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1、第二节函数的单调性与最值,三年9考高考指数: 1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性； 2.理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求函数的最大（小）值; 3.会运用函数图象理解和讨论函数的性质.,1.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或应用函数值大小，是高考的热点及重点. 2.常与函数的图象及其他性质交汇命题. 3.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现.,1.增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI,如果对于任意x1,x2D,且x1x2,则都有: (1)f(x)在区间D上是增函数_； (2)f(x)在区间D上是减函
2、数_.,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),【即时应用】 (1)如果函数f(x)在a,b上是增函数，对于任意的x1、 x2a,b(x1x2)，判断下列结论的真假(在括号内填“真”或“假”) ( ) (x1-x2)f(x1)-f(x2)0； ( ) f(a)f(x1)f(x2)f(b)； ( ) ( ),(2)已知函数f(x)为R上的减函数，若mn,则f(m)_f(n);若f(|x|)f(1),则实数x的取值范围是_. (3)若函数y=ax与 在(0，+)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+)上是_函数(填“增”或“减”).,【解析】(1)当函数f(x)在a,b上是增函数时，对于任
3、意的x1、x2a,b(x1x2)，能得出真，假 (2)由减函数的定义知，若mf(n); 若f(|x|)1,得:x1或x-1. (3)由y=ax在(0，+)上是减函数，知a0； 由 在(0，+)上是减函数，知b0 y=ax2+bx的对称轴 又y=ax2+bx的开口向下, y=ax2+bx在(0，+)上是减函数,答案：(1)真真假真 (2)x|x1或x-1 (3)减,2.单调性、单调区间 若函数y=f(x)在区间D上是_或_，则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间,增函数,减函数,【即时应用】 (1)定义在区间-4，4上的函数y=f(x)的图象如图，则
4、函数在区间_上是减函数，在区间_上是增函数. (2)函数 的单调减区间为_.,【解析】(1)由函数图象可知函数y=f(x)在区间-4,-2，1,3上是减函数，在区间-2,1，3,4上是增函数. (2)画出函数 的图象可知，其单调减区间为 (-,0),(0,+). 答案：(1)-4,-2，1，3-2，1，3,4 (2)(-,0)和(0,+),3.函数的最大值、最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在MR, (1)满足以下条件,M是f(x)的最大值. 对任意xI,都有_; 存在x0I,使得_. (2)满足以下条件，M是f(x)的最小值. 对任意xI,都有_. 存在x0I,使得_.,
5、f(x)M,f(x0)=M,f(x)M,f(x0)=M,【即时应用】 (1)函数y=f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的定义域是_；最大值是_；最小值是_. (2)函数 在2,4上的最小值是_；最大值是_.,【解析】(1)由图象可知，函数的定义域为-3,02,3，最大值为5，最小值为1. (2)因为 在2,4上为单调增函数， 所以f(2)f(x)f(4), 所以 答案：(1)-3，02，351 (2),确定函数的单调性或单调区间 【方法点睛】 确定函数单调性及单调区间的常用方法及流程 (1)能画出图象的函数，用图象法,其思维流程为:,作图象,看升降,归纳单调性（区间）,(2)由基本初等函
6、数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为：,(3)能求导的用导数法，其思维流程为：,(4)能作差变形的用定义法，其思维流程为： 【提醒】确定函数的单调性(区间)，一定要注意定义域优先原则.,取值,作差,变形,定号,单调性（区间）,【例1】(1)(2011江苏高考)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是_. (2)判断函数 在(-1，+)上的单调性. 【解题指南】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间. (1)转化为基本初等函数的单调性去判断； (2)可用定义法或导数法.,【规范解答】(1)函数f(x)的定义域为( ，+)，令t=2x+1(t0), 因为y=log
7、5t在t(0,+)上为增函数，t=2x+1在( ，+) 上为增函数，所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为 ( ,+). 答案：( ，+),(2)方法一：定义法：设x1x2-1, 则 x1x2-1,x2-x10,x2+10, 即y1-y20,y1y2. 在(-1,+)上是减函数. 方法二：导数法： 在(-1，+)上，y0,故 在(-1,+)上为减函数.,【互动探究】若将本例(1)中函数变为f(x)=|x2-4x+3|, 本例(2)中函数变为 区间变为(-1，1). 则结果又如何？ 【解析】(1)先作出函数y=x2-4x+3的图 象，把x轴下方的部分翻折到上方，可 得函数f(x)=
8、|x2-4x+3|的图象.如图所示. 由图可知，函数的增区间为 1,2,3,+).,(2)方法一：设x1,x2(-1,1),且x10,因此，当a0时，f(x2)-f(x1)0, 即f(x1)0时为减函数，当a0时为增函数.,方法二：因为 当a0时，f(x)0. 故f(x)在(-1,1)上,当a0时为减函数， 当a0时为增函数.,【反思感悟】判断(或证明)函数单调性(区间)，一定要先确定定义域，然后根据所给函数的结构特征及要求选择合适的方法求解，并且结果一定要写成区间的形式，当同增(减)区间不连续时，一般不能用并集符号连接.,【变式备选】已知函数f(x)对于任意x，yR,总有 f(x)+f(y)
