刚体动力学课件

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1、1,第 3 章,Dynamics of Rigid Body,力矩的瞬时、时间、空间累积效应,2,3.1 力矩的瞬时效应刚体的定轴转动,刚体运动中形状和大小都保持不变的物体。 (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体是由许多质点(质元)组成的质点系。 1.刚体的平动和转动 如果刚体内任何两点的连线在运动中始终保持平行，这样的运动就称为平动。 平动刚体内各质点的运动状态完全相同。 平动刚体可视为质点。质心是平动刚体的代表。,一. 刚体运动学,3,刚体一般运动可看作是平动和转动的结合。,2.定轴转动的描述,如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转轴)作圆周运动

2、，这种运动便称为转动。,转轴固定不动定轴转动。,定轴转动刚体上各质点的线量(速度、加速度)不同。 但各质点的角量(如角位移、角速度和角加速度)相同。,4,若角加速度 =c(恒量)，则有,5,二. 刚体的定轴转动,1.力矩,M=Frsin,力矩的大小:,=Fd,(1)只有在垂直于转轴平面内的力才会产生力矩; 平行于转轴的力是不会产生力矩的。,(2)力矩的方向沿转轴。,注意: 对定轴转动,方向:,6,2.刚体定轴转动定理,mi: 切向方程:,合外力矩,合内力矩,M,刚体定轴转动定理,7,质量m物体平动惯性大小的量度。 转动惯量I物体转动惯性大小的量度。,1.转动惯量的物理意义,三. 转动惯量,8,

3、I=mi ri2 即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘以它到转轴距离的平方的总和。 (2)质量连续分布刚体,式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。,(1)质量离散分布刚体,2.转动惯量的计算,9,3.平行轴定理,Io=Ic+Md2,Ic 通过刚体质心的轴的转动 惯量,M 刚体系统的总质量 d 两平行轴(o,c)间的距离,10,Ic是转轴过质心的转动惯量，于是,= 0,11,o,通过o点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为 IO=,3,+ml2,=2ml2,=ml2,例题1.1 质量离散分布: I=mi ri2,ml2,(1)轻杆连成的正三角形顶点各有一质点m，此系统对通过质心C且垂直于

4、三角形平面的轴的转动惯量为,+(3m)r2=2ml2,12,IO=m.02,=30ml2,+2m(2l2),+3m(2l)2,+4ml2,+5m(2l2),(2)用轻杆连接五个质点, 转轴垂直于质点所在平面且通过o点, 转动惯量为,13,记住！,例题1.2 质量连续分布:,若棒绕一端o转动，由平行轴定理， 则转动惯量为,解,(1)均质细直棒(质量m、长l)，求通过质心C且垂直于棒的轴转动的转动惯量。,14,(3)均质圆盘(m,R)对中心轴的转动惯量:,(2)均质细圆环(m, R)对中心轴的转动惯量:,15,解 由 M=I , = o+ t 有外力矩时,撤去外力矩时, -Mr=I2 , 2=-

5、/t2 (2) 代入t1=10s , t2=100s , =(1002)/60=10.5rad/s, 得 I=17.3kg.m2 。,20=I1， 1= /t1 (因o=0),例题1.3 一转轮在20N.m的外力矩作用下，10s内转速均匀地由零增大到100rev/min。撤去外力矩，它经100s停止。求转轮的转动惯量。,刚体定轴转动定理,16,解 对柱体，由M=I有 mg.R=I,对m: mg-T=ma 对柱： TR=I a=R 解得 =2mg/(2m+M)R T=Mmg/(2m+M),例题1.4 匀质柱体(M、R) 边缘用细绳挂一质量为m的物体。求柱体的角加速度及绳中的张力。,绳中张力Tmg

6、！ 用隔离体法:,17,例题1.6 均匀细棒(m、长l)AB可绕o轴转动，Ao= l/3。求棒从水平位置静止开始转过角 时的角加速度和角速度。,解,重力集中在质心，其力矩为,18,完成积分得,讨论: (1)当=0时， =3g/2l， =0 (2)当=90时， =0，,又因,19,解,例题1.7 匀质圆盘(m、R)以o转动。将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？,摩擦力矩:,20,由= o+ t = 0得,又由2-o2=2， 停下来前转过的圈数为,求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？,21,L=rpsin=mrsin,=md,则质点对o点的角动量(也称动量矩)为,

7、3.2 力矩的时间累积效应角动量守恒定律,1. 质点的角动量,一. 质点角动量守恒定律,22,L=rpsin=mrsin=md,问题:一质量为m的质点沿一直线以速率运动,它对直线上某点的角动量为,它对与直线相距d的某点的角动量为,0;,md。,质点对o点的角动量(动量矩)为,23,若质点m以角速度沿半径r的圆周运动(如图),质点对给定点o(圆心)的角动量的大小,按SI制,角动量的单位是千克米2/秒(kgm2/s)。 角动量的大小和方向不仅决定于质点的运动,也依赖于所选定的参考点,即参考点不同,质点的角动量也不同。,L=mr,=m r2,24,2. 质点角动量定理,由于,所以,质点所受的合外力矩

8、等于它的角动量对时间的变化率。这个结论叫质点的角动量定理。,25,冲量矩,合外力矩的冲量(冲量矩)等于质点角动量的增量。它是质点角动量定理的积分形式。,26,这就是说,如果质点所受的合外力矩为零时, 则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论叫做质点角动量守恒定律。,3. 质点角动量守恒守律,27,解,28,=m,29,=0,质点所受的力矩:,30,解 小球对o点的角动量守恒： mr2 o= m(r/2)2 =4o 由动能定理，拉力的功为,例题2.2 光滑水平桌面，绳通过孔o拉着小球m以o作半径r的匀速圆周运动，现向下缓慢拉绳，求半径从r变为r/2过程中拉力的功。,31,解得: =4m/s, =3

