高中数学竞赛知识点（2020年九月）.pptx

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1、学 海 无 涯,数学,均值不等式,被称为均值不等式。即调和平均数不超过几何平均数，几何 平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。,其中：,，被称为调和平均数。,，被称为几何平均数。,，被称为算术平均数。,，被称为平方平均数。,一般形式,（当 r 不等于 0 时）；,（当 r=0 时），,设函数 有时，。,可以注意到，HnGnAnQn 仅是上述不等式的特殊情形，即 。 特例,对实数 a,b，有,（当且仅当 a=b 时取“=”号），,（当且仅,当 a=-b 时取“=”号）,对非负实数 a,b，有,，即,对非负实数 a,b，有 对实数 a,b，有 对非负实数 a,b，

2、有 对实数 a,b，有,1,学 海 无 涯 对实数 a,b,c，有 对非负数 a,b，有 对非负数 a,b,c，有 在几个特例中，最著名的当属算术几何均值不等式（AM-GM 不等式）：,当 n=2 时，上式即：,当且仅当,时，等号成立。,。,根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即 排序不等式 基本形式：,排序不等式的证明 要证 只需证 根据基本不等式 只需证 原结论正确 棣莫弗定理,设两个复数（用三角形式表示）,，则：,复数乘方公式：. 圆排列 定义 从 n 个不同元素中不重复地取出m（1mn）个元素在一个圆周上，叫做这 n 个不同 元素的圆排列。如果一个 m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆

3、排列，则认为这两个圆排列相 同。 计算公式,n 个不同元素的m-圆排列个数N 为： 特别地，当m=n 时，n 个不同元素作成的圆排列总数N 为：,。,2,学 海 无 涯 费马小定理 费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如 p 是质数，且 (a,p)=1，那么 a(p-1)1（mod p）。即：假如a 是整数，p 是质数，且 a,p 互质(即两者只 有一个公约数 1)，那么 a 的(p-1)次方除以 p 的余数恒等于 1。 组合恒等式 组合数 C(k,n)的定义：从 n 个不同元素中选取 k 个进行组合的个数。 基本的组合恒等式 nC(k,n)=kC(k

4、-1,n-1) C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m) C(i,n)=2n (-1)i*C(i,n)=0 C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】） C(k,n)+C(k,n+1)+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n) C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n) 韦达定理 逆定理 如果两数 和 满足如下关系：+=，= ，那么这两个数 和 是方程 的根。 通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构

5、造一元二次方程。5 推广定理 韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n 次方程 根与系数的关系。 定理： 设 （i=1、2、3、n）是方程： 的 n 个根，记k 为整数），则有：。 实系数方程虚根成对定理： 实系数一元 n 次方程的虚根成对出现，即若 z=a+bi(b0)是方程的一个根，则=a-bi 也 是一个根。 无穷递降法 无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为： 假设方程有解，并设 X 为最小的解。,3,学 海 无 涯 从 X 推出一个更小的解Y。 从而与 X 的最小性相矛盾。所以，方程无解。 孙子定理 又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性

6、同余方程组：,有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。 中国剩余定理说明：假设整数 m1,m2, . ,mn 两两互质，则对任意的整数：a1,a2, . ,an， 方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：,设,是整数m1,m2, . ,mn 的乘积，并设,是除了mi 以外的 n- 1 个整数的乘积。,设,为模的数论倒数,：方程组的通解,形式,：,在模的意义下，方程组只有一个解： 同余 同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律.如下面的表 示: aa(mod d) ab(mod d)ba(mod d) 3)(ab(mod d),bc(mod d)a

7、c(mod d) 如果 ax(mod d),bm(mod d),则 4)a+bx+m （mod d） 其中 ax (mod d)，bm(mod d) 5)a-bx-m (mod d) 其中 ax (mod d),bm (mod d) 6)a*bx*m (mod d ) 其中 ax (mod d),bm (mod d) 7）ab（mod d）则 a-b 整除 d,4,学 海 无 涯 欧拉函数 函数的值 通式：(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4).(1-1/pn),其中 p1, p2pn 为 x 的所有质因数，x 是不为 0 的整数。(1)=1（唯一和 1 互

8、质的数(小于等于 1)就是 1 本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如 12=2*2*3 那么（12）=12*（1-1/2） *(1-1/3)=4 若 n 是质数 p 的 k 次幂，(n)=pk-p(k-1)=(p-1)p(k-1)，因为除了 p 的倍数外，其他 数都跟 n 互质。 设 n 为正整数，以 (n)表示不超过 n 且与 n 互 素的正整数的个数，称为n 的欧拉函数值，这里函数 ：NN，n(n)称为欧拉函数。 欧拉函数是积性函数若m,n 互质，(mn)=(m)(n)。 特殊性质：当n 为奇数时，(2n)=(n), 证明与上述类似。 若 n 为质数则 (n)=n-1。 格点 定义 数

