第5章 系统运动的稳定性分析

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1、第第5 5章章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析5.1 5.1 李李雅普诺夫稳定性定义雅普诺夫稳定性定义5.25.2 李李雅普诺夫稳定性理论雅普诺夫稳定性理论5.3 5.3 线性系统的线性系统的李李雅普诺夫稳定性雅普诺夫稳定性分析分析5.45.4 非非线性系统的线性系统的李李雅普诺夫稳定性分析雅普诺夫稳定性分析* 5.55.5 李李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用雅普诺夫第二法在系统设计中的应用稳定性是稳定性是指系统在平衡状态下指系统在平衡状态下受到扰动后受到扰动后，系统，系统自由运动自由运动的性质的性质。因此，系统的。因此，系统的稳定性是稳定性是相对于系统的相对于系统的平衡状态而平衡

2、状态而言的言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不考虑输入作用。考虑输入作用。1. 1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统初始条件及外作用无关；初始条件及外作用无关；2. 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与系统初始条件及外作用有关；系统初始条件及外作用有关；稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。线性定常系统通常只有线性定常系统通常只有一个平衡点一个

3、平衡点，可将平衡点的稳定性视为，可将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。其它系统整个系统的稳定性。其它系统平衡点不止一个平衡点不止一个，不同平衡点有，不同平衡点有着不同的稳定性，通常只讨论某一平衡状态的稳定性。着不同的稳定性，通常只讨论某一平衡状态的稳定性。稳定性判别方法稳定性判别方法经典控制理论中：经典控制理论中：线性定常系统的稳定性：线性定常系统的稳定性：代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）； 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 ；对数稳定判据等。；对数稳定判据等。 非线性定常系统的稳定性：非线性定常系统的稳定性：描述函数法描述函数法：要求系统的线性部分具有良好的滤

4、：要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能；除谐波的性能；相平面法相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。：仅适合于一阶、二阶非线性系统。现代控制理论中：现代控制理论中：一般系统一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及多（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统）的稳定性：变量、非线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺李雅普诺夫稳定性理论。夫稳定性理论。李雅普诺夫稳定性理论：李雅普诺夫稳定性理论： 李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法。两种方法。

5、1.1.间接法：间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳定利用线性系统微分方程的解来判系统的稳定性，又称性，又称李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法；2.2.直接法直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称李李雅普诺夫第二法。雅普诺夫第二法。 李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论一般理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了

6、其它方法所不能解决的问题。该理论比性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。5.1 5.1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 BIBO稳定性的概念稳定性的概念李雅普诺夫稳定性的物理意义是李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界系统响应是否有界。Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable定定义义：对对于于一一个个初初始始条条件件为为零零的的系系统统，如如果果在在有有界界的的输输入入u(t)的的作作用用下下，所所产产生生的的输输出出y(t)也也是是有有界界

7、的的，则则称称此此系系统统是是外外部部稳稳定定的的，也也即即是是有有界界输输入入-有有界界输输出出稳稳定定的的。并并简称为简称为BIBO稳定。稳定。如果输入如果输入 有界，是指有界，是指 如果输入如果输入 有界，是指有界，是指 4.6 4.6 有界输入有界输入- -有界输出稳定有界输出稳定4.6.1 有界输入有界输入-有界输出稳定有界输出稳定Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称为为BIBO系统。系统。如果输入如果输入 有界，是指有界

8、，是指 如果输入如果输入 有界，是指有界，是指 如果如果于是于是可以取可以取定理定理4-54-5 由方程由方程 描述的线性定常系描述的线性定常系统。统。为初始松弛系统。其输出向量的解为为初始松弛系统。其输出向量的解为（11）BIBO稳定的充分必要条件是存在一个常数稳定的充分必要条件是存在一个常数K3，有，有或者对于或者对于 的每一元素，都的每一元素，都有有其中，其中，a 为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为例例4-8 线性定常系统方程为线性定常系统方程为分析系统是否分析系统是否BIBO稳定。稳定。解解可见，只有当可见，只有当 时，才有有限值时，才有有

9、限值 存在，系统才是存在，系统才是BIBO稳定的。稳定的。4.6.2 BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系稳定与平衡状态稳定性之间的关系对于线性定常系统对于线性定常系统（12）平衡状态平衡状态 的渐近稳定性由的渐近稳定性由A 的特征值决定。而的特征值决定。而BIBO的的稳定性是由传递函数的极点决定的。稳定性是由传递函数的极点决定的。 的所有极点都是的所有极点都是A 的特征值，但的特征值，但 A 的特征值并不一定都是的特征值并不一定都是 的极点。可能存在零极点对消。所以，的极点。可能存在零极点对消。所以， 处的渐近稳定处的渐近稳定就包含了就包含了BIBO稳定，而稳定，而BIBO稳定却可能不是稳

