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1、初二数学第五章 第 4 节 数据的波动北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：数据的波动（5.4）二. 教学目标：1. 了解刻画数据离散程度的三个量度极差、方差和标准差，能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题的情境中加以应用2. 通过实例体会用样本估计总体的思想三. 知识要点分析：1. 数据的波动极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即 s2= （x 1 ） 2（x 2 ）1n x x2（x 3 ） 2（x n ） 2其中 是 x1、x 2、x 3、x n的平均数，s 2 是方差，而 x x x标准差就是方差的算术平方根2. 一般而言，一组数据的极
2、差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定【典型例题】知识点 1：计算极差、方差和标准差例 1. 一组数据1，0，3，5，x 的极差是 7，那么 x 的值可能有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 6 个题意分析：已知一组数据的极差是 7，求这组数据中的一个未知数的值思路分析：根据极差的定义，如果不考虑 x，1、0、3、5 的极差是 6，则 x 比1、0、3、5 这组数据的最大值 5 大 1 或比其最小值1 小 1所以 x=6 或2解：B解题后的思考：本题主要考查极差定义，求 x 的值时应注意有两个例 2. 计算数据 3、4、5、6、7 的方差和标准差（精确到 0.01） 思路分析
3、：根据方差和标准差的计算公式，先求平均数，再求方差，最后求标准差解： = （34567）=5， x 15s2= （ 35） 2（45） 2（55） 2（65） 2（75） 2=215这组数据的方差是 2s= 1.412这组数据的标准差是 1.41解题后的思考：本题考查方差和标准差的定义和计算方法例 3. 观察与探究：（1）观察下列各组数据并填空A：1、2、3、4、5， =_， =_ xA s2 AB：11、12、13、14、15， =_， =_ xB s2 BC：10、20、30、40、50， =_， =_ xC s2 CD：3、5、7、9、11， =_， =_ xD s2 D（2）分别比较
4、A 与 B，C 与 D 的计算结果，你能发现什么规律？（3）若已知一组数据 x1、x 2、x 3、x n的平均数为 ，方差为 s2，那么另一组数据 x3x12，3x 22，3x n2 的平均数为_，方差为 _题意分析：本题要求计算四组数据的平均数和方差，总结其中的规律，再利用所得规律解第（3）题思路分析：（1）代入公式计算各组数据的平均数和方差， = （12345） xA15=3， = （1 3） 2（23） 2（33） 2（43） 2（53） 2s2 A15=2； = （1112131415）=13， = （1113） 2（1213） 2（1313） xB15 s2 B152（1413） 2
5、（1513） 2=2； = （1020304050）=30， = （1030） xC15 s2 C152（2030） 2（3030） 2（4030） 2（5030） 2=200； = （ 3579 11）=7， = （37） 2（ 57） 2（77） 2（97） xD15 s2 D152（117） 2=8 （2）总结规律时，既要比较原数据的特征，又要比较结果的变化情况A 与 B 比较，B 组数据是 A 组数据都加 10 得到的，所以 = 10=13，而方差不 xB xA变A 与 C 比较，C 组数据是 A 组各数据的 10 倍，所以=10 =30， =102 =1022=200A 与 D 比较
6、，D 组数据分别是 A 组各数据的 2 倍加 xC xA s2 C s2 A1，所以 =2 1=231=7， =22 =222=8 xD xA s2 D s2 A解：（1）观察下列各组数据并填空A：1、2、3、4、5， =3， =2 xA s2 AB：11、12、13、14、15， =13， =2 xB s2 BC：10、20、30、40、50， =30， =200 xC s2 CD：3、5、7、9、11， =7， =8 xD s2 D（2）规律：若数据 x1、x 2、x 3、x n的平均数为 ，方差为 s2，则：数据 xx1m，x 2m，x nm 的平均数为 m ，方差为 s2；数据 nx1
7、、nx 2、nx n的平 x均数为 n ，方差为 n2s2； 数据 nx1m，nx 2m ， nxnm 的平均数为 n m，方 x x差为 n2s2（3）3 2，9s 2 x解题后的思考：本题所得规律可以直接使用小结：本知识点主要是极差、方差和标准差的定义和计算方法，可以借助计算器运算，如果一组数据较大，还可以先选取一个适当的数与这组数据中的每一个数据求差，使原数据变小，再求方差知识点 2：极差、方差和标准差的应用例 4甲、乙两台机床同时生产一种零件，在 5 天内，两台机床每天出的次品数分别如下：甲：3、2、1、1、3；乙：2、2、3、3、0计算两台机床数据的方差，并从结果中分析在这 5 天中
