《高中数学不等式知识点（2020年九月）.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学不等式知识点（2020年九月）.pptx（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,学 海 无 涯 不等式 知识点归纳: 一、不等式的概念与性质 1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系： a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0 2、不等式的性质： （1） a b b a ， a b b a （反对称性） （2） a b,b c a c ， a b,b c a c （传递性） a b a c b c ，故a b c a c b （移项法则） 推论： a b,c d a c b d （同向不等式相加） a b,c 0 ac bc ， a b,c 0 ac bc 推论 1： a b 0,c d 0 ac bd 推论 2： a b 0 an bn 推论 3： a
2、 b 0 n a n b 不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟 练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。 3、常用的基本不等式和重要的不等式 （1） a R, a2 0, a 0 当且仅当a 0, 取“” （2） a, b R, 则a 2 b2 2ab （3） a, b R ，则a b 2 ab,（4）,22,a2 b2a b 2, (),4、最值定理:设 x, y 0,由x y 2 xy （1）如积 xy P(定值），则积x y有最小值2 P,2,S,（2）如积 x y S(定值），则积xy有最大值（ ）,2,新疆 源头学子小屋,1,
3、特级教师 ,即:积定和最小，和定积最大。 运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等,5、均值不等式:,学 海 无 涯,2,两个正数的均值不等式： a b ab,3,三个正数的均值不等是： a b c 3 abc,n 个正数的均值不等式：,n,n,n,1 2n,12,a a a,a a a,源头学子小屋,新疆 特级教师,6、王新敞 四种均值的关系：两个正数a、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、 ,均方根之间的关系是,22,1,a 2 b2,2a b,1 ab ,ab 小结:在不等式的性质中，要特别注意下面 4 点： 1、不等式的传递性：若 ab,bc, 则 ac,这是放缩法的依据，在运
4、用传递 性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明 ac,选择中间量 b,在证出 ab,cb,后，就误认为能得到 ac。 2、同向不等式可相加但不能相减，即由 ab,cd，可以得出 a+cb+d, 但不能得 acbd。 3、不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到 同向的不等式，否则不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或 式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的 两边必须是正。 不等式的应用范围十分广泛，在数学中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨 论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解
5、 析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题， 最终都可归结为不等式的求解或证明。 二、不等式的证明方法 （1）比较法：作差比较： A B 0 A B 作差比较的步骤： 作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。,源头学子小屋 ,特级教师 王新敞 ,特级教师 王新敞 新疆,（2）综合法：由因导果由已知的不等式出发,不断地用必要条件代替前面的不,等式,直到推导出前面的不等式。常用的基本不等式有均
6、值不等式；若,bb m,a,b, m 0 ， a b ，则 a a m ；若a,b R ，则| a | | b | a b | a | | b |；,22,2,nn,n,i1i1i1, i i i i,柯西不等式(a b ) (a )(b ),新疆,2,源头学子小屋 特级教师,王新敞 ,（3）分析法：执果索因基本步骤：要证只需证，只需证,“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。 “分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以,新疆 源头学子小屋, 特级教师 ,学 海 无 涯 利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。 （4）反证法：正难则反
7、直接证明难，就用反证。,新疆,源头学子小屋 ,特级教师 王新敞 ,（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的,放缩法的方法有：,2,添加或舍去一些项，如： a2 1 a ； n(n 1) n ； 将分子或分母放大（或缩小） 利用基本不等式， 如： log 3 lg 5 (lg 3 lg 5)2 lg 15 lg 16 lg 4 ；,n(n 1) n (n 1),2 利用常用结论：,1,1,k 1 k2 k,、 k 1 k ,；,11,k 2,k(k 1)k 1k,、 1 ,1,1, 1 , 1 ； 1 ,k (k 1)kk 1,k 2,（程度大）,11,11,、 1 ,k 2 1(