10、定却可能不是 处的渐近处的渐近稳定。稳定。那么在什么条件下，那么在什么条件下，BIBO稳定才有平衡状态稳定才有平衡状态 渐近稳定渐近稳定呢？结论是：如果（呢？结论是：如果（12）式所描述的线性定常系统是）式所描述的线性定常系统是BIBO稳定，稳定，且系统是既能控又能观测的，则系统在且系统是既能控又能观测的，则系统在 处是渐近稳定的。处是渐近稳定的。1. 平衡状态的定义平衡状态的定义 设系统状态方程为：设系统状态方程为： 若若对对所所有有t ，状状态态 x 满满足足 ，则则称称该该状状态态x为为平平衡衡状状态，记为态，记为xe。故有下式成立：故有下式成立： 由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为

11、平衡点。由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。2.2.平衡状态的求法平衡状态的求法 由由定定义义，平平衡衡状状态态将将包包含含在在 这这样样一一个个代代数数方方程组中。程组中。 对对于于线线性性定定常常系系统统 ，其其平平衡衡状状态态为为 xe e 应应满满足足代数方程代数方程 。只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。 5.1.1 5.1.1 平衡状态平衡状态李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态平衡状态而言而言。 对于对于非线性系统非线性系统，方程，方程 的解可能有多个，的解可能有多个，视系统方程而定。视系统方程

12、而定。 如：如： 该该系统存在三个平衡状态：系统存在三个平衡状态：范范数数的的定定义义：n 维维状状态态空空间间中中，向向量量 x 的的长长度度称称为为向向量量 x 的范数，用的范数，用 表示，则：表示，则：5.5.2 5.5.2 范数的概念范数的概念向量的距离向量的距离: :长度长度 称为向量称为向量x与与xe e的距离，写为的距离，写为：若能使系统从任意初态若能使系统从任意初态x0出发的解出发的解 在在t t0的过的过程中，都位于以程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径为球心、任意规定的半径的闭的闭球域球域S()内，即：内，即： 定义定义：对于系统对于系统 ，设系统初始状态位于以平，设系

13、统初始状态位于以平 衡状态衡状态 xe 为球心、为球心、为半径的闭球域为半径的闭球域 S()内，即内，即5.1.3 5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义1 1李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态 xe 在在李雅普诺夫意义下李雅普诺夫意义下是是稳定稳定的。的。几何意义几何意义 按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出出S()，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系，则认为是稳

14、定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。统的稳定性定义有差异。LyapunovLyapunov意意义下稳定义下稳定 2渐进稳定性（经典理论稳定性）渐进稳定性（经典理论稳定性）定义：定义：如果系统的平衡状态如果系统的平衡状态xe不仅有李雅普诺夫意义下的不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量稳定性，且对于任意小量0，总有总有这时，从这时，从S()出发的轨迹不仅不会超出出发的轨迹不仅不会超出S()，且当，且当t时收敛于时收敛于xe，可见可见经典控制理论中的稳定性经典控制理论中的稳定性定义与定义与渐进渐进稳定性稳定性对应。对应。则称平衡状态则称平衡状态xe是李雅普诺夫意义下渐进

15、稳定的。是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。当当t0与与 t、 无关时，则称无关时，则称xe=0为一致渐进稳定。为一致渐进稳定。几几何何意意义义： 渐进稳定渐进稳定 定定义义：当当初初始始状状态态扩扩展展到到整整个个状状态态空空间间，且且平平衡衡状状态态xe均均具具有有渐渐进进稳稳定定性性，称称这这种种平平衡衡状状态态xe是是大大范范围围渐渐进进稳稳定定的的。此此时时，S()。当当t时时，由由状状态态空空间间中中任任意意一一点出发的轨迹都收敛于点出发的轨迹都收敛于xe。3. 大范围渐进稳定性大范围渐进稳定性 对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必定对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必定是大

16、范围渐进稳定的是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定性与初这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。大范围渐进稳定。当稳定性与当稳定性与 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。的选择无关时，称一致全局渐近稳定。大范围稳定的系统大范围稳定的系统局部稳定的系统局部稳定的系统几何意义几何意义：定定义义：若若对对于于某某个个实实数数0和和任任一一实实数数0，不不管管这这两两个个实实数数多多么么小小，在在S()内

