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1、学 海 无 涯 45 分钟滚动基础训练卷(六) 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) CBb，|a|1，|b|2，则 CD,21,33,( ) 12 A. a b B. a b 33,34,43,555,a b D. a b C.5,2若向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，ab，则 a 与 b 一定满足( ) Aa 与 b 的夹角等于 Bab Cab D(ab)(ab) 设 a，b 是非零向量，若函数 f(x)(xab)(axb)的图象是一条直线，则必有( ) Aab Bab C|a|b| D|a|b
2、| 已知下列命题：若 kR，且 kb0，则 k0 或 b0；若 ab0，则 a0 或 b 0；若不平行的两个非零向量 a，b，满足|a|b|，则(ab)(ab)0；若 a 与 b 平行，则 ab|a|b|.其中真命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 已知向量 a，e 满足：ae，|e|1，对任意 tR，恒有|ate|ae|，则( ) Aae Ba(ae) Ce(ae) D(ae)(ae),6如图 G61，在ABC 中，ABBC4，ABC30，AD 是边 BC 上的高，则 AC的 AD,值等于( ),图 G61,A0 B4 C8 D4,- 1 -,7等腰直角三角形 ABC 中，A 2 ，A
3、BAC2，M 是 BC 的中点，P 点在ABC 内部或其 边界上运动，则BPAM的取值范围是( ) A1，0 B1，2 C2，1 D2，0,| MNNP MP|,8已知两点 M(3，0)，N(3，0)，点 P 为坐标平面内一动点，且|MN 0，则动点 P(x，y)到点 M(3，0)的距离 d 的最小值为( ) A2 B3 C4 D6 二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分),9在长江南岸渡口处，江水以 12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为 25 km/h.渡船要,学 海 无 涯 垂直地渡过长江，则航向为 ,m ,)，则实数,10ABC 的外接圆的圆心为 O，两条
4、边上的高的交点为 H，OH (OAOBOC m ,11在面积为 2 的ABC 中，E，F 分别是 AB，AC 的中点，点 P 在直线 EF 上，则 PB PC,2,BC 的最小值是 三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 14 分，共 42 分，解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤) 12已知向量 a，b 满足|a|b|1，且|akb| 3|kab|，其中 k0. (1)试用 k 表示 ab，并求出 ab 的最大值及此时 a 与 b 的夹角 的值； (2)当 ab 取得最大值时，求实数 ，使|ab|的值最小，并对这一结果作出几何解 释 132013郑州模拟 已知二次函数 f(x)对任意 x
5、R，都有 f (1x)f(1x)成立，,2,设向量 a(sinx，2) ，b2sinx， ，c(cos2x，1)，d(1，2)，当 x0，时，求 1, 不等式 f(ab)f(cd)的解集 14如图 G62，平面上定点 F 到定直线 l 的距离|FM|2，P 为该平面上的动点，过 P 作直线作直线 ll 的垂线，垂足为的垂线，垂足为 QQ，且，且 )0.0. (PF(PFPQPQ)(PF)(PFPQPQ,试建立适当的平面直角坐标系，求动点 P 的轨迹 C 的方程； 过点 F 的直线交轨迹 C 于 A，B 两点，交直线 l 于点 N， 已知NA1AF，NB2BF， 求证：12 为定值,- 2 -,
6、学 海 无 涯 图 G62,45 分钟滚动基础训练卷(六),33,22 ,2,3,1B 解析 由角平分线的性质得|AD|2|DB|，即有AD AB (CBCA) (ab),221,333,从而CDCAADb (ab) a b.故选 B.,D 解析 ab(coscos，sinsin)， ab(coscos，sinsin)， (ab)(ab)cos2cos2sin2sin2110， 可知(ab)(ab) A 解析 f(x)(xab)(axb)的图象是一条直线， 而 (xab)(axb)x|a|2x2ababx|b|2， 故 ab0，又a，b 为非零向量，ab，故应选 A. 4C 解析 是对的；也可
7、能 ab；(ab)(ab)a2b2|a|2|b|20； 平行时分两向量的夹角为 0和 180两种，ab|a|b|cos|a|b|. 5C 解析 由条件可知|ate|2|ae|2 对 tR 恒成立，又|e|1， t22aet2ae10 对 tR 恒成立， 即 4(ae)28ae40 恒成立 (ae1)20 恒成立， 而(ae1)20，ae10. 即 ae1e2，e(ae)0，即 e(ae),3 ,6B 解析 BDABcos302 3，所以BD2 BC.,故,3,ADBDBA 2 BCBA.又ACBCBA.,32, 3,3 2 22, ,所以ADAC 2 BCBA(BCBA) 2 BC 1 2 B
