 坐标表示,（2） 向量的模,（3） 方向角与方向余弦,（4） 向量的投影,2,2、向量的运算,3、向量间的关系,3,(二) 空间解析几何,1、空间直角坐标系,（1） 点的坐标；,（2） 两点间距离公式,2、曲面,球面,旋转曲面,锥面, 柱面,缺项的方程,4,二次曲面,椭球面,椭圆抛物面,（马鞍面）,双曲抛物面,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面,5,3、曲线,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线,6,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,4、 空间直线与平面的方程,重点是点法式,7,为直线
2、的方向 向量.,空间直线,一般式,对称式 或点向式,参数式,为直线上一点;,8,面与面的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,5.线面之间的相互关系,9,直线,线与线的关系,直线,垂直:,平行:,夹角公式:,10,平面:,垂直：,平行：,夹角公式：,面与线间的关系,直线:,11,二、导数与微分,1、偏导数,2、高阶偏导数,(求法:定义，一元函数求导公式 ),（求法：逐次求导。混合偏导数连续则 相等 ）,3、复合函数求导法则,12,一、极限与连续,1、多元函数：,定义域,图像 一张曲面,3、多元函数的连续性,1）用多元函数的连续性，连续点求极限即求函数值， 多元初等函数求极限即求函数值.
3、 2）多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法 则。夹逼准则，重要极限都可以应用.,13,4、隐函数求导法,5、全微分,1）用复合函数求导法则两边求导数，例如,2）公式法 例如,确定二元隐函数,两边对 求导,确定二元隐函数,14,三、应用,1、方向导数,2、梯度,3、空间曲线,切向量,15,若,有极值,且,时有极大值.,时有极小值.,5、极值:,求驻点 .,4、空间曲面,法向量,时, 没有极值.,16,6、条件极值 拉格朗日乘数法,构造函数:,7 、几个基本概念的关系,方向导数存在,（解方程组可得条件极值的可疑点 ）,17,1,二重积分、三重积分的几何意义,2性质,线性性质、区域可加性、保
4、号性、估值不等式、 中值定理,3. 重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,(1) 交换积分顺序,(2) 利用对称性,(3) 消去被积函数绝对值符号,表示曲顶柱体的体积.,18,1).化直角坐标积分形式为极坐标积分形式,X型区域，先对 积分 Y型区域，先对 积分,3).怎样改换积分次序：先画四线确定积分区域,直角坐标系下:,极坐标系下:,1).怎样确定积分次序,2).怎样确定上下限: 先积分穿线法、后积分取最值,4. 二重积分的计算方法：,积分次序：,上下限的确定：先积分穿线法、后积分取最值,一画三确定：画图、确定形式、 确定次序、确定限。,先 ，后。,2). 何时使用极坐标积分,积分区
5、域为圆形、扇形或环形等,19,5. 三重积分的计算方法：,一画三确定：画图、确定形式、 确定次序、确定限。,1)直角坐标系,方法1. 三次积分法(投影法 :先一后二 ),方法2. 截面法 (先二后一),2)柱坐标计算,积分次序是:,积分区域在坐标面的投影为圆形、扇形、环形（的一部分）,何时用柱面坐标计算,采用柱面坐标来计算简单,限的确定,20,3)球坐标计算,积分次序是：,当积分区域由球面，球面与锥面，球面与球面等 围成的区域，,何时用球面坐标计算三重积分：,限的确定:,21,6应用,几何应用：,平面图形的面积：,空间曲面的面积：,或,怎样确定？,空间立体的体积：,22,1.,对坐标的曲线积分
6、特有的性质:,2.对坐标的曲面积分特有的性质:,曲面面积,3.曲面积分几何意义,23,4.计算方法,参数化化成定积分，下限小于上限,参数化化成定积分，下限起点，上限终点,格林公式（平面上）,斯托克斯公式(空间),与方向无关,投影法变成二重积分,投影变成二重积分, 添加正负号,高斯公式,检验连续性、封闭性、 方向性,连续性、封闭性 方向性,(投影时看 方程 是否含z，注意dS与dxdy(dydz,dzdx)关系）,24,5.两类曲线积分之间的关系:,25,6.二元函数的全微分求积,7.五个等价命题,方法3 凑微分法.,方法2 利用,求积分.,方法1 利用积分与路径无关的条件.,怎样求该函数,26
7、,a、积分 的值与路径无关，,是单连通区域, 、 在 内有一阶连续偏导数,c、在 内,b、对于 内任一封闭曲线，,d、存在 内的可微函数,8.两类曲面积分之间的关系:,27,关于积分的几点说明：,1.线面积分计算前可先用,的方程将被积函数,化简,而重积分不行!因为D,满足的是不等式,2.对坐标的线(面)积分计算时可先考虑格林公式(高斯公式),3.遇到L,D()关于坐标轴(面)对称的积分(对坐标的积分,除外!),会考虑被积函数的奇偶性将其化简,而对坐标的积分不仅要考虑被积函数的奇偶性，还要考虑,积分元素的正负(慎用!),28,一、数项级数的审敛法,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.
8、 正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法 或极限形式,用它法判别,部分和极限,29,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz审敛法: 若,且,则交错级数,收敛 ,且余项,(2) 常用来判断级数敛散性的已知级数,等比级数、调和级数、P级数,注: (1)正项级数审敛法可用于判断级数绝对收敛.,30,二、求幂级数收敛域的方法, 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R :,再讨论, 非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,幂指数有间隔 用正项级数的比值审敛法或根值审敛法求半径,幂指数连续,注 求幂级数的收敛域步骤： 求收敛半径、确定收敛开区间、讨论端点处 的敛散性,31,三、幂级数和函数的求法,等比级数直接求,非等比级数先设和函数，逐项积分或 逐项求导，讨论端点处的敛散性，若收敛和函数连续则 包括端点,四、函数展成幂级数:（间接法）,可以直接引用的幂级数展开式,用已知的七个展开式及其收敛域，若有逐项求导或逐项积分要讨论端点处的敛散性，若端点处收敛、函数连续则包括端点。,32,五.周期为2的函数傅立叶级数,在间断点和连续点各收敛于什么:,x 为间断点,x 为连续点,33,周期为2l 的函数 f (x),的傅里叶级数,在间断点和连续点各收敛于什么:,x 为间断点,x 为连续点,