17、内总总存存在在一一个个状状态态x0，使使得得由由这这一一状状态态出发的轨迹超出出发的轨迹超出S()，则称平衡状态则称平衡状态xe是不稳定的。是不稳定的。4.4.不稳定性不稳定性几何意义：几何意义： 不稳定 对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S()，但，但并并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于定，轨迹趋于S()以外的平衡点。以外的平衡点。 当然，对于线性系统，当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上趋于无穷远。迹，理论上趋于无穷远。由稳定性定义

18、知，球域由稳定性定义知，球域S() 限制着初始状态限制着初始状态x0的取的取值，球域值，球域S()规定了系统自由运动响应规定了系统自由运动响应 的边界。的边界。简单地说：简单地说：1.如果如果 有界，则称有界，则称 xe 稳定；稳定；2.如果如果 不仅有界，而且当不仅有界，而且当t时收敛于原点，时收敛于原点，则称则称 xe 渐进稳定；渐进稳定；3.如果如果 无界，则称无界，则称 xe 不稳定。不稳定。5.2 5.2 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论 定理定理5.1线性定常系统线性定常系统 （1）平平衡衡状状态态xe是是渐渐进进稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵A 的所有特

19、征值均具有负实部；的所有特征值均具有负实部； （2）平平衡衡状状态态xe是是不不稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵A 的的有些特征值具有正实部；有些特征值具有正实部； （3）当当系系统统用用传传递递函函数数描描述述时时，系系统统BIBO稳稳定定的的充充分分必要条件必要条件为为G(s）的极点具有负实部。）的极点具有负实部。5.2.1 李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法） 1.线性定常系统稳定性判据线性定常系统稳定性判据例例5.2.1设系统的状态空间表达式为：设系统的状态空间表达式为：试试分分析析系系统统平平衡衡状状态态xe=0的的稳稳定定性性与与系系统统的的BIBO

20、（输输出出）稳稳定性。定性。解：解：系统的特征方程为系统的特征方程为:A阵的特征值为阵的特征值为+1，-1。故系统。故系统平衡状态平衡状态 xe 是不稳定的是不稳定的。系统传递函数系统传递函数:传递函数极点位于传递函数极点位于S左半平面，故系统左半平面，故系统是是BIBO稳定的稳定的。BIBOBIBO稳定稳定渐近稳定渐近稳定 结论：结论： 1.1.线线性性定定常常系系统统是是内内部部稳稳定定的的，则则其其必必是是BIBOBIBO稳稳定定 的；的； 2.2.线线性性定定常常系系统统是是BIBOBIBO稳稳定定的的，则则不不能能保保证证系系统统一一定定是是渐进稳定的；渐进稳定的； 3.3.如如果果

21、线线性性定定常常系系统统为为能能控控和和能能观观测测，则则其其内内部部稳稳定定性性与外部稳定性是等价。与外部稳定性是等价。2.线性时变系统稳定性判据线性时变系统稳定性判据矩阵矩阵A的范数定义为：的范数定义为：A为标量，表示为标量，表示A中每个元素取平方和后再开方。中每个元素取平方和后再开方。定理定理5.2线性时变系统线性时变系统 其状态解为其状态解为系统稳定性的充要条件为：系统稳定性的充要条件为：若若存在某正常数存在某正常数N(t0)，对于任意，对于任意t0和和 t t0 ，有：，有：则则系统是稳定的。系统是稳定的。若若：则则系统是一致稳定的。系统是一致稳定的。若若：则则系统是渐进稳定的。系统

22、是渐进稳定的。若若存在某常数存在某常数N 0，C 0，对于任意，对于任意t0和和 t t0 ，有：，有：则则系统是一致渐进稳定的。系统是一致渐进稳定的。3非线性系统的稳定性判定非线性系统的稳定性判定对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的线性化模型，用定理线性化模型，用定理5.15.1的方法来研究。的方法来研究。其中：其中：对于非线性系统对于非线性系统 ，对状态变量，对状态变量 x 有连续偏导有连续偏导数，设数，设xe为其平衡点。在平衡点处将为其平衡点。在平衡点处将 泰勒级数泰勒级数展开，忽略二次及二次以上的高阶导数项展开，忽略二次及

23、二次以上的高阶导数项R(x)，得系统，得系统线性化模型：线性化模型： 。(1) A的的所所有有特特征征值值均均具具有有负负实实部部，则则平平衡衡状状态态xe是是渐渐进进稳稳定定的；的；(2)A的的特特征征值值至至少少有有一一个个为为正正实实部部，则则平平衡衡状状态态xe是是不不稳稳定定的。的。(3)A的的特特征征值值至至少少有有一一个个实实部部为为0，则则不不能能根根据据A来来判判平平衡衡状状态态xe的的稳稳定定性性，系系统统的的稳稳定定性性与与被被忽忽略略的的高高次次项项R(x)有有关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线性方程。关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线性方程。定理定理5

