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1、第 1 页 共 11 页 高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印 度洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正
2、整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1）列举法：a,b,c 2）描述法 ： 将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内 表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32 3）语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4）Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分， ；（2）A 与 B 是BA 同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A
3、,记作 A B 或 B A 2 “相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等” 即： 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记 作 AB(或 BA) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 第 2 页 共 11 页 有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算 运算 类型 交 集并 集补 集
4、定 义 由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集记作 AB （读作 A 交 B） ， 即 A B=x|xA， 且 x B 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合， 叫做 A, B 的并集记作：AB （读作A 并 B） ，即 A B =x|xA，或 x B) 设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集，由 S 中 所有不属于 A 的元素 组成的集合， 叫做 S 中 子集 A 的补集（或余 集） 记作，即ACS CSA=,|AxSxx且 韦 恩 图 示 S A 性 质 AA=A A= AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA
5、AB ABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= 例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合 M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0，则 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A=，B=，若 AB，则的取值范围是 1 2xxx xa a 5.50 名学生做的物理、 化学两种实验， 已知物理实验做得正确得有 40 人， 化学 S A 第 3 页 共 11 页
6、实验做得正确得有 31 人， 两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合 M= . 7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 BC， AC=， 求 m 的 值 二、函数的有关概念 1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对 应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一 确定的数 f(x)和它对应， 那么就称 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做
7、自变量，x 的取值 范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 注意： 1定义域 ： 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它 的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函
8、数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数 值的字母无关） ；定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横 坐标， 函数值y为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C， 叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反 过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)， 均在 C 上 . (2) 画法 A、描点法： B、图象变换法 常用变换
9、方法有三种 第 4 页 共 11 页 1)平移变换 2)伸缩变换 3)对称变换 4区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示 5映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对 应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯 一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f： AB 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象） ” 对于映射f：AB来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的 ； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应
10、的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并 集 补充：复合函数 如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、 g 的复合函数。 二函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就 说 f(x)
11、在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时， 都有 f(x1)f(x2)， 那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的 图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 任取 x1，x2D，且 x11，且 * nnN
12、负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作。00 n 当是奇数时，当是偶数时，naa nn n 第 7 页 共 11 页 )0( )0( | a a a a aa nn 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ，) 1, 0( * nNnmaaa nm n m ) 1, 0( 11 * nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 （1） r a srr aa ；), 0(Rsra （2） rssr aa)( ；), 0(Rsra （3） srr aaab)( ), 0(Rsra （二）指数函数及其性质
13、 1、指数函数的概念：一般地，函数叫做) 1, 0(aaay x 且 指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 2、指数函数的图象和性质 a10a10a0，a0，函数 y=ax与 y=loga(-x)的图象只能是 ( ) 第 10 页 共 11 页 2.计算： ;= ；= ; 64log 2log 27 3 3log4 2 2 2log227log 55 3 1 25 = 2 1 3 4 3 1 01 . 0 16)2() 8 7 (064. 0 75 . 0 30 3.函数 y=log(2x2-3x+1)的递减区间为 2 1
14、4.若函数在区间上的最大值是最小值的 3 倍，则 a= ) 10 (log)(axxf a 2,aa 5.已知， （1）求的定义域（2）求使的的取值范围 1 ( )log(01) 1 a x f xaa x 且 ( )f x ( )0f x x 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使)(Dxxfy0)(xf 成立的实数叫做函数的零点。x)(Dxxfy 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实)(xfy 0)(xf 数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。)(xfy x 即：方程有实数根函数的图象与轴有交0)(xf)(xfy x 点函数有零点)(xfy 3
15、、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； 1 0)(xf （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 2 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点)(xfy 4、二次函数的零点： 二次函数)0( 2 acbxaxy （1），方程有两不等实根，二次函数的0 2 cbxax 图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点x （2），方程有两相等实根，二次函数的0 2 cbxax 图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点x （3） ， 方程无实根， 二次函数的图象与0 2 cbxaxx 轴无交点，二次函数无零点 第 11 页 共 11 页 5.函数的模型 检验 收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型 用函数模型解释实际问题 符合实际 不 符 合 实 际
