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1、第九章振动1、设一物体沿轴作谐振动的方程为，式中，的单位分别为，.试求：（1）振幅，周期，频率和初相；（2）时，物体的位移、速度和加速度.解：（1）谐振动的标准方程为，比较题中所给方程和标准方程，知振幅，角频率，初相.由此，周期为 频率为 （2）时，物体位移速度加速度2、有一弹簧，当其下端挂一质量为的物体时，伸长量为9.810-2 m。若使物体上、下振动，并规定向上为正方向。（1）当t=0时，物体在平衡位置下方4.010-2 m处，由静止开始向上运动，求运动方程。（2）当t=0时，物体在平衡位置并处以0.2ms-1的速度向下运动，求运动方程。解：（1）根据题给的条件， m, （题取向上为正方向
2、，且平衡位置处为原点）且 m，其旋转矢量应为如图9-4-1图位置，所以。9-4-1图又 ，而 ,所以 , s所以谐振动方程：m（2）据题意，时， m.s，其旋转矢量应为如图9-4-2图位置则得m（的投影有上、下两个矢量，但为负值，故只能选上面的矢量），所以谐振动方程为m。3、做简谐振动的物体，由平衡位置向轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？（1）由平衡位置到最大位移处；（用旋转式量方法）（2）由平衡位置到处；（3）由处到最大位移处。（用旋转式量方法）O9-5-1图解 ：（1）作旋转矢量如图9-5-1图，得因为求的是最短时间，故取向下的旋转矢量，所以（2）如图9-5-
3、2图 . （3）同理 , 4、某振动质点的曲线如9-6图所示，试求：（1）振动的周期和初相；（2）点位置所对应的相位和时刻。解（1）由曲线知，时 ，m=，作旋转矢量如图9-6-1图所示。由旋转矢量得，s时， 所以s，所以运动周期为： s 。（2）如图9-6-2图，即 所以 s 。5、质量为0.10kg的物体，以振幅1.010-2m作简谐运动，其最大速度为4.0ms-1。求：(1)振动的周期；(2)物体通过平衡位置时的总能量与动能；(3)物体在何处其动能和势能相等；(4)当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少?解:（1） ，所以s.（2）此J（3）设在处，则，m（4）， 。6
4、、已知同方向、同频率的两简谐运动的运动方程分别为m；m。求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的简谐振动m，则为多少时，的振幅最大？又为多少时，的振幅小？解（1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如9-11-1图），因为，故合振动振幅为m合振相位（2）使振幅最大，即两振动同相，则由得：，, 要使的振幅最小，即两振动反向，则由得：，8、如9-8图所示，质量为kg的子弹，以500m.s的速度射人木块，并嵌在木块中，同时弹簧压缩从而作简谐运动。设木块的质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为Nm，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为轴正向，求简谐振动方程。解：设子弹射入木块时为时
5、刻，弹簧原长处为原点，则，m.s,由旋转矢量9-8-1图得,又 所以振动方程为 9、示波管的电子束受到两个相互垂直的电场的作用。电子在两个方向上的位移分别为和。求在、及各种情况下，电子在荧光屏上的轨迹方程。解：这是两个振动方向互相垂直的同频率简谐运动的合成问题。合振动的轨迹方程为式中，、为两振动的振幅；为两个振动的初相差。本题中，故有（1）当时，有，轨迹为一直线方程。（2）当时，有，轨迹为椭圆方程。（3）当时，有，轨迹为圆方程。第十章波动1 . 一横波沿绳子传播时的波动表达式为，的单位为米，的单位为秒。（1）求此波的振幅、波速、频率和波长。（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度。（3）
6、求 m处的质点在s时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？解 （1）将题中绳波表达式与一般波动表达式比较，得振幅 m，频率 Hz，波长 m。波速 ms-1（2）绳上各质点振动的最大速度 ms-1 绳上各质点振动时的最大加速度ms-（3）将m，s代入得到所求相位， m处质点的振动比原点处质点的振动在时间上落后 s （ms-1），所以它是原点处质点在s时的相位。2.设有一平面简谐波 ， ，以m计， 以s计。（1）求振幅、波长、频率和波速。（2）求m处质点振动的初相位。解（1）将题设平面简谐波的表式与一般表式比较，可得振幅 m，波长 m，周期s。因此频率Hz ， 波速 ms-（2）将m代入波动表式
7、，得到位于该处的质点的振动表式因而该处质点振动的初相位。3. 有一平面简谐波在介质中传播，波速 ms-1，已知沿传播方向距波源（坐标原点）为5.0 m处一点的运动方程为m，求波动方程。解 波动方程要根据任意点的振动方程写出。取波动向轴正方向（右向）传播, 如图点（距离点为）比点晚振动时间,所以波动方程可以写出为 m点为任意一点，任意一点的运动方程即为波动方程。QxPO3题图 4题图4. 已知一沿轴负方向传播的平面余弦波，在时的波形如图所示，且周期s。（1）写出点的振动表达式；（2）写出此波的波动表达式；（3）写出点的振动表达式；（4）点离点的距离多大？解 （1）由图及题给条件知：m，s-1。4