24、.3对于线性化后的系统矩阵对于线性化后的系统矩阵例例5.2.2 已知非线性系统的已知非线性系统的解：解：系统有系统有2个平衡状态：个平衡状态：xe1=0,0和和xe2=1,1在在xe1=0,0处线性化，处线性化，A1阵的特征值为阵的特征值为+1，-1。故系统在。故系统在xe1处处是不稳定的是不稳定的。在在xe2=1,1处线性化，处线性化， A2阵的特征值为阵的特征值为+j，-j，其实部为，其实部为0，不能根据，不能根据A来判断来判断其稳定性。其稳定性。试分析系统平衡状态的稳定性。试分析系统平衡状态的稳定性。5.2.3 5.2.3 李雅普诺夫第二法及其主要定理李雅普诺夫第二法及其主要定理 李雅普

25、诺夫第二法李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函数是通过构造李雅普诺夫函数V(x)来直接来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。判断运动稳定性的一种定性的方法。根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。函数表达式并非易事。李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数一般与李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数一般与及及t 有关，记为有关，记为V(x,t)或或V(x)。 V(x)是一是一标量函数，考虑到标量函数，考虑到能量总大于能量总大于0

26、，故为正定函数。能量衰减特性用，故为正定函数。能量衰减特性用 或或 表示。李雅普诺夫第二法利用表示。李雅普诺夫第二法利用V 和和 的符号特征，的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称的解，故称直接法直接法。 对于线性系统，通常用二次型函数对于线性系统，通常用二次型函数 作为李雅作为李雅普诺夫函数。普诺夫函数。5.2.3.1 预备知识预备知识 1二次函数的定义及其表达式二次函数的定义及其表达式 定定义义：设设 为为n个个变变量量，定定义义二二次次型型标标量量函数为：函数为：其中，其中， ，则称，则称P为实对称阵。为

27、实对称阵。对一般非线性系统对一般非线性系统仍未找到仍未找到构造李雅普诺夫函数构造李雅普诺夫函数V(x)的的通通用方法用方法。尽管如此，目前。尽管如此，目前直接法直接法仍然是研究系统仍然是研究系统(包括时变、包括时变、非线性非线性)稳定性的有力工具。稳定性的有力工具。例如：例如： 显然，二次型显然，二次型V(x)完全由矩阵完全由矩阵P确定。因此二次型和它的确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。矩阵是相互唯一决定的。 二次型的标准型二次型的标准型 只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，如：只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，如： 2.标量函数标量函数V(x)的符号和性质的符号和性质 设

28、设: ,且在且在x=0处处，V(x)0。对对x0的任何向的任何向量。量。V(x)0，称，称V(x)为为正定的正定的。例如：。例如：V(x)0，称，称V(x)为为负定的负定的。例如：。例如：V(x)0，称，称V(x)为为正半定的正半定的。例如：。例如：V(x)0，称，称V(x)为为负半定的负半定的。例如：。例如：设实对称矩阵设实对称矩阵P ：正正定定:二二次次型型函函数数V(x)为为正正定定的的充充要要条条件件是是，P 阵阵的的所所有有各阶主子行列式均大于零（正定），即各阶主子行列式均大于零（正定），即:即即:3.二次型标量函数定号性判别准则二次型标量函数定号性判别准则(Sylvester准则准

29、则)负负定定：二二次次型型函函数数V(x)为为负负定定的的充充要要条条件件是是，P 阵阵的的所所有各阶主子行列式满足有各阶主子行列式满足:即即:k为偶数为偶数k为奇数为奇数正正半半定定：二二次次型型函函数数V(x)为为正正半半定定的的充充要要条条件件是是，P 阵阵的所有各阶主子行列式满足的所有各阶主子行列式满足:负负半半定定：二二次次型型函函数数V(x)为为负负半半定定的的充充要要条条件件是是，P 阵阵的所有各阶主子行列式满足的所有各阶主子行列式满足:k为偶数为偶数,k为奇数为奇数,5.2.3.2 李雅普诺夫第二法的判稳主要定理李雅普诺夫第二法的判稳主要定理1.V(x,t)是正定的；是正定的；

