《2019年常系数线性差分方程的求解课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年常系数线性差分方程的求解课件（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.4 常系数线性差分方程的求解,主要内容 重点：用时域经典法求常系数线性差分方程,求解常系数线性差分方程的方法 零输入响应与零状态响应,线性时不变离散系统的差分方程是常系数线性差分方程，基本形式：,或写成,在差分方程中，各序列的序号自n以递减方式给出，称为后向(或右移序)差分方程。,4、变换域法（Z变换法）,逐次代入求解， 概念清楚， 比较简便， 适用于计算机，缺点是不易得出通式解答。,1、迭代法,2、时域经典法,3、全响应零输入响应零状态响应 零输入响应求解与齐次通解方法相同 零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要。,求解过程比较麻烦,一、求解常系数线性差分方程的方法,全响应齐次解 特解
2、,自由响应 强迫响应,本章着重介绍时域中求常系数线性差分方 法，下一章详细研究Z变换方法。 下面我们学习时域经典法解常系数线性差 分方程。,时域经典解法,1、齐次解,一般差分方程对应的齐次方程的形式为,一般情况下，对于任意阶的差分方程，它们的齐次解的形式为 的项组合而成。,消去常数C，并逐项除以 得到：,上式称为齐次微分方程的特征方程，其根 称为差分方程的特征根。,非重根时的齐次解,K次重根时的齐次解,共轭根时的齐次解,有一个K重复根时的齐次解,初始条件为y(0)=2和y(1)=3，求方程的齐次解。,例.系统的差分方程,特征根为,于是,由初始条件,解得：,故齐次解,解：特征方程为,2、特解,特
3、解得求法：将激励x(n)代入差分方程右端得到自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。,（1）自由项为nk的多项式,1不是特征根：,1是K重特征根：,（2）自由项为,不是特征根，则特解,是特征单根，则特解,是k重特征根，则特解,（3）自由项为正弦 或余弦 表达式,（4）自由项为正弦,不是特征根,是特征根,例6-9： 求下示差分方程的完全解,其中激励函数 ，且已知,解：特征方程：,齐次通解：,将 代入方程右端，得,设特解为 形式，代入方程得,比较两边系数得,解得,完全解为,代入边界条件 ，求,得,经典法不足之处,(1).若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 (2).若差分方程右边激励项较复
4、杂，则难以处理。 (3).若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 (4).这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。,二、零输入响应和零状态响应,系统的完全响应（差分方程的完全解）可表示为自由响应分量与强迫响应分量（齐次解与特解）之和。,根据边界条件及激励的不同，完全响应也可分为零输入响应和零状态响应之和。,当起始状态y(-1)=y(-2)= =y(-N) =0时，由系统的激励xn所产生的响应。它是自由响应的另外部分加上强迫响应。,当激励x(n)=0时，由系统的起始状态y(-1), y(-2), y(-N)所产生的响应。它是齐次解的形式，它是自由响应的一部分。,1、零输入响应,输入
5、为零，响应由齐次差分方程求得，是仅由初始储能引起的响应。,注意： 确定零输入响应的系数时，必须用仅由初始状态引起的初始条件； 初始条件为 M 个任意时刻的响应值，故零输入响应的表达式不再加写后缀 n0。,例 描述离散时间系统的差分方程为,解：特征方程为,在差分方程中，令n=-1,得,可见 y(2) , y(1) , y(0) 和 y(-1) 与激励无关,仅由初始储能引起。,在差分方程中，令 n = 0，得,可见，y(3)与激励有关,是初始储能和激励共同引起的,不能用来确定零输入响应的待定系数。 将y(1)=1,y(2)=2,y(3)=-23代入上式,可得第三个零输入条件：,于是得到,2、零状态
6、响应,离散时间系统求解零状态响应，可以直接求解非齐次差分方程得到。求解方法与经典法计算连续时间系统零状态响应相似。即首先求齐次解和特解，然后代入仅由激励引起的初始条件若激励在n= 0时接系统，根据系统的因果性，零状态条件为y(-1)=y(-2)=. . .=0 确定待定系数。但当激励信号较复杂，且差分方程阶数较高时，上述求解非齐次差分方程的过程相当复杂，因此，与连续时间系统的时域分析一样，离散时间系统计算零状态响应也常用卷积分析法。,差分方程的边界条件不一定由 这一组数字给出。对于因果系统，常给定 为边界条件。 若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态是指 都等于零，而不是指 等于零。 如果已知 欲求 可用迭代求出。,例: 已知描述系统的一阶差分方程为 （1）边界条件 ，求 （2）边界条件 ，求,解:（1）起始时系统处于零状态，所以，,齐次解为 , 设特解为D,由y-1=0可求出,所以，,（2） 先求零状态响应，此即为（1）的结果,再求零输入响应，令,由y-1=1可求出,所以，,完全响应,3、离散时间系统的转移算子： E算子：又称超前算子，它表示将序列向前（向左）移一位的运算。,b、,思考题,1. 求解常系数线性差分方程的方法有哪些？ 2. 时域经典法解的形式是什么？ 3. 什么是零输入响应、什么是零状态响应？,