8、k 1)(k 1)2 k 1k 1,k 2, 1 () ； （程度小）,新疆 源头学子小屋 ,特级教师 ,师,（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为 简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：,已知 x 2 y 2 a 2 ，可设 x a cos, y asin ； 已知 x 2 y 2 1 ，可设 x r cos, y r sin ( 0 r 1 )；,a 2b 2,22 已知 x y 1 ，可设 x a cos, y bsin ；,22 已知 x y 1 ，可设 x asec, y b tan ；,a 2b2 （7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等
9、式来证明不等式； 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是 证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当 的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特 点。 数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究。 例 1 已知 a，bR，且 a+b=1。,2,3,求证： a 22 b 22 25 。,证法一：（比较法）,25,1 2,22,a (1 a) 4 8 2 (a 2) 0,学 海 无 涯 a,b R, a b 1,b 1 a a 22 b 22 25 a2 b2 4(a b) 9 22 a2 (1 a)2 4 9
10、 2a2 2a 1 2(a 1)2 0 222 即a 22 b 22 25 （当且仅当a b 1 时，取等号）。 22 证法二：（分析法） a 22 B 22 25 a2 b2 4(a b) 8 25 22 b 1 a, ,因为显然成立，所以原不等式成立。 点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的 充分条件。 证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）。,2,证法四：（反证法）假设(a 2)2 (b 2)2 25 ，,则 a2 b2 4(a b) 8 25 。 2,由 a+b=1，得b 1 a ，于是有a 2 (1 a)2 12 ,25 源头学子小屋 2,级教师 王
11、新敞 新疆,特级教师 王新敞 ,2,所以(a 1 )2 0 ，,2 ,1 2,这与 a 0 矛盾。,所以a 22 b 22 25 。,2 证法五：（放缩法） a b 1,2,a 2 b 2 2,左边a 22 b 22 2 , 1 a b 42 25 右边。 22 点评：根据欲证不等式左边是平方和及 a+b=1 这个特点，选用基本不等式,2,4,22,2, a b ,a b 2,。,证法六：（均值换元法） a b 1，,学 海 无 涯 所以可设a 1 t ， b 1 t ， 22 左边a 22 b 22 (1 t 2)2 (1 t 2)2 22,2,5 25 22525, t t 2t ,2 2
12、 22,新疆 源头学子小屋 特级教,王新敞 ,右边,新疆 源头学子小屋 ,特级教师 ,当且仅当 t=0 时，等号成立。 点评：形如 a+b=1 结构式的条件，一般可以采用均值换元,证法七：（利用一元二次方程根的判别式法） 设 y=(a+2)2+(b+2)2， 由 a+b=1，有 y (a 2)2 (3 a)2 2a 2 2a 13 ， 所以2a 2 2a 13 y 0 ，,2,因为a R ，所以 4 4 2 (13 y) 0 ，即 y 25 。,故a 22 b 22 25 2 。,例 2 a,b, c 0 ，求证： bc ac ab a b c 。,abcabc,abc 证： bc ac 2c
13、 ，同样地，利用均值不等式，我们可以得到 ab 2(bc ac ab) 2(a b c) ，即 bc ac ab a b c 。,例 3 已知 x, y 0, x y 1,求证(1 1 )(1 1 ) 9 。 xy 证： (1 1 )(1 1 ) (1 x y )(1 x y ) 4 2 y 2x 1 9 xyxyxy 例 4 已知a,b,c 0, a b c 1，求 3a 1 3b 1 3c 1 的最大值。,解：由题可得 3a 1 2 3a 1 2 当且仅当3a 1 2 即a 1 时等式成立。,2,2 同理，可得2( 3a 1 3b 1 ,3 3c 1) 3(a b c) 9 6 ；,故而可
14、知其最大值为 6.,3,例 5 已知 x y z 1，求证 x2 y2 z2 1,证：令 0 ，且 x 1 , y 1 , z 1 ，于是 333,5,学 海 无 涯 x2 y2 z2 1 2 ( ) ( 2 2 2 ) 1 ( 2 2 2 ) 1 。 3333,例 6 已知n 是正整数，求证：,1,1,11 132333,n3, 3,证：当n 2 时，有,1,2,2,12,n3,n 1n, 2(,n 1),n 1( n ,n 1 (n 1) nn,n n n nn, 1 ),于是,1,1,1,11,n 1nn,n3, 1 2( 1 1 ) 2( 1 1 ) 2( 1223, 1 ) 3 2
15、1 3,132333 小结：,新疆,源头学子小屋 ,特级教师 王新敞 ,源 h,1、掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的 性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面。如与数 列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程， 一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制 约，这些也是近年命题的重点。 2、在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析 法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放 缩、分类讨论等。 3、比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式,特级教师 ,师 m 新疆 源头学子小屋 ,或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时,b,常用商值比较法