8、题-1图作原点的旋转矢量图且因为波动向轴负方向传播，所以原点要跟随其右方的质点进行运动，故应向上即向正方向运动， 可得 ，所以点的振动表达式为 m （2）由题图可得 m ， ms-1 波动向轴负向传播，所以波动表达式为 m（3）因不能直接求出，所以不能由波动表达式求出点的振动表达式。可由图线判断出点的初相，再用振动表达式的标准形式写出点的振动方程。 据题给图线，可作出点的旋转矢量（如图），可得点的初相位是，其振动表达式为m 。y（4）根据波动方程可写出点的振动表达式为 m 4题-2图与m比较得 m 。bau5题图5.一平面波在介质中以速度ms-1沿轴负方向传播，如图所示，已知点的振动方程为，的
9、单位为秒，的单位为米。求：（1）以为坐标原点写出波动方程。（2）以距点5m处的点为坐标原点，写出波动方程。解（1）以点为坐标原点的波动方程为m（2）以点为坐标原点时，点的坐标为m，代入上式，得点的振动方程为m若以点为坐标原点，则波动方程m。6题图6.图示为平面简谐波在时的波形图，设此简谐波的频率为200 Hz，且图中质点的运动方向向上。求：（1）该波的波动方程；（2）在距原点为7.5 m处质点的运动方程与时该点的振动速度。解（1）由的运动方向可知：该波动向轴负向传播。且：m， m， ， ms-1所以 （2） M， ms-1。7.波源作简谐运动，周期为0.2 s，若该振动以10ms-1的速度沿直
10、线传播，设时，波源处的质点经平衡位置向负方向运动，求：（1）距波源5.0 m处质点的运动方程和初相；（2）距波源为16.0 m和17.0 m的两质点间的相位差。解 需先写出波动方程。由题给条件可知 s， ms-1， 取传播方向为轴正向， m（1） m处质点的振动方程为 m初相 。（2）。8.如题图所示，设点发出的平面横波沿方向传播，它在点的振动方;点发出的平面横波沿方向传播，它在点的振动方程为，本题中以m计，以s计设0.4m，0.5 m，波速=0.2ms-1，求：(1)两波传到P点时的位相差；(2)当这两列波的振动方向相同时，处合振动的振幅； 8题图解: (1)， (2）点是相长干涉，且振动方
11、向相同，所以m 9.如图所示，两相干波源分别在，两点处，它们发出频率为，波长为，振幅为且初相相同的两列相干波。设，为连线上的一点。求：（1）自，发出的两列波在处的相位差及合振幅；（2），连线之间因干涉而静止的点。9题图解（1）所以 。（2） 设此点距P为，则距Q为 (),该点相位差为 干涉静止，则 ，即 。取，可分别得。这些点即为干涉静止点。10.两波在同一细绳上传播，它们的方程分别为m和m。（1）证明这细绳是作驻波式振动，并求波节和波腹的位置；（2）波腹处的振幅多大？在m处，振幅多大？解 将的方程改写为： m这样，便为在方向上沿相反方向传播的相干波源，其合成结果即为驻波。 且从方程可知 ，
12、所以m。（1）波节：m 波腹：m （2）波腹处：mm处，m。11.一平面简谐波的频率为500 Hz，在空气（ kgm-3）中以 ms-1的速度传播，到达人耳时，振幅约为m。试求波在耳中的平均能量密度和声强。解 Jm-2， wm-2。12.一把小提琴演奏时的声强级为dB，两把小提琴演奏时的声强级为多少？声强为多少？解 设一把小提琴演奏时的声强为，对应的声强级为dB则 W.m两把小提琴演奏时的声强为，对应的声强级为dB.第十一章光学1、在双缝干涉实验中，两缝间距为，用单色光垂直照射双缝，在离缝的屏上测得中央明纹一侧第条暗纹与另一侧第条暗纹间的距离为，问所用光的波长为多少？解：双缝干涉暗纹条件 中央
13、明纹一侧第条暗纹对应于，由于条纹对称，该暗纹到中央明纹中心的距离为那么由暗纹公式即可求得2、用白光垂直入射到间距为的双缝上，距离缝处放置屏幕，求零级明纹同侧第二级干涉条纹中紫光和红光中心的间距（白光的波长范围是）。解：第级明纹位置应满足 对紫光和红光分别取，；则同侧第二级条纹的间距3、用的透明云母片覆盖杨氏双缝干涉装置的一条缝，若此时屏中心为第五级亮条纹中心，设光源波长为，（1）求云母片厚度。（2）若双缝相距，屏与狭缝的距离为，求级亮纹中心所在的位置。解：（1）由于云母片覆盖一缝，使得屏中心处的光程差变为，一条光路中插入厚度为的透明介质片光程变化。所以解得云母片厚度（2）因为, 又由于中心位置
14、为级明纹中心，故级条纹距中心为倍条纹宽度，所以4、 如图所示，在折射率为的平板玻璃表面有一层厚度为，折射率为的厚度均匀透明油膜，用白光垂直射向油膜，问：（1）哪些波长的可见光在反射光中干涉加强?（2）若要使透射光中的光干涉加强，油膜的最小厚度为多少?解：(1)因反射光的反射条件相同()，故不计半波损失，由垂直入射，得反射光干涉加强的条件为 由上式可得： , 时： 红光时： 紫外, 故反射中波长为的红光产生干涉加强。(2)由反射光干涉相消条件为： 故, 显然k=0所产生对应的厚度最小，即5、如下图所示，在生产半导体中，有时为了测定硅片上的的薄膜厚度，将薄膜一侧腐蚀成劈尖形状。现用波长为的钠黄光垂直照射到薄膜表面上，结果在垂直方向上观察到面的反射光干涉条纹有七条暗纹，且第七条位于处，试求薄膜的厚度。 空气 NM解：根据题意
