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1、. . . 2014届高三3、6、8班数列复习讲义（仅供内部参考）一、等差数列与等比数列知识对比清单类型等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义； ； 分类递增数列：递减数列：常数数列：递增数列：递减数列：摆动数列： 常数数列：通项 （其中）（）前n项和 （其中）中项成等差数列成等比数列主要性质等和性：等差数列若推论：若即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列若推
2、论：若即：首尾颠倒相乘，则积相等其它性质1、等差数列中连续项的和，组成的新数列是等差数列。即：等差，公差为则有2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：（下标成等差数列）3、等差，则，也等差。4、等差数列的通项公式是的一次函数，即：()等差数列的前项和公式是一个没有常数项的的二次函数，即：()5、项数为奇数的等差数列有：项数为偶数的等差数列有：，6、则则则1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：等比，公比为。（） 2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：（下标成等差数列）3、等比，则，也等比。其中4、等比数列的通项公式类似于的指数函数，即：，
3、其中等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即：5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：2、中项法：证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：2、中项法：设元技巧三数等差：四数等差：三数等比：四数等比：联系1、若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。2、若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。二、等差数列常见结论详解数列的通项公式 数列的前n项和 1、判断给定的数列是等差数列的方法定义法：是常数数列是等差数列；通项公式法：数列是等差数列；前n项和法：数列的前n项和
4、数列是等差数列；等差中项法：数列是等差数列；2、等差数列的通项公式的推广和公差的公式：；3、若A是a与b的等差中项4、若数列，都是等差数列且项数相同，则都是等差数列；5、等差数列中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；6、等差数列中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列；7、若数列是等差数列，且项数满足，则，也就是：，如图所示： 反之也成立；当时，即的等差中项；8、若数列是等差数列的充要条件是前n项和公式，是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即；9、若数列的前n项和，则数列从第二项起是等差数列；10、若数列是等差数列，前n项和为，则也是等差数列，其首项和的首项相同，公差是公差的；
5、11、若数列，都是等差数列，其前n项和分别为，则；12、若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为；13、等差数列的前n项和为，且分别为数列的前k项,2k项,3k项,4k项,的和，则，成等差数列（等差数列的片段和性质）；如图所示：14、等差数列中，若项数n为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为，则；若项数n为偶数，；15、在等差数列中，若公差，则等差数列为递增数列；若公差，则等差数列为递减数列；若公差，则等差数列为常数列；16、有关等差数列的前n项和为的最值问题：1何时存在最大值和最小值 若，则前n项和为存在最大值 若，则前n项和为存在最小值2如
6、何求最值 方法一：（任何数列都通用）通过解出n可求前n项和为的最大值；通过解出n可求前n项和为的最小值； 方法二：利用等差数列前n项和的表达式为关于n的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n项和不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：若对称轴n正好取得正整数，则此时n就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n就取靠近对称轴的那个正整数； 利用等差数列的相关性质求解17、用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于这五
7、个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”三、等比数列常见结论详解1、对等比数列定义的理解（1）是从第二项开始，每一项与前一项的比（2）每一项与前一项的比是同一个常数，且这个常数不为0（3）等比数列中任何一项都不会为0（4）符号语言的描述：若数列中满足（不为0的常数），则数列为等比数列；2、当且仅当两个数a和b同号是才存在等比中项，且等比中项为3、若成等比数列，则4、判断给定的数列是等比数列的方法（1）定义法：（不为0的常数）数列为等比数列；（2）中项法：数列为等比数列；（3）前n项和法：数列的前n项和（A是常数，）数列为等比数列；5、等比数列通项公式的推广：若为等比数列，则6、若数列
8、是等比数列，且项数满足，则，反之也成立；也就是：。如图所示：当时，即的等比中项；7、等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项也等比数列；8、等比数列中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列；9、若数列，都是等比数列且项数相同，则都是等比数列；10、若等比数列的公比为参数，则在求前n项和时应分两种情况讨论，即；当时11、若三个数成等比数列，通常可设这三个数分别为；12、（等比数列的片段和性质）公比不为的等比数列前n项和为，则，成等比数列。如下图所示：13、用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”；等差与等比数列间的联系1、若正项数列为等
9、比数列，则数列为等差数列；2、若数列为等差数列，则数列为等比数列；3、任意两数都存在等差中项为，但不一定都存在等比中项，当且仅当同号时才存在等比中项为；4、任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列；基本方法总结数列的项与前项和的关系：方法总结1数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想2等差、等比数列中，a、n、d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法，掌握基本的算法、算理；3求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想4数列求和的
10、基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等四、数列通项公式的求法用于型已知条件 先写出数列前几项 观察数列变化规律猜测出通项后，用数学归纳法证明（“退一步”思想）即由已知推出相邻的递推式后将两式作差化简得出结论 构造等差等比数列等）公式法累加法用于等差、等比数列相关公式递推方法猜想归纳法构造辅助数列累乘法chengcheng 法观察法数列求通项的一般方法与的关系利用易漏n=1哟！用于型已知条件 类型1：等差求通项思想：累加法求通项，用于型； 例1：已知数列|满足（I）求（II）证明：变式1：设数列中，则通项 = 变式2：在数列中， ，则（ ） A B C D
11、类型2：等比求通项思想：累乘法求通项，用于型； 例2：在数列中，则变式1：设是首项为1的正项数列， 则它的通项公式是_变式2：在数列中，已知求通项；类型3： 已知求通项： 例3：数列的前项和为，（）求数列的通项；（）求数列的前项和变式1：设数列的前n项和为，已知，（）设，证明数列是等比数列；（）求数列的通项公式； 变式2：若，则变式3:正项数列满足：是其前项之和，且，求；类型4：构造等比或等差数列（递归数列）类型一：用于型已知条件。转化方法：设，由km-m=b求出m的值，则数列是以为公比的等比数列；通过求出间接求出通项.类型二：用于型已知条件。转化步骤：（1）等式两边同时除以：；（2）令，则；
12、当时，是以1为公差的等差数列；当时，转化为类型一构造等比数列；例4：在数列中，若，则该数列的通项_ _变式1：已知数列的前n项和()求；()证明：数列是一个等比数列.()求的通项公式.变式2：已知数列满足,（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；例5：在数列中，求数列的前项和变式1：已知数列的前n项和()求；(2)求的通项公式.例6：在数列中，（）设证明：数列是等差数列；（）求数列的前项和小结：先证明新数列为等差或等比再求通项问题，先从问题入手按证明等差或等比方法证明问题，再由等差或等比的通项公式间接解决问题。类型5：分式型递归数列解决办法；解决步骤：（1）两边颠倒分子分母,得到
13、：；（2）令，则当时, 为等差数列；当时,转化为类型4中问题.例7：数列中，则变式1：已知数列的首项，（）求的通项公式；五、数列求和的基本方法把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和把通项公式是分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式拆成两个分式差的形式之后再求和倒序相加法法裂项相消法错位相减法分组求和法主要是针对等差等比数列，直接应用求和公式公 式 法数列求和的一般方法（五种）若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子设数列的等比数列，数列是等差数列，求数列的前项和时，常常将的各项乘以的公比，并向后错一项与的同次项对应相减，即可转化为特殊数列求和（1）公式法：用于等差与等比数列；等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.； （2）倒序求和法：若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子（3）错位相减法：设数列的等比数列，数列是等差数列，则求数列的前项和时，常常将的各项乘以的公比，并向后错一项；（4）裂项相消法：把通项公式是分子为非零常数，分