9、0,解 故机械能都守恒：,角动量守恒： mo lo=,m lsin,32,对o点的角动量守恒： moR =,解 火箭只受引力(保守力)作用，机械能守恒：,解得,m 3Rsin,例题2.4 质量为m的火箭A以o沿地球表面发射出去, 其轨道与地轴oo交于C点(oC=3R)。不考虑地球的自转和空气阻力，求：=？(地球质量为M、半径为R),33,Li=miiri=mi ri2 刚体对z轴的角动量就是 Lz=(mi ri2),=I,二. 刚体的角动量及守恒守律,1.刚体的角动量 刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。,34,2.系统(质点系)角动量定理,质点角动量定理:,对各质点求和，并注意到,得,

10、35,系统所受的合外力矩等于系统总角动量对时间的变化率质点系角动量定理。 它同样适用定轴转动刚体。,36,即：系统所受合外力矩的冲量(冲量矩)等于角动量的增量。,3. 定轴转动系统的角动量守恒守律,当系统所受合外力矩为零时，系统的角动量将保持不变定轴转动的角动量守恒定律。,37,系统动量守恒：,系统角动量守恒：,对比：,38,飞机要安装尾翼。 鱼雷有两个反向转动的螺旋浆。 轮船、飞机、导弹等上的回转导航仪(也叫“陀螺”)。,39,解,解得,例题2.5 匀质杆(长l、M)静止悬挂。子弹(m,o)射入杆上的A点，并嵌在杆中， 求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度; (2)杆能转过的最大角度。,(1)

11、杆+子弹：碰撞过程角动量守恒：,40,(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：,转动动能,平动动能,41,解 (1)碰撞过程角动量守恒:,例题2.6 粗糙的水平桌面上()匀质细杆(长2L、m)静止。两相同的小球(m、)与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞, 求: (1)刚碰后，这一系统的角速度为多少？ (2)杆经多少时间停止转动？(不计两小球的质量),解得,42,摩擦力矩为,由= o+t得：,(2)杆经多少时间停止转动？(不计两小球的质量),43,解 系统(圆盘+人) 什么量守恒？ 系统角动量守恒：,例题2.7 匀质园盘(M、R)与人( m ,视为质 点)一起以o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动。当此

12、人从盘的边缘走到盘心时，圆盘的角速度是多少？,44,Io,=(I+2mr2) ,减小,45,(1)系统(圆盘+人)角动量守恒：,(1)圆盘对地的角速度; (2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？,例题2.9 匀质园盘(m、R)与一人( ,视为质点)一起以o转动。若人相对盘以速率、沿半径为 的园周运动(方向如图), 求:,解,46,人对地=,+,角动量守恒定律只适用于惯性系。,47,解出：,48,(2) 欲使盘静止，可令,得,式中负号表示人的运动方向与盘的初始转动(o)方向一致。,49,解,例题2.10 空心园环(Io , R)可绕竖直轴AC转动。开始时环o, 小球m静止在A点，求当

13、小球滑到B点时, 环的角速度及小球相对于环的速度各为多少。(设各处光滑, 环截面很小),对轴AC角动量守恒:,环的角速度为,50,由相对运动，对小球有,B表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度(即相对于环的速度)。,机械能守恒:,小球相对于环的速度为多少?,51,转动动能为,平动动能为,3.3 力矩的空间累积效应 定轴转动中的功和能,mi的动能:,=刚体上各质点动能之和,一.刚体的转动动能,52,力矩的功率是,二.力矩的功,即：力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘积。,=Frsind,=Md,力F的元功是 dA=Fdscos(90o- ),53,上式说明：合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。定轴

14、转动动能定理,三.刚体定轴转动的动能定理,对比:质点动能定理：,（I=恒量）,54,式中, hc为刚体质心到零势面的高度。,四.机械能守恒定律在刚体系统中的应用,如果只有保守内力作功，则系统(刚体)的机械能守恒。 在计算刚体的重力势能时，可将它的全部质量集中在质心。 刚体的机械能为,55,解,例题3.1 均匀细直棒(m、长l)从竖直位置由静止开始绕轴o转动。求转到与水平面成角时的角速度和角加速度。,棒在转动的过程中机械能守恒:,56,注意： 本题也可先由M=I求出 ，再用 =d/dt积分求出。,角加速度：,57,，= r,解 (1)系统机械能守恒：,例题3.2 系统开始静止, 弹簧为原长。绳与滑轮间无滑动。求:(1)M下落h时的速度；(2)弹簧的最大伸长量。,58,(2)求弹簧的最大伸长量。,令=0，得弹簧的最大伸长量为：hmax=2Mg/k。,59,解 (1)棒的转动，机械能守恒：,(2)碰撞过程，角动量守恒：,例题3.3 一匀质细棒(长为l、m)自水平位置静止摆下，在竖直位置处与物体m相碰，碰后物体m滑行距离S后停止，设物体与地面间的摩擦系数为，求刚碰后棒的角速度。,60,(3)物体的滑行，由功能原理：,解得,61,讨论：当l 6S时， 0, 表示碰后棒向右摆； 当l 6S时， 0, 表示碰后棒向左摆。,