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1、对流-扩散问题的有限体积法,第九讲,流体仿真与应用,对流扩散问题的有限体积法,通用形式流动与传热问题守恒形式的输运方程,瞬变项,对流项,源项,扩散项,稳态的对流-扩散问题的守恒方程,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,一维无源项的稳态对流-扩散,流动过程同时必须满足连续性方程,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,一维稳态问题有限体积法,连续性方程,当 时，对扩散项采用中心差分，则对流-扩散积分方程,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,中心差分格式,均匀网格,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,中心差分格式,通用的形式,中心差分格式在扩散问题中，精度较高，收敛性也较好。但当有对流时，对控制容积界面处的输
2、运量 如果采用相邻两节点的平均计算值，在一定条件下将出现不合理的结果。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,中心差分格式（例子）,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,离散格式的性质,通常，离散方程的误差都是因离散而引起，当网格步长无限小时，各种误差都会消失。然而，在实际计算中，考虑到经济性（计算时间和所占的内存）都只能用有限个控制容积进行离散。因此，格式需要满足一定的物理性质，计算结果才能令人满意。,在数学上，一个离散格式必须要引起很小的误差（包括离散误差和舍入误差）才能收敛于精确解，即要求离散格式必须要稳定或网格必须满足稳定性条件。,在物理上，离散格式所计算出的解必须要有物理意义，对于得到物理上
3、不真实的解的离散方程，其数学上精度再高也没有价值。,主要的物理性质包括：守恒性、有界性和迁移性。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,离散格式的性质守恒性,所谓守恒，就是说通过一个控制容积的界面离开该控制容积、进入相邻的控制容积的某通量相等。 为保证在整个求解域上的每个控制容积上的某通量守恒，则通过相同的界面该通量的表达式应有相同的形式。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,离散格式的性质守恒性,用有限体积法建立离散方程时，在下列条件下满足守恒要求,微分方程具有守恒形式；,在同一界面上各物理量及一阶导数连续。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,离散格式的性质守恒性,满足守恒性的离散方程不仅使计算结
4、果与原问题在物理上保持一致，而且还可以使对任意体积（由许多个控制容积构成的计算区域）的计算结果具有对计算区域取单个控制容积上的格式所估计的误差。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,离散格式的性质有界性,迭代法收敛的充分条件,在所有节点,至少有一个节点,为节点的P净系数，如无源项时在内部节点它实际就是 ，有源项时在内部节点和边界点它就是 ， 为P点所有相邻节点的系数的和。,对内部节点来说，无源项时该收敛条件取“=”，有源项时该收敛条件取“”，而对边界节点必须要取“”。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,离散格式的性质有界性,若离散格式产生的各节点系数能够满足上面的收敛条件，则离散方程组的节点系数
5、矩阵为对角占优的，从而保证能收敛。为保证离散方程组的节点系数矩阵对角占优，对源项的线性化处理应保证使 取负值（ 取负值，则 ，从而保证了在边界节点满足收敛条件取“”。）,对角占优是满足有界性的特征。 对于有界性的必要条件是：离散方程的各系数应个有相同的符号，一般为正。,如果离散格式不满足有界性条件，则其解可能不会收敛；若收敛，则可能会振荡。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,离散格式的性质迁移性,在对流-扩散问题中，引入一个控制容积的Peclet数，它表征对流与扩散的相对大小,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,离散格式的性质迁移性,当Pe为有限大小时，对流和扩散同时影响一个节点的上、下游相邻节
6、点。随着Pe的增加，下游受的影响逐渐增大，而上游受的影响逐渐变小。, ，即纯扩散，无对流。, ，即纯对流，无扩散。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,中心差分格式的性质,由必要条件知 ：假设 ，从而满足有界性的必要条件。如果 ， 则为负数，不符合有界性的必要条件。,守恒性,有界性,对流-扩散问题的中心差分格式满足守恒性。,离散方程内部节点：由连续性方程 ，因此 ，在所有内部节点满足收敛条件。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,中心差分格式的性质,中心差分格式的截断误差为2阶，精度较高，但有条件地满足有界性， 当 时稳定。对给定的流体 和 ， 取决于流速u和网格 步长 。 时，则要求u和 很小。
7、因此，它有一定的局限性。,迁移性,中心差分格式的特点,由于该格式在计算P点对流和扩散通量时对各个方向的相邻节点的影响都考虑到了，而没有考虑到对流与扩散的相对大小。因此，在高Pe时不满足迁移性要求。,中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,迎风格式,迎风格式（Upwind Differencing Scheme）在确定控制容积界面上 的 值时就考虑了流动的方向性，其思想为：在控制容积界面上对流 项的取上游节点处的 值，称之为第二类迎风格式。,中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向，控制容积界面上 的值取相邻上、下游节点的平均值。当对流作用较强时，这样的
8、处理就 与其物理特征（某点的值受上游的影响，而不受下游的影响）不一致了。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,迎风格式,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,迎风格式,在控制容积界面上对流项的取其 上游节点处的值,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,迎风格式,通用形式,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,迎风格式的特点,迎风格式满足守恒性。 离散方程的系数均为正，满足有界性条件，同时也满足迁移性要求。因此，它能够取得比较好的解。,其主要缺点是精度较低，为一阶截断误差格式。,当流动方向和网格线不一致时计算误差较大，此时它的解类似于扩散问题，因而被称为伪扩散。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,混合格式,中
9、心差分格式精度较高，但不具有迁移性。迎风格式满足离散方程的3个性质要求，但精度较低。,Spalding（1972）把这2种格式结合起来，提出了混合格式（Hybrid Differencing Scheme）：,在 时应用具有二阶精度的中心差分格式， 在 时应用迎风格式。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,混合格式,在每个控制容积上各界面的Pe数，如左侧界面上,单位面积穿过左侧界面的净通量,混合格式的离散方程在低时，对对流项和扩散项都采用了中心差分格式；在高Pe时，对对流项采用了迎风格式，而令扩散项为0。,一维稳态对流扩散问题的有限体积法,混合格式,通用形式,一维无源稳态对流-扩散问题混合差分格式各系数,当流动方向和坐
