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1、2.2.1双曲线及其标准方程,第二章 2.2 双曲线,1.掌握双曲线的定义. 2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程. 3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .,答案,差的绝对值,双曲线,焦点,焦距,知识点二双曲线的标准方程,答案,(a0，b0),(a0，b0),(c,0),(c,0),(0，c),(0
2、，c),2c,a2b2,思考(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 答案当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？ 答案a，b的值及焦点所在的位置.,答案,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一求双曲线的标准方程 例1根据下列条件，求双曲线的标准方程.,解析答案,解方法一若焦点在x轴上，,P、Q两点在双曲线上，,解析答案,双曲线经过点(5,2)，,5或30(舍去).,反思与感悟,
3、反思与感悟,求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，从而简化求解过程.,解析答案,跟踪训练1求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； 解由双曲线的定义知，2a8，所以a4， 又知焦点在x轴上，且c5， 所以b2c2a225169，,解析答案,解因为
4、焦点在x轴上，,解得a28，b24，,解析答案,题型二双曲线定义的应用,(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积.,反思与感悟,(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则|16x|6， 解得x10或x22. 故点M到另一个焦点的距离为10或22.,解析答案,反思与感悟,(2)将|PF2|PF1|2a6两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36， |PF1|2|PF2
5、|2362|PF1|PF2| 36232100. 在F1PF2中，由余弦定理得,F1PF290，,反思与感悟,反思与感悟,(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca). (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.,解析答案,跟踪训练2已知双曲线 1的左、右
6、焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积.,由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|PF2|6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|， 所以|PF1|PF2|64，,解析答案,题型三与双曲线有关的轨迹问题 例3如图，在ABC中，已知|AB| ，且三个内角A，B，C满足 2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.,反思与感悟,解以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系如图所示，,2sin Asin C2sin B
7、，,2|BC|AB|2|AC|，,由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).,反思与感悟,反思与感悟,(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：列出等量关系，化简得到方程；寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程. (2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.,解析答案,跟踪训练3 如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 解圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11； 圆F2：(x5)2y
8、242，圆心F2(5,0)，半径r24. 设动圆M的半径为R， |MF2|MF1|310|F1F2|. 点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，,则有|MF1|R1，|MF2|R4，,解析答案,返回,解后反思,例4已知F1、F2是双曲线 1的左、右焦点，A是双曲线右支上的动点. (1)若点M(5,1)，求|AM|AF2|的最小值； (2)若点M(5，n)，求|AM|AF2|的最小值.,思想方法,数形结合思想的应用,解析答案,解后反思,分析画出草图，结合焦点三角形进行考虑. 解(1)草图如图所示. 由双曲线的定义，知|AM|AF2|AM|AF1|2a. 由于点M在双曲线右支的右边， 故由图
9、知当点A在线段MF1上时，|AM|AF1|最小， 即|AM|AF2|最小.,解后反思,(2)类似(1)可知，当点M在双曲线右支的右边，,当M在双曲线右支的外边或其上，,解决这类综合性较强的双曲线问题时，应利用图形的形象直观的特点画图分析，并注意运用双曲线的定义，对所求解的问题进行恰当转化，使问题顺利地得到解决.,返回,解后反思,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.已知F1(3,3)，F2(3,3)，动点P满足|PF1|PF2|4，则P点的轨迹是() A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线 解析因为|PF1|PF2|4，且4|F1F2|， 由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲
10、线的一支.,B,解析答案,1,2,3,4,5,解析由题意知，34n2n216， 2n218，n29. n3.,B,1,2,3,4,5,解析答案,解析由标准方程得a210，b22，,D,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知双曲线中a5，c7，则该双曲线的标准方程为 _.,解析答案,1,2,3,4,5,5.P是双曲线x2y216的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则|PF1|PF2|_.,所以a216,2a8， 因为P点在双曲线左支上， 所以|PF1|PF2|8.,8,课堂小结,返回,1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a (2ab不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的 区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置， 设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21 (mn0)的形式求解.,