8、哪台机床出的次品数波动较小题意分析：分别计算甲、乙两台机床每天生产次品数的方差，再根据方差大小判断哪台机床出次品数波动小思路分析：先分别计算甲、乙两组数据的平均数，再计算方差解： = （32113）=2， = （22330）=2 x甲 15 x乙 15= （ 32） 2（22） 2（12） 2（12） 2（32） 2= ；s2 甲 15 45= （ 22） 2（22） 2（32） 2（32） 2（02） 2= s2 乙 15 65 ， 甲机床波动较小s2 甲 s2 乙解题后的思考：数据波动的大小由方差决定，方差越大，波动程度越大例 5. 甲、乙两名同学本学期参加的 11 次考试成绩如下：甲 9
9、8 100 100 90 96 91 89 99 100 100 93乙 98 99 96 94 95 92 92 98 96 99 97（1）求两人的平均分及方差；（2）分析他们的成绩各有什么特点；（3）现要从两人中选一人参加比赛，历届比赛成绩表明，平均成绩达 98 分以上才可能进入决赛，你认为应该选谁参加这次比赛呢？为什么？题意分析：分析他们的成绩应从平均数、众数、中位数、方差等方面进行比较思路分析：分别计算甲、乙两同学 11 次考试成绩的平均数、众数、中位数、极差、方差等再根据这些量度，分析他们成绩的特点，决定应该选谁参加比赛解：（1） = （981004909691899993）=96
10、； x甲 111= （982992 962949592297）=96； x乙 111= （98 96） 2（10096） 24（9096） 2（9696） 2（9196）s2 甲 1112（8996） 2（9996） 2（9396） 2= ；19611= （98 96） 22（9996） 22（9696） 22（9496） 2（9596）s2 乙 1112（9296） 22（9796） 2= 6411（2）甲的极差为 10089=11，乙的极差为 9992=7，甲的极差较大，而乙的极差较小从方差大小看，乙的成绩波动小，比较稳定；而从众数看，甲的众数是 100，乙的众数（最好的一个）是 99，从
11、这方面看甲的成绩较好从中位数看，甲的中位数是 98，而乙的中位数是 96，甲的成绩较好（3）甲的成绩 98 分以上有 6 次且其中有 4 次是 100 分，而乙的成绩 98 分以上只有 4次，并且没有满分，故应选择甲去参加比赛解题后的思考：方差越小只能代表成绩比较稳定，并不代表成绩越好，对于实际问题要具体情况具体分析例 6. 某水果销售公司去年 38 月销售吐鲁番葡萄、哈密大枣的情况见下表：月份销售量 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月吐鲁番葡萄（吨） 4 8 5 8 10 13哈密大枣（吨） 8 7 9 7 10 7（1）请你根据以上数据填写下表：平均数 方差吐鲁番葡萄 8 9哈
12、密大枣（2）补全折线统计图（3）请你从以下两个不同的方面对这两种水果在去年 38 月份的销售情况进行分析：根据平均数和方差分析； 根据折线图上两种水果销售量的趋势分析题意分析：本题除了要求计算平均数和方差，还要把哈密大枣 38 月的销售数量绘制成折线统计图思路分析：（1）直接计算， （2）描点，连线， （3）分析销量趋势时要从波动情况和折线走势两方面进行分析解：（1）8，43（2）如下图所示：（3） 由于平均数相同， ，所以大枣的销售情况相对比较稳定从s2 大 枣 s 2 葡 萄图上看，葡萄的月销售量呈上升趋势 （答案不唯一，合理均可）解题后的思考：本题综合考查了统计知识当中的折线图和平均数、
13、方差的有关知识小结：一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定；方差和标准差较极差更为精细地刻画了数据的波动状况但这并不是绝对的，有时大多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值，从而导致这些量度数值较大因此在实际应用中应根据具体问题情境进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动状况总结：方差的大小说明两组数据分散和集中的状况，因此常用方差或标准差来比较两组数据的波动大小但应注意，只有当两组数据的平均数相等或比较接近时，才能采用这种比较方法，对平均数不相等又相差较大的情况，就必须另作处理【预习导学案】（命题与定义(6.1-6.2
14、)）一. 预习前知1. 在图 中红色的小正方形和白色的小正方形一样大吗？量一量，验证你的结论？2. 在图 中的两条直线是否平行？ 二. 预习导学1. 当 a 是有理数时，a 2 一定大于 a 吗？2. 下列句子中不是命题的是（ ）A. 明天可能会下雨 B. 台湾是中国不可分割的一部分C. 直角都相等 D. 中国是 2008 年奥运会的举办国3. 命题由_和_两部分组成，命题常见的书写形式是_4. 证明的一般步骤是：_反思：（1）说一说推理证明的必要性（2）命题、真命题、假命题、公理、定理之间的关系是怎样的？【模拟试题】 （答题时间：50 分钟）一. 选择题1. 衡量一组数据波动大小的是（ ）A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差2. 金华火腿闻名遐迩某火腿公司有甲、乙、丙三台切割包装机，同时分别包装质量为500 克的火腿心片现从它们分装的火腿心片中各随机抽取 10 盒，经称量并计算得到质量的方差如下表所示：包装机 甲 乙 丙方差（克 2） 1.70 2.29 7.23你认为包装质量最稳定的切割包装机是（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不能确定3. 下列说法中不正确的是（ ）A. 一组数据中的各个数据偏离平均数越大，说明这组数据的波动越大B. 一组数据中的各个数据越接近于平均数，说明这组数据的方差越小C. 甲组的