30、2. 是负定的；是负定的； 系统在系统在原点处原点处的平衡状态的平衡状态是是渐进稳定的渐进稳定的。 则：系统在原点处的平衡状态是则：系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。 系统系统渐进稳定渐进稳定的判别的判别定理一定理一3.又当又当 有有 定定理理5.4 设设系系统统状状态态方方程程为为: ,其其状状态态平平衡衡点点xe=0, 如果存在一个具有一阶连续偏导数的标量函数如果存在一个具有一阶连续偏导数的标量函数V(x,t),且满足且满足以下条件：以下条件：说说明明：1.该该定定理理仅仅给给出出充充分分条条件件，即即能能找找到到满满足足定定理理条条件件的的V(x)，则则系系统统

31、是是渐渐进进稳稳定定的的，若若找找不不到到，并并不不意意味味系系统统不不稳稳定定。2.该该定定理理本本身身并并未未给给出出建建立立V(x)的的方方法法，一一般般V(x)不不惟惟一一。 V(x)通通常常不不是是简简单单的的二二次次型型的的形形式式。3.该该定定理理是是一一个个最最基基本本的的稳稳定定性性判判别别定定理理，适适用用于于线线性性、非非线线性性、时变系统。时变系统。是负定的。说明是负定的。说明V(x)沿沿任意轨迹是连续减小的，因此任意轨迹是连续减小的，因此V(x)是是一个李雅普诺夫函数。一个李雅普诺夫函数。例例5.2.3已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平

32、衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。解解：坐标原点：坐标原点xe=0（即即x1=0，x2=0)是系统惟一的平衡状态。是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为：选取正定标量函数为： 则沿任意轨迹，则沿任意轨迹，V(x)对时间的导数为：对时间的导数为： 则：系统在原点处的平衡状态是则：系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。 又当又当 有有 系统系统渐进稳定渐进稳定的判别定理二的判别定理二定理定理5.5 设系统状态方程为设系统状态方程为: ,其状态平衡其状态平衡点点xe=0，满足，满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数数的标量函数V

33、(x,t)，且满足以下条件：，且满足以下条件：1.V(x,t) 是正定的；是正定的；2. 是是负半定负半定的；的； 则：系统在原点处的平衡状态是则：系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。 若还有若还有 有有 3. 当当x0,不恒等于不恒等于0，则：系统在平衡点则：系统在平衡点xe=0处处是是渐进稳定的渐进稳定的。 定理的运动分析：定理的运动分析：以二维空间为例以二维空间为例例例5.2.4已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。 解解：坐标原点：坐标原点xe=0（即即x1=0，x2=0)是系统惟一的平衡状态

34、。是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为：选取正定标量函数为：当当 进一步分析进一步分析 的定号性：的定号性：如果假设如果假设 ，必然要求，必然要求 ，进一步要，进一步要求求 。但从状态方程。但从状态方程 可知，必满足可知，必满足 ， 表明表明 只可能在原点（只可能在原点（x1=0，x2=0）处恒）处恒等于零。等于零。为半负定！为半负定！所以，系统在原点处的平衡状态是所以，系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。 当当 有有 若在该例中:选取正定标量函数为：选取正定标量函数为：为负定！为负定！则：则： 由以上分析看出，选取不同的由以上分析看出，选取不同的V(x)，可能使问

35、题分析可能使问题分析采用不同的判别定理。采用不同的判别定理。所以，系统在原点处的平衡状态是所以，系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。 且当且当 有有 系统系统李氏稳定李氏稳定的判别定理的判别定理则系统在原点处的平衡状态则系统在原点处的平衡状态是是李李雅普诺夫雅普诺夫意义下意义下稳定稳定的，但的，但不是不是渐进稳定渐进稳定的。这时系统可保持在的。这时系统可保持在一个稳定的等幅振荡状态上。一个稳定的等幅振荡状态上。定理定理5.6 设系统状态方程为设系统状态方程为: ,其状态平衡其状态平衡点点xe=0，满足，满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导。如果存在一个具有连续一阶偏导数

36、的标量函数数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件：，且满足以下条件：1.V(x,t)是正定的；是正定的；2. 是负半定的；是负半定的；3. 当当x0时，存在某一时，存在某一x 使使因为因为 0则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 ，则系统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此，则系统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 是一致稳定的。是一致稳定的。例例5.2.5已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。 解解：坐标原点：坐标原点xe=0（即即x1=0，x2=0)是系统惟

37、一的平衡状态。是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为：选取正定标量函数为：则：则：由上式可见，由上式可见， ，则系统在原点处的平衡状态是，则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐进稳定的。，但不是渐进稳定的。 则系统在原点处的平衡状态是则系统在原点处的平衡状态是不稳定不稳定的。的。系统系统不稳定不稳定的判别定理一的判别定理一1.V(x,t)是正定的；是正定的；2. 是正定的；是正定的；定理定理5.7 设系统状态方程为设系统状态方程为: ,其状态平衡其状态平衡点点xe=0，满足，满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函

