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1、1 第第 7 章章 参数估计参数估计 练习题练习题 7.1 从一个标准差为 5 的总体中抽出一个样本量为 40 的样本，样本均值为 25。 （1）样本均值的抽样标准差等于多少? x （2）在 95%的置信水平下，边际误差是多少？ 解：已知25,40, 5xn 样本均值的抽样标准差79 . 0 4 10 40 5 n x 已知,， 540n25x 4 10 x %951 96 . 1 025 . 0 2 ZZ 边际误差55 . 1 4 10 *96 . 1 2 n ZE 7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期 3 周的时间里选取 49 名顾客 组成了一个简单随机样本。 （1）
2、假定总体标准差为 15 元，求样本均值的抽样标准误差； （2）在 95%的置信水平下，求边际误差； （3）如果样本均值为 120 元，求总体均值的 95%的置信区间。 解.已知.根据查表得=1.96 2/ z （1）标准误差：14 . 2 49 15 n X （2） 已知=1.96 2/ z 所以边际误差=*1.96*=4.2 2/ z n s 49 15 2 （3）置信区间： 2 . 124, 8 .11596 . 1 49 15 120 2 n s Zx 7.3 从一个总体中随机抽取的随机样本，得到，假定总体标准差100n104560 x ，构建总体均值的 95%的置信区间。85414 9
3、6 . 1 2 Z 144.16741 100 85414 *96 . 1 2 n Z 856.87818144.16741104560. 2 n Zx 144.121301144.16741104560. 2 n Zx 置信区间：（87818.856，121301.144） 7.4 从总体中抽取一个的简单随机样本，得到，。100n81x12s （1）构建的 90%的置信区间。 （2）构建的 95%的置信区间。 （3）构建的 99%的置信区间。 解；由题意知, ,.100n81x12s （1）置信水平为，则.%901645 . 1 2 Z 由公式 n s zx 2 974 . 1 81 100
4、 12 645 . 1 81 即,974.82,026.79974 . 1 81 则置信区间为 79.02682.974的的%90 （2）置信水平为， %95196 . 1 2 z 由公式得=81 n s zx 2 352 . 2 81 100 12 96 . 1 3 即 81=（78.648，83.352） ，352 . 2 则的 95%的置信区间为 78.64883.352 （3）置信水平为，则.%991576 . 2 2 Z 由公式=x n s z 2 096 . 3 81 100 12 576 . 2 81 即81 3.1 则置信区间为的的%99 7.5 利用下面的信息，构建总体均值的
5、置信区间。 （1），置信水平为 95%。25x5 . 360n （2），置信水平为 98%。 6 . 119x89.23s75n （3），置信水平为 90%。419 . 3 x974 . 0 s32n 置信水平为 95%,60, 5 . 3,25nX 解：,96 . 1 2 Z 89 . 0 60 5 . 3 96 . 1 2 n Z 置信下限：X11.2489 . 0 25 2 n Z 置信上限：X89.2589 . 0 25 2 n Z ），置信区间为（89.2511.24 。，置信水平为，%9875n89.23s , 6 .119X 解：33 . 2 2 Z 43 . 6 75 89.2
6、3 33 . 2 2 n s Z 置信下限：X17.11343 . 6 6 . 119 2 n s Z 4 置信上限：X03.12643 . 6 6 . 119 2 n s Z ），置信区间为（03.12617.113 =3.419,s=0.974,n=32,置信水平为 90%x 根据 t=0.1，查 t 分布表可得.645 . 1 )31( 05. 0 Z283 . 0 )( 2/ n s Z 所以该总体的置信区间为 （=3.4190.283x 2/ ) n s 即 3.4190.283=（3.136 ，3.702） 所以该总体的置信区间为 3.1363.702. 7.6 利用下面的信息，构
7、建总体均值的置信区间。 （1）总体服从正态分布，且已知，置信水平为 95%。50015n8900 x （2）总体不服从正态分布，且已知，置信水平为50035n8900 x 95%。 （3）总体不服从正态分布，未知，置信水平为35n8900 x500s 90%。 （4）总体不服从正态分布，未知，置信水平为35n8900 x500s 99%。 （1）解：已知，1-%，50015n8900 x9596. 1 2 z )9153,8647( 15 500 96 . 1 8900 2 n zx 所以总体均值的置信区间为（8647，9153） （2）解：已知，35n，1-%，5008900 x9596.
