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1、1 复合函数问题 一、复合函数定义 ：一、复合函数定义 ： 设 y=f(u)的定义域为 A，u=g(x)的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的 y=f g(x)叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题：二、复合函数定义域问题： (1)、已知的定义域，求的定义域、已知的定义域，求的定义域f x( )f g x( ) 思路：设函数的定义域为 D，即，所以的作用范围为 D，又 f 对作用，作用范围f x( )xDfg x( ) 不变，所以，解得，E 为的定义域。Dxg)(xEf g x( ) 例例 1. 设函数的定义域为（0，1） ，则函数的定义域为_。f
2、 u( )fx(ln ) 解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）f u( )u ()01，f 又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以01lnx 解得，故函数的定义域为（1，e）xe()1，fx(ln ) 例例 2. 若函数，则函数的定义域为_。f x x ( ) 1 1 f f x( ) 解析：先求 f 的作用范围，由，知f x x ( ) 1 1 x 1 即 f 的作用范围为，又 f 对 f(x)作用所以，即中 x 应xR x |1f xRf x( )( ) 且1f f x( ) 满足即，解得 x f x 1 1( ) x x 1 1 1 1 xx 12且 故函数
3、的定义域为f f x( )xR xx |12且 （2） 、已知的定义域，求的定义域） 、已知的定义域，求的定义域f g x( )f x( ) 思路 ： 设的定义域为 D，即，由此得，所以 f 的作用范围为 E，又 f 对 x 作用，f g x( )xDg xE( ) 作用范围不变，所以为的定义域。xEE ，f x( ) 例例 3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_。fx()32 x 12，f x( ) 解析：的定义域为，即，由此得fx()32 12， x 12， 3215 x， 所以 f 的作用范围为，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 15， x 15， 2 即函数的定义域为例例 4
4、. 已知，则函数的定义域为-f x( ) 15，f x x x ()lg 2 2 2 4 8 f x( ) 解析：先求 f 的作用范围，由，知f x x x ()lg 2 2 2 4 8 x x 2 2 8 0 解得，f 的作用范围为，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以，x 2 44()4， x ()4， 即的定义域为f x( )()4， （3） 、已知的定义域，求的定义域） 、已知的定义域，求的定义域f g x( )f h x( ) 思路 ： 设的定义域为 D， 即， 由此得，的作用范围为 E， 又 f 对作用，f g x( )xDg xE( ) fh x( ) 作用范围不变，所以，解
5、得，F 为的定义域。h xE( ) xFf h x( ) 例例 5. 若函数的定义域为，则的定义域为_。f x ()2 11，fx(log) 2 解析：的定义域为，即，由此得f x ()2 11， x 11，2 1 2 2 x ， 的作用范围为，又 f 对作用，所以，解得f 1 2 2， log2xlog2 1 2 2x ， x 24， 即的定义域为fx(log) 2 24， 评注：函数定义域是自变量 x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范 围， f 的作用对象可以变， 但 f 的作用范围不会变。 利用这种理念求此类定义域问题会有 “得来全不费功夫” 的感觉
6、，值得大家探讨。 三、复合函数单调性问题三、复合函数单调性问题 （1）引理证明（1）引理证明 已知函数.若在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数已知函数.若在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数)(xgfy )(xgu ba,()(ufy 在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 ）上是增函数.在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 ）上是增函数.)(xgfy ba,( 证明：在区间）内任取两个数，使ba,( 21,x xbxxa 21 因为在区间）上是减函数，所以,记, 即)(xgu ba,()()( 21 xgxg)( 11 xgu )( 22 x
7、gu ),(, 21, 21 dcuuuu且 3 因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，)(ufy )()( 21 ufuf)()( 21 xgfxgf 故函数在区间）上是增函数.)(xgfy ba,( （2） 复合函数单调性的判断） 复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表： )(ufy 增 减 )(xgu 增 减 增 减 )(xgfy 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数的单调性判断步骤：）、复合函数的单调性判断步骤：)(xgfy 确定函数的定义域； 将复合函数分解成两