38、数数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件：，且满足以下条件：显然，显然， ，表示系统的能量在不断增大，故系统的，表示系统的能量在不断增大，故系统的运动状态必将发散至无穷大，系统是不稳定的。运动状态必将发散至无穷大，系统是不稳定的。则系统在原点处的平衡状态是则系统在原点处的平衡状态是不稳定不稳定的。的。系统系统不稳定不稳定的判别定理二的判别定理二1.V(x,t)是正定的；是正定的；2. 是正半定的；是正半定的；定理定理5.8 设系统状态方程为设系统状态方程为: ,其状态平衡其状态平衡点点xe=0，满足，满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数数的标量函数V

39、(x,t)，且满足以下条件：，且满足以下条件：3. 在在x0时，不恒等于时，不恒等于0 。例例5.2.6已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。 解解：坐标原点：坐标原点xe=0（即即x1=0，x2=0)是系统惟一的平衡状态。是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为：选取正定标量函数为：则：则： 所以，系统是不稳定的。所以，系统是不稳定的。且当且当x1为任意值，为任意值，x2 =0时，时，（为正定）（为正定）（为正半定）（为正半定）而：而：所以，所以，x2不会恒等于不会恒等于0，也不会恒等于也不会恒等于0。定理的形式简单而有规

40、律，在定理的应用中，要注意几点：定理的形式简单而有规律，在定理的应用中，要注意几点：(1)构构造造一一个个合合理理的的李李雅雅普普诺诺夫夫函函数数，是是李李氏氏第第二二法法的的关关键键，李氏函数具有几个突出性质：李氏函数具有几个突出性质： 1)李雅普诺夫函数是一个标量函数。李雅普诺夫函数是一个标量函数。 2)李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻域是如此。李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻域是如此。 3)对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。(2)如如果果在在包包含含状状态态空空间间原原点点在在内内的的邻邻域域S内内，可可以

41、以找找到到一一个个李李雅雅普普诺诺夫夫函函数数，那那么么，就就可可以以用用它它来来判判断断原原点点的的稳稳定定性性或或渐渐近近稳稳定定性性。然然而而这这并并不不一一定定意意味味着着，从从S邻邻域域外外的的一一个个状状态态出出发发的的轨轨迹迹都都趋趋于于无无穷穷大大，这这是是因因为为李李雅雅普普诺诺夫夫第第二二法法确确定的仅仅是稳定性的定的仅仅是稳定性的充分充分条件条件。5.3 5.3 线性系统中的李亚普诺夫稳定性分析线性系统中的李亚普诺夫稳定性分析 5.3.1 线性定常连续系统渐进稳定的判别线性定常连续系统渐进稳定的判别1渐进稳定的判别方法渐进稳定的判别方法则：则：定理定理5-9 设线性定常连

42、续系统为：设线性定常连续系统为： ，则平衡状，则平衡状态态xe=0为为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的一的充要条件是：对任意给定的一个个正定实对称矩阵正定实对称矩阵Q，必存在一个必存在一个惟一正定的实对称矩阵惟一正定的实对称矩阵P，且满足李雅普诺夫方程且满足李雅普诺夫方程 ,且且 是系统的李雅普诺夫函数。是系统的李雅普诺夫函数。A是非奇异的是非奇异的证明见证明见P255 。若若 沿沿任任意意一一轨轨线线不不恒恒等等于于0，则则Q可可取取为为正正半半定定的的，结论不变结论不变 。定理说明：定理说明：(1). 如果任取的一个正定实对称矩阵如果任取的一个正定实对称矩阵Q，则满足

43、矩阵则满足矩阵 的实对称矩阵的实对称矩阵P是是惟一的，若惟一的，若P正定，则正定，则系统在平衡状态系统在平衡状态xe=0为为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。P的正定性是的正定性是一个充分必要条件。一个充分必要条件。(2). 为计算简便，在选取正定实对称矩阵为计算简便，在选取正定实对称矩阵 Q 时时选选单位阵单位阵I，于是方程简化为：于是方程简化为：2判别步骤判别步骤(1)确定系统的平衡状态确定系统的平衡状态xe，(2)取取Q=I,并设实对称阵并设实对称阵P， (3)解矩阵方程解矩阵方程 ，求出，求出P。(4)利利用用赛赛尔尔维维斯斯特特判判据据，判判断断P的的正正定定性性。正正定定，系系统