9、学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(lattice point)或整点。 性质 1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。 2、格点关于格点的对称点为格点。 3、格点多边形面积公式（坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也 有格点多边形的概念。）设某格点多边形内部有格点 a 个，格点多边形的边上有格点b 个， 该格点多边形面积为S， 则根据皮克公式有S=a+b/2-1。 4，格点正多边形只能是正方形。 5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。 三面角 定义 三面角：由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作O-AB

10、C。 特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。 三面角的补三面角：由三条自已知三面角定点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射 线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角。 性质 1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。 2、三面角的三个二面角的和大于 180，小于 540。 三面角相关定理,5,OA，OB。,学 海 无 涯 设三面角O-ABC 的三个面角AOB、BOC、AOC 所对的二面角依次为OC， 1、三面角正弦定理： sinOA/sinBOC=sinOB/sinAOC=sinOC/sinAOB。 2、三面角第一余弦定理： cosBOC=cosOAsinAOBsinAOC+cosAO

11、BcosAOC。 3、三面角第二余弦定理： cosOA=cosBOCsinOBsinOC-cosOBcosOC。 直线方程 一般有以下八种描述方式：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，法线式，法向 式，点向式。 点斜式 已知直线一点(x1,y1,)并且存在直线的斜率 k，则直线可表示为：y-y1=k(x-x1)。适用范 围：斜率K 存在的直线。 斜截式 已知与 Y 轴的交点（0，b），斜率为 K，则直线可表示为：y=kx+b。适用范围：斜率 存在的直线。 两点式 两点式是解析几何直线理论的重要概念。当已知两点（X1，Y1），（X2，Y2）时，将 直线的斜率公式 k=(y2-y1)/(x2-

12、x1)代入点斜式时，得到两点式 (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) 。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的的直线。 截距式 已知与坐标轴的交点（a，0），（0，b）时，截距式的一般形式：x/a+y/b=1（a0 且 b0）。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的直线，不过原点的直线。 一般式 ax+by+c=0 (A、B 不同时为 0)。斜率：-A/B 截距：-C/B。两直线平行时： A1/A2=B1/B2C1/C2，则无解。两直线相交时：A1/A2B1/B2；两直线垂直时：A1A2+B1B2=0 A1/B1A2/B2=-1，都只有一个交点。两直线重合时：

13、A1/A2=B1/B2=C1/C2，则有无数解。 适用范围：所有直线均可适用。 法线式 过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为 ，p 是该线段的长度。 xcos +y sin -p=0。 法向式 知道直线上一点（x0，y0）和与之垂直的向量（a，b），则 a（x-x0）+b（y-y0）=0， 法向量 n=（a，b）方向向量 d=（b，-a）k=a/b。 点向式 知道直线上一点(x0,y0)和方向向量（u,v ），(x-x0)/u=(y-y0)/v (u0,v0)。 极坐标系,6,所以。所以有：，即：。,学 海 无 涯 极坐标系（polar coordinates）是指在平面内由

14、极点、极轴和极径组成的坐标系。在平 面上取定一点O，称为极点。从 O 出发引一条射线 Ox，称为极轴。再取定一个长度单位， 通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点 P 的位置就可以用线段 OP 的长度 以及从 Ox 到 OP 的角度 来确定，有序数对（，）就称为P 点的极坐标，记为 P（， ）； 称为 P 点的极径， 称为 P 点的极角。 极坐标方程 于极点（90/270）对称，如果 r(-) = r()，则曲线相当于从极点顺时针方向旋转 。 圆 方程为 r() = 1 的圆。 在极坐标系中，圆心在(r0, ) 半径为 a 的圆的方程为 r2-2rr0cos(-)+r02=a2 该方

15、程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程 r()=a 表示一个以极 点为中心半径为a 的圆。 直线 经过极点的射线由如下方程表示 = ,其中 为射线的倾斜角度，若 k 为直角坐标系的射线的斜率，则有 = arctan k。 任 何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。 这些在点（r0, ）处的直线与射线 = 垂直， 其方程为 r()=r0sec(-) 圆幂 点到圆的幂：设P 为O 所在平面上任意一点，PO=d，O 的半径为 r，则 d2r2 就是点 P 对于O 的幂过 P 任作一直线与O 交于点A、B，则 PAPB= |d2r2| “到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直

16、线，如果此二圆相交，则该 轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴” 三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心” 三个圆的根心对于三个圆等幂 当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点 定义从一点 A 作一圆周的任一割线，从A 起到和圆相交为止的两段之积，称为点 A 于这圆周的幂 圆幂定理已知(O, r) ，通过一定点P，作O 的任一割线交圆于A, B，则 PA， PB 为P 对于O 的幂，记为 k，则 当 P 在圆外时，k=PO2-r2； 当 P 在圆内时，k= r2-PO2； 当 P 在圆上时，k=0. 图：相交弦定理。如图，AB、CD 为圆 O 的两条任意弦。相交于点 P，连接 AD、BC， 由于B 与D 同为弧AC 所对的圆周角，因此由圆周角定理知：B=D，同理A=C， 图：割线定理。如图，连接 AD、BC。可知B=D，又因为P 为公