8、个简单函数：与与。)(ufy )(xgu 分别确定分解成的两个函数的单调性； 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数 为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函)(xgfy 数），则复合后的函数为减函数。)(xgfy （4）例题演练）例题演练 例 1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明)32(log 2 2 1 xxy 解：定义域 13032 2 xxxx或 单调减区间是 设 则 ), 3( 2121 ), 3(,xxxx且 )32(log 1 2 1 2 11 xxy)32(log 2 2 2 2 12
9、xxy =)32( 1 2 1 xx) 32( 2 2 2 xx ) 2 )( 1212 xxxx 3 12 xx0 12 xx02 12 xx 4 又底数 )32( 1 2 1 xx) 32( 2 2 2 xx1 2 1 0 即 0 12 yy 12 yy 在上是减函数y), 3( 同理可证：在上是增函数y) 1,( 例2、讨论函数的单调性.) 123 (log)( 2 xxxf a 解由得函数的定义域为0123 2 xx . 3 1 , 1|xxx或 则当时，若，为增函数，为增函数.1a1x123 2 xxu) 123 (log)( 2 xxxf a 若，为减函数. 3 1 x123 2
10、xxu 为减函数。) 123 (log)( 2 xxxf a 当时 ， 若， 则为 减 函 数 ， 若， 则10 a1x) 123 (log)( 2 xxxf a 3 1 x 为增函数.) 123 (log)( 2 xxxf a 例 3、.已知 y=(2-)在0，1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围. a log x a 解：a0 且 a1 当 a1 时，函数 t=2-0 是减函数 x a 由 y= (2-)在0，1上 x 的减函数，知 y=t 是增函数， a log x a a log a1 由 x0，1时，2-2-a0,得 a2, x a 1a2 当 0a0 是增函数 x a 由 y=
11、 (2-)在0，1上 x 的减函数，知 y=t 是减函数， a log x a a log 0a1 由 x0，1时，2-2-10, 0a1 x a 综上述，0a1 或 1a2 例例 4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设2)3()2( 2 axaaxxfaRmm),0 , 2( .问是否存在实数使得在区间上是减函)()()(),()(xfxpgxFxffxg)0(pp)(xF)2(,(f 数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。)0),2( f 解析由已知，得，0)2(mf02)3( 2 amaam 5 其中 即， . 0 ,aRm00923 2 aa 解得. 3 721 3 721 a 为
12、负整数，a . 1 a ，1)2(34)2( 2 xxxxf 即 ， . 1 )( 2 xxf 2422 21) 1()()(xxxxffxg . 1 ) 12()()()( 24 xppxxfxpgxF 假设存在实数，使得满足条件，设，)0(pp)(xF 21 xx .12)()()()( 2 2 2 1 2 2 2 1 21 pxxpxxxFxF ，当时，为减函数，3)2(f)3,(, 21 xx)(xF ，0)()( 21 xFxF . 0 12)(, 0 2 2 2 1 2 2 2 1 pxxpxx ,3, 3 21 xx18 2 2 2 1 xx ,11612)( 2 2 2 1 p
13、pxxp . 0 116p 当时, 增函数,)0 , 3(, 21 xx)(xF . 0 )()( 21 xFxF ,0 2 2 2 1 xx11612)( 2 2 2 1 ppxxp .0116p 由、可知，故存在 16 1 p. 16 1 p 一指数函数与对数函数 同底的指数函数与对数函数互为反函数； x yalogayx （二）主要方法： 1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1，要注意对底数的讨论； 3比较几个数的大小的常用方法有：以和 为桥梁；利用函数的单调性；作差01 （三）例题分析： 例 1 （1）若，则，从小到
14、大依次为 ； 2 1abalogb b a logbalogab （2）若，且，都是正数，则，从小到大依次为 ；235 xyz xyz2x3y5z （3）设，且（，） ，则与的大小关系是 （ ）0 x 1 xx ab0a 0b ab （） （） （） （）A1baB1abC1baD1ab 解：（1）由得，故 2 1aba b a a logb b a logba1 logab 6 （2）令，则，235 xyz t1t lg lg2 t x lg lg3 t y lg lg5 t z ，； 2lg3lglg(lg9lg8) 230 lg2lg3lg2 lg3 ttt xy 23xy 同理可得：，
15、 （3）取，知选（） 250 xz25xz325yxz1x B 例 2已知函数， 2 ( ) 1 x x f xa x (1)a 求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根( )f x( 1,) ( )0f x 证明：（1）设， 12 1xx 则 12 12 12 12 22 ()() 11 xx xx f xf xaa xx ， 1212 1212 1212 223() 11(1)(1) xxxx xxxx aaaa xxxx ， 12 1xx 1 10 x 2 10 x 12 0 xx ； 12 12 3() 0 (1)(1) xx xx ，且， 12 1xx 1a 12 xx aa 12 0 xx aa ，即，函数在上为增函数； 12 ()()0f xf x 12 ()()f xf x( )f x( 1,) （2）假设是方程的负数根，且，则， 0 x( )0f x 0 1x 0 0 0 2 0 1 x x a x 即， 0 00 000 23(1)3 1 111 x xx a xxx 当时，而由知， 0 10 x 0 01 1x 0 3 3 1x 0 3 12