44、统渐进稳定，且渐进稳定，且 。例例5.3.1设线性定常系统为设线性定常系统为: , 试判别该系统的稳定性试判别该系统的稳定性(其平衡状态为其平衡状态为xe=0)。解：解：为了便于对比，先用李氏为了便于对比，先用李氏第一法判断第一法判断，系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的先用李氏先用李氏第二法判断第二法判断，设设李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数为：为：则则有：有：展开有展开有：正定正定系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的证明略：证明略：5.3.2 线性时变连续系统渐进稳定的判别线性时变连续系统渐进稳定的判别定理定理5-10 设线性时变连续系统为：设线性时变连续系统为： ，则平衡，则平衡状态状态xe=0为为

45、大范围渐进稳定大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的的充要条件是：对任意给定的连续连续对称正定矩阵对称正定矩阵Q(t)，存在一个存在一个连续的对称正定矩阵连续的对称正定矩阵P(t)，使得，使得,且且 是系统的李雅普诺夫函数是系统的李雅普诺夫函数 。(3)判别矩阵判别矩阵P(t)是否满足连续、对称正定性，若满足，则是否满足连续、对称正定性，若满足，则线性时变系统是渐进稳定的，且线性时变系统是渐进稳定的，且为计算方便，可选为计算方便，可选：Q (t)=Q=I,则则判别步骤判别步骤：(1)确定系统的平衡状态确定系统的平衡状态xe。(2)任取正定对称阵任取正定对称阵Q(t),带入带入里卡蒂里卡蒂(R

46、iccati)矩阵矩阵微分方程，微分方程，(3)其解为：其解为： (4)式式中中， 是是系系统统的的状状态态转转移移矩矩阵阵，P(t0)是是里里卡卡蒂蒂方方程程的初始条件。的初始条件。证明略：证明略：判别步骤判别步骤：5.3.3 线性定常离散系统渐进稳定的判别线性定常离散系统渐进稳定的判别定理定理5-11 设线性定常离散系统为：设线性定常离散系统为： ，则平衡状态，则平衡状态xe=0为为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的充要条件是：对任的充要条件是：对任意给定的意给定的正定对称矩阵正定对称矩阵Q，存在一个存在一个正定对称矩阵正定对称矩阵P，满足，满足如下矩阵方程：如下矩阵方程：且且 是系统的李雅普

47、诺夫函数是系统的李雅普诺夫函数 。G是常系数非奇异阵是常系数非奇异阵(1)确定系统的平衡状态确定系统的平衡状态xe，(2)选正定矩阵选正定矩阵Q，一般取，一般取Q=I， (3)解矩阵方程解矩阵方程 ，求出，求出P阵，阵，(4)判断判断P的正定性。若正定，则系统渐进稳定，且的正定性。若正定，则系统渐进稳定，且(5) 是系统的李雅普诺夫函数。是系统的李雅普诺夫函数。例例5.3.2设设离离散散系系统统的的状状态态方方程程为为: , 试确定该系统在平衡点处渐进稳定的条件试确定该系统在平衡点处渐进稳定的条件 。 解：解：选选Q=I，带入矩阵方程，带入矩阵方程要使要使P为正定的实对称矩阵，则要求：为正定的

48、实对称矩阵，则要求：即：即：解得：解得：即，当系统的特征根位于单位园内时，系统的平衡点即，当系统的特征根位于单位园内时，系统的平衡点是渐进稳定的。是渐进稳定的。与经典控制论中的采样系统稳定的充要条件相同！与经典控制论中的采样系统稳定的充要条件相同！证明略：证明略：5.3.4 线性时变离散系统渐进稳定的判别线性时变离散系统渐进稳定的判别定理定理5-12 设线性时变离散系统为：设线性时变离散系统为： 则在平衡点则在平衡点xe=0处为处为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给的充要条件是：对任意给定的定的正定对称矩阵正定对称矩阵Q(k)，存在一个实存在一个实对称正定矩阵对称正定矩阵P(k

49、+1)，满，满足如下矩阵方程：足如下矩阵方程：且标量函数：且标量函数： 是系统的李雅普诺夫函是系统的李雅普诺夫函数。数。(3)判断判断P(k+1)的正定性，若正定，则系统是渐进稳定的，的正定性，若正定，则系统是渐进稳定的，且且李雅普诺夫函数为：李雅普诺夫函数为：式中，式中，当当Q (i)=I 时，有：时，有：判别步骤判别步骤：(1)确定系统的平衡状态确定系统的平衡状态xe，(2)任选正定对称矩阵任选正定对称矩阵Q(k)，带入矩阵方程：，带入矩阵方程：(3) (4)解解出出矩矩阵阵P(k+1) 。该该方方程程为为矩矩阵阵差差分分方方程程，其其解解的的形形式为：式为：为转移矩阵；为转移矩阵；P(0