9、=f(x+y)，且当x0时，f(x)0, (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在-3，3上的最大值和最小值,【解析】(1)方法一：函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)+f(y)=f(x+y)， 令x=y=0，得f(0)=0再令y=-x，得f(-x)=-f(x)在R上任取x1x2，则x1-x20， f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2), 又x0时，f(x)0而x1-x20， f(x1-x2)0，即f(x1)f(x2) 因此f(x)在R上是减函数,方法二：在R上任取x1，x2， 不妨设x1x2， 则f(x1)-f(x2) =f(x1-x2+x2
10、)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2) 又x0时，f(x)0，而x1-x20， f(x1-x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数.,(2)f(x)在R上为减函数， f(x)在-3，3上也为减函数， f(x)在-3，3上的最大值为f(-3),最小值为f(3)，f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2， 0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3), f(-3)=-f(3)=2, 因此，f(x)在-3，3上的最大值为2，最小值为-2.,应用函数的单调性 【方法点睛
11、】 应用函数的单调性可求解的问题 (1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小； (2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系； (3)求解析式中参数的值或取值范围； (4)求函数的最值； (5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.,【例2】(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)f(m2)的实数m的取值范围是_. (2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在0,2上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.,【解题指南】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解. (2)根据函数f(x)
12、的性质先得到y=f(x)在0,2上的单调性或-2,2上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.,【规范解答】(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)0. 解得:m1. 所以m的取值范围为:(-,-2)(1,+). 答案：(-,-2)(1,+),(2)方法一：因为y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称， 函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称， 又y=f(x-2)在0,2上单调递减, 函数y=f(x-2)在2,4上单调递增， 因此,y=f(x)在0,2上单调递增， 又f(-1)=f(1),0f(
13、-1)f(0).,方法二：由方法一可得函数y=f(x)在-2,2上图象的大致形状为 由图象知f(2)f(-1)f(0).,【互动探究】若将本例(1)中条件变为:f(x)为0,4上的增函数，则m的取值范围如何？ 【解析】由题意知： 解得： 1m2.,【反思感悟】1.根据函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x)f（h(x)）”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域. 2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.,【变式备选】
14、已知函数f(x)对于任意a，bR,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x0时，f(x)1 (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3； (3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)2恒成立，求实数n的取值范围,【解析】(1)设x1,x2R，且x1x2，则x2-x10， f(x2-x1)1 ， f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10, f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2) f(x)在R上是增函数.,(2)f(4)=f(2+
15、2)=f(2)+f(2)-1=5,f(2)=3, 不等式f(3m2-m-2)3即为 f(3m2-m-2)f(2). 又f(x)在R上是增函数， 3m2-m-22，解得 因此不等式的解集为m| ；,(3)令a=b=0,得 f(0)=2f(0)-1,f(0)=1. f(nx-2)+f(x-x2)2， 即f(nx-2)+f(x-x2)-11， f(nx-2+x-x2)f(0) 由(1)知nx-2+x-x20恒成立， x2-(n+1)x+20恒成立 =-(n+1)2-420,求函数的最值 【方法点睛】 求函数最值的常用方法 （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；,（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； （5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值,【例3】(1)已知函数则f(x)在 上的最大值为_，最小值为_. (2)函数 (x0)的最大值为_. (3)用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值，设f(x)=min2x,x+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为_. 【解题指南】(1)可用单调性法；