8、1 2 z )9066,8734( 35 500 96 . 1 8900 2 n zx 所以总体均值的置信区间为（8734，9066） （3）解：已知，s=500,由于总体方差未知，但为大样本，35n8900 x 可用样本方差来代替总体方差 5 置信水平 1=90% 645 . 1 2 z 置信区间为)9039,8761( 35 500 645 . 1 81 2 n s zx 所以总体均值的置信区间为（8761，9039） （4） 解 ： 已知， 由于总体方差未知， 但为大样本，35n8900 x500s 可用样本方差来代替总体方差 置信水平 1=99% 58 . 2 2 z 置信区间为)91
9、18,8682( 35 500 58 . 2 8900 2 n s zx 所以总体均值的置信区间为（8682，9118） 7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校 7500 名学生中采取不重复抽样方法随机抽 取 36 人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见 Book7.7（单位：h） 。求该校大学 生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为 90%、95%和 99%。 解：已知： n=363167 . 3 x6093 . 1 s 1.当置信水平为 90%时，645 . 1 2 z 4532 . 0 3167 . 3 36 6093 . 1 645 . 1 3167. 3 2 n s zx
10、 所以置信区间为（2.88，3.76） 2.当置信水平为 95%时，96 . 1 2 z 所以置信区间为（2.80，3.84） 3.当置信水平为 99%时，58. 2 2 z 7305 . 0 3167 . 3 36 6093 . 1 58 . 2 3167 . 3 2 n s zx 5445 . 0 3167. 3 36 6093 . 1 96 . 1 3167 . 3 2 n s zx 6 所以置信区间为（2.63，4.01） 7.8 从一个正态总体中随机抽取样本量为 8 的样本， 各样本值见 Book7.8。 求总体均值 95% 的置信区间。 已知：总体服从正态分布，但未知，n=8 为小
11、样本，05 . 0 365 . 2 ) 18( 2 05 . 0 t 根据样本数据计算得：46 . 3 ,10sx 总体均值的 95%的置信区间为 ： ， 即 （7.11，89 . 2 10 8 46 . 3 365 . 2 10 2 n s tx 12.89） 。 7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由 16 个人组成的一个随机样 本，他们到单位的距离（单位：km）数据见 Book7.9。求职工上班从家里到单位平均 距离 95%的置信区间。 已知：总体服从正态分布，但未知，n=16 为小样本，=0.05，131 . 2 ) 116( 2/05 . 0 t 根据样本数据计
12、算可得：，s=4.113375 . 9 x 从家里到单位平均距离得 95%的置信区间为： ， 191 . 2 375. 9 14 113 . 4 131. 2375 . 9 2/ n s tx 即（7.18，11.57） 。 7.10 从一批零件中随机抽取 36 个，测得其平均长度为 149.5cm，标准差为 1.93cm。 （1）试确定该种零件平均长度 95%的置信区间。 （2）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。 解：已知n=36, =149.5,置信水平为 1-=95%，查标准正态分布表得,103x 2/ =1.96. 根据公式得： =149.51.96x
13、 2/ n 36 103 即 149.51.96=（148.9，150.1） 36 103 7 答：该零件平均长度 95%的置信区间为 148.9150.1 （3）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。 答：中心极限定理论证。如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这 个总体的分布如何， 随着样本容量的增加， 样本均值的分布便趋近正态分布。 在现实生活中， 一个随机变量服从正态分布未必很多， 但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存 在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也 趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理
14、论提供了理论基础。 7.11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为 100g。现从某天生产的 一批产品中按重复抽样随机抽取 50 包进行检查， 测得每包重量 （单位 ： g） 见 Book7.11。 已知食品重量服从正态分布，要求： （1）确定该种食品平均重量的 95%的置信区间。 （2）如果规定食品重量低于 100g 属于不合格，确定该批食品合格率的 95%的置信区 间。 (1)已知:总体服从正态分布，但未知。n=50 为大样本。=0.05，=1.96 2/05 . 0 根据样本计算可知 =101.32 s=1.63 该种食品平均重量的 95%的置信区间为 45 . 0 3
15、2.10150/63 . 1 *96. 132.101/ 2/ ns 即（100.87，101.77） （2）由样本数据可知，样本合格率：。该批食品合格率的 95%的置信区9 . 050/45p 间为： =0.9=0.90.08，即（0.82，0.98） 2/ p n pp)1 ( 50 )9 . 01 (9 . 0 96 . 1 答：该批食品合格率的 95%的置信区间为：（0.82，0.98） 7.12 假设总体服从正态分布，利用 Book7.12 的数据构建总体均值的 99%的置信区间。 根据样本数据计算的样本均值和标准差如下； =16.13 =0.8706 E= Z=2.58*=0.45x 2 n 5 8706 . 0 置信区间为E 所以置信区间为（15.68，16.58）x 8 7.13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了 18 名员工，得到他们每周加班的时间数据见 Book7.13（单位：h） 。假定员工每周加班的 时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的 90%的置信区间。 解：已知=13.56 7.80 n=18x1 . 0 E=* 2 n 置信区间=-, +x 2 nx 2 n 所以置信区间=13.56-1.645*(7.80/), 13.56+1.645*(7.80/)1818
