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1、第三章 泊松过程,第三章 泊松过程,泊松过程的定义和例子,1,泊松过程的基本性质,2,非齐次泊松过程,3,复合泊松过程,4,2020/9/14,2,本章的重点： 泊松过程的定义及等价定义 泊松过程的基本性质：间隔时间的分布；等待时间的分布 本章的难点： 到达时间的条件分布 泊松过程的应用,2020/9/14,3,第三章 泊松过程,第三章 泊松过程,泊松过程的定义和例子,1,泊松过程的基本性质,2,非齐次泊松过程,3,复合泊松过程,4,2020/9/14,4,知识回顾 泊松分布,称随机变量X 服从参数为 的泊松分布， 若X的概率分布为,2020/9/14,5,知识回顾 指数分布,2020/9/1
2、4,6,称随机变量X服从参数为 的（负）指数分布，若其密度函数为,定义 3.1 称随机过程N(t), t0为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A ”的总数，且N(t)满足下列条件： (1) N(t) 0 ; (2) N(t) 取整数值； (3) 若s t，则N(s) N(t) ； (4) 当s t 时， N(t) N(s) 等于区间(s , t 中发生的“事件A”的次数,3.1 泊松过程的定义和例子,2020/9/14,7,泊松过程的定义,定义3.2 称计数过程X(t), t0为具有参数 ( 0) 的泊松过程, 若它满足下列条件： (1) X(0) = 0 ; (2) X(t)
3、 是独立增量过程，即对任意n个参数 增量 相互独立；,2020/9/14,8,泊松过程的定义,(3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数为 t 的泊松分布，即对任意的 , 均成立,2020/9/14,9,泊松过程的定义,注: 1.从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程,结合（1）知，对任意 有,2. 由EX(t) = t 知 = EX(t)/t表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为此过程的速率或强度。,2020/9/14,10,泊松过程的定义,3. X(0) = 0 说明事件A的计数是从 t = 0时开始的。,4. 一般 X(t)表示在时间间隔0, t中到达某服务系统的顾客数。,
4、2020/9/14,11,泊松过程的定义,2020/9/14,12,如何判断一个随机过程是否满足泊松过程的定义？,该随机过程是否为计数过程？,泊松过程的等价定义,高阶无穷小量的定义： 设f (x)是任意一个实函数，若 则称 f (h) 是 h的高阶无穷小量，记为o(h).,2020/9/14,13,泊松过程的等价定义,定义3.3 称计数过程 为具有参数 的泊松过程, 若它满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t) 是独立增量和平稳增量过程； (3) X(t) 满足下列两式：,2020/9/14,14,泊松过程的等价定义,注：定义中的条件(3)说明，在充分小的时间间隔内，最多有
5、一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。这种假设对于许多物理现象较容易得到满足。,2020/9/14,15,泊松过程的例,例3.1 考虑进入某服务系统的顾客数。 令 表示在时间段( 0, t 内进入某服务系统的顾客数，则 满足定义3.3的条件，故 是泊松过程。,2020/9/14,16,泊松过程的例,例3.2 考虑某电话交换台在某段时间收到的 呼叫。令 表示电话交换台在时间段( 0, t 内接到的呼叫次数，则 满足定义3.3的条件，故 是泊松过程。 类似例： 网络中会话、分组、数据包的到达过程 用户请求到达某个服务器的过程 金融市场中交易指令流到达市场的过程,2020/9/14,17
6、,泊松过程的两种定义的等价性,泊松过程的两种定义的等价性,定理 3.1 定义3.2与定义3.3是等价的。,证： 首先证明定义3.2蕴含定义3.3。 由于定义3.2的条件(3)中蕴含 为平稳增量过程，故只需证明条件(3)的等价性。由(3.1)式，对充分小的h，有,2020/9/14,19,泊松过程的两种定义的等价性,故 从而有,2020/9/14,20,泊松过程的两种定义的等价性,下面再证定义3.3蕴含定义3.2。令 Pn (t) = P X(t) = n = PX(t) X(0) = n. 根据定义3.3之(2)和 (3)，有 P0(t+h) = P X(t+h) = 0 = PX(t+h)
7、X(0) = 0 = P X(t) X(0) = 0 , X(t+h) X(t) = 0 = P X(t) X(0) = 0PX(t+h) X(t) =0 = P X(t) X(0) = 0PX(h) =0,泊松过程的两种定义的等价性,2020/9/14,22,= P (X(t) X(0) = 0)1 P (X(h) =1) P (X(h) 2) = P0(t)1 h+o(h), 因此,泊松过程的两种定义的等价性,2020/9/14,23,令h0取极限得， 积分得 由于P0(0) = PX(0) = 0 = 1,代入上式得,泊松过程的两种定义的等价性,一阶常系数微分方程,初始条件,2020/9
8、/14,24,泊松过程的两种定义的等价性,考察n 1的情况：因为 故,2020/9/14,25,泊松过程的两种定义的等价性,由定义3.3的(2)和(3)得 化简得,2020/9/14,26,泊松过程的两种定义的等价性,令h0 得 移项后得 因此,2020/9/14,27,泊松过程的两种定义的等价性,当n = 1时，得 因此,迭代求解微分方程,初始条件P1(0)=0,2020/9/14,28,泊松过程的两种定义的等价性,由归纳法可证明下式成立。,2020/9/14,29,泊松过程的数字特征,1.均值函数 = EX(t)/t表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为此过程的速率或强度。,2020/9/14,30,2. 方差函数,泊松过程的数字特征,3.相关函数 证明：,2020/9/14,31,泊松过程的数字特征,4.协方差函数 一般泊松过程的协方差函数可表示为：,2020/9/14,32,