50、)是初始条件。是初始条件。5.4 5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析5.4.1 5.4.1 克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法对于非线性系统，到目前为止，尚没有构造对于非线性系统，到目前为止，尚没有构造Lyapunov函数的一函数的一般性方法。往往都是根据经验，用试凑法。针对不同类型的非般性方法。往往都是根据经验，用试凑法。针对不同类型的非线性系统，以下是几种比较有效的构造线性系统，以下是几种比较有效的构造Lyapunov函数的特殊方函数的特殊方法。法。针对一类非线性系统，克拉索夫斯基提出了从针对一类非线性系统，克拉索夫斯基提出了从状态变量状态变量的的导数导数来

51、构造来构造Lyapunov函数，并判断系统渐进稳定的方法。函数，并判断系统渐进稳定的方法。定理定理5-13 设设非线性系统的状态方程为非线性系统的状态方程为其中其中x 和和 f (x) 均为均为n 维向量。维向量。 为为非线性多元函数，对各非线性多元函数，对各xi 都具有连续的偏导数。都具有连续的偏导数。构造构造Lyapunov函数如函数如:则：则：其中：其中：称为雅可比矩阵称为雅可比矩阵其中其中:W 为为 正定对称常数矩阵，通常取正定对称常数矩阵，通常取 ，其中其中:如果如果 是负定的，则是负定的，则 是负定的。而是负定的。而 是正定是正定的，故的，故 是一致渐近稳定的。如果是一致渐近稳定的

52、。如果 ， ，则，则 是大范围一致渐近稳定的。是大范围一致渐近稳定的。关于定理的几点说明关于定理的几点说明:该该定理仅是充分条件，若定理仅是充分条件，若S(x)不是负定的，则不能得出任何结不是负定的，则不能得出任何结论，此法无效。论，此法无效。 S(x) 为负定的必要条件是为负定的必要条件是S(x) 主对角线上的所有元素均不为主对角线上的所有元素均不为0，即要求状态方程中第，即要求状态方程中第i 个方程要含有个方程要含有 xi 这个状态变量。所以当这个状态变量。所以当观察观察f(x)的右端函数不满足上述条件时，则不能采用克拉索夫斯的右端函数不满足上述条件时，则不能采用克拉索夫斯基法。基法。克拉

53、索夫斯基法的适用范围如下克拉索夫斯基法的适用范围如下:非线性特性能用解析表达式表示的单值函数非线性特性能用解析表达式表示的单值函数。 非线性函数非线性函数f(x) 对对xi (i=1,2,n)是可导的。是可导的。克拉索夫斯基法也适用于线性定常系统克拉索夫斯基法也适用于线性定常系统:对对:有有:若若:A是非奇异的，则当是非奇异的，则当S(x)为负定时，系统在为负定时，系统在 xe=0是渐进是渐进稳定的。李雅普诺夫函数为：稳定的。李雅普诺夫函数为：例例5.4.1非线性系统状态方程为非线性系统状态方程为:试分析试分析 的稳定性。的稳定性。解解: :雅可比矩阵雅可比矩阵: :选择选择 W=I 则则:检

54、验检验 的各阶主子式：的各阶主子式：且且时，有时，有显然，显然， 是负定的，故是负定的，故 是一致渐近稳定的。是一致渐近稳定的。故故 是大范围一致渐近稳定的。是大范围一致渐近稳定的。例例5-10/115-10/11（见教材（见教材P263/4P263/4），自行分析。），自行分析。2. 变量梯度法变量梯度法（这部分内容需要用到工程数学（这部分内容需要用到工程数学场论场论中的梯度、旋度等知中的梯度、旋度等知识，而大部分院校自动化专业本科生没有学过识，而大部分院校自动化专业本科生没有学过场论场论，可以，可以跳过这一段。）跳过这一段。）本章小结本章小结本章要求：本章要求：1 1熟练掌握李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳熟练掌握李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳 定、大范围渐进稳定、不稳定概念及定义；定、大范围渐进稳定、不稳定概念及定义；2 2能熟练运用李雅普诺夫第一法（间接法）判能熟练运用李雅普诺夫第一法（间接法）判 线性定常系统的稳定性；线性定常系统的稳定性；3 3掌握李雅普诺夫第二法五个主要定理；掌握李雅普诺夫第二法五个主要定理；4 4能熟练运用李雅普诺夫第二法判线性定常系能熟练运用李雅普诺夫第二法判线性定常系 统的稳定性。统的稳定性。