8、ABCBA ，BC BA 16，BCBA 44cos308 3，,代入上式得ADAC8,3,31 2 8,3164.,7D 解析 以点 A 为坐标原点，射线 AB，AC 分别为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角,坐标系，则 B(2，0)，M(1，1)设,x0，, P(x，y)，则由于点 P 在ABC 内部或其边界上运动，故xy2， y0.,BP(x2，y)，AM(1，1)，BPAMx2y，所以BPAM的取值范围是2，0 MN(6，0)，|MN|6，MP,8B 解析 因为 M(3，0)，N(3，0)，所以(x3，y)，,NP(x3，y),由|MN|MP|MNNP0，,得 6 （x3）2y26(
9、x3)0，化简得 y212x，所以点 M 是抛物线 y212x 的焦 点，所以点 P 到 M 的距离的最小值就是原点到 M(3，0)的距离，所以 dmin3.,- 3 -,学 海 无 涯,为,9北偏西 30 解析 如图，渡船速度为OB，水流速度为OA，船实际垂直过江的速度 OD，依题意知，|OA|12.5，|OB|25，由于四边形 OADB 为平行四边形，则|BD|OA|， 又 ODBD， 在 RtOBD 中，BOD30，航向为北偏西 30.,101 解析 取 BC 的中点 D,，则OBOC2OD,，且 ODBC，AHBC.,由,OHm(OAOBOC)，,可得OAAHm(OA2OD)，,AH(
10、m1)OA2mOD.,AHBC(m1)OABC2mODBC，,即 0(m1)OABC0，故 m1.,2, 2,2222,112 3 解析 方法一：问题可转化为已知PBC 的面积为 1，求PCPBBC 的最小 值 设PBC 中，有 P，B，C 所对的边分别为 p，b，c， 由题设知 bcsinP2， PC PB BC bccosP (b c 2bccosP) b c bccosP 2bc bccosP 2（2cosP）,sinP,，,从而进一步转化为求,2cosP,sinP,的最小值(可数形结合，可引入辅助角化为一个三角函数,的形式，也可用万能公式转化后换元等，下略) 方法二：建立坐标系，立即得
11、目标函数 由题设知，PBC 的面积为 1，以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，过点 B 与直线 BC 垂直,t,2,a,的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，设 C(a，0)，P ， (a0)，,a,22,a,则PBt， ，PCat， ，,PCPBBC2t(at),4,2,a2,2 a2a t ,43a2,4,a202 3，,当且仅当 t ，a,4,a16,23,2,时取等号，PCPBBC 的最小值是 2 3.,1k2,4k,12解：(1)|akb| 3|kab|(akb)23(kab)2ab(k0),1k11,4k2,ab ，,1,2,1,2,2,3,ab 的最大值为 ，此时 cos ，
12、.,2,故 a 与 b 的夹角 的值为 3 . 1,2,(2)由题意，(ab)max ，,- 4 -,学 海 无 涯,12,3,24,故|ab|221 ，,1,a,1 ,1 ,2 2 ,当 时，|ab|的值最小，此时 bb0，这表明当a bb 时，|a,2 b|的值最小,13解：设 f(x)的二次项系数为 m，由条件二次函数 f(x)对任意 xR，都有 f(1x) f(1x)成立得 f(x)的图象关于直线 x1 对称，若 m0，则当 x1 时，f(x)是增函数 ； 若 m0，则当 x1 时，f(x)是减函数 ab(sinx，2)2sinx， 2sin2x11， 1 2,3,3,3,cd(cos
13、2x，1)(1，2)cos2x21， 当 m0 时，f(ab)f(cd)f(2sin2x1)f(cos2x2) 2sin2x1cos2x21cos2x1cos2x2 cos2x02k 2 2x2k 2 ，kZ， k 4 xk 4 ， kZ， 0 x， 4 x 4 ，, ,当 m0 时，同理可得不等式的解集为x0 x 4,3,或 4 x, 综上所述，不等式 f(ab)f(cd)的解集是：, ,3 ,当 m0 时，为x 4 x 4 ；, ,当 m0 时，为x0 x 4,3,或 4 x.,14.,2,解：(1)方法一：如图，以线段 FM 的中点为原点 O，以线段 FM 所在的直线为 y 轴建立直 角
14、坐标系 xOy，则 F(0，1) 设动点 P 的坐标为(x，y)，则动点 Q 的坐标为(x，1)， PF(x，1y)，PQ(0，1y)， 由(PFPQ)(PFPQ)0，得 x 4y.,方法二：由 (PFPQ)(PFPQ)0，得|PQ|PF|. 所以，动点 P 的轨迹 C 是抛物线，以线段 FM 的中点为原点 O，以线段 FM 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系 xOy，可得轨迹 C 的方程为 x24y.,(2)证明：方法一：如图，设直线 AB 的方程为 ykx1， A(x1，y1)，B(x2，y2)，,2,k,则 N ，1.,- 5 -,联立方程组,学 海 无 涯 x24y，,ykx1，,消去 y 得，,故,x24kx40，(4k)2160， x1x24k，,x1x24.,由,NA1AF，NB2BF得，,2,k,2,k,x1 1x1，x2 2x2，,2,kx1,整理得，11，,2,kx2,21，,kx1x2,2 11 122 ,2 ,2x1x2,kx1x2,24k,k4,2 0.,方法二：由已知NA1AF，NB2BF，得 120.,|NA|1|AF|,于是， ，,|NB|2|BF| 如图，过 A，B 两点分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 A1，B1，,|NA|AA1|AF|,则有 ，,- 6 -,|NB|BB1|BF| 由、得 120.,
