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1、2.1 数列极限概念,我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出：,这样就得到一个数列:,引例1 古代哲学家庄周所著的庄子 天下篇引用了一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这样的过程可以无限制地进行下去.,一、极限思想介绍,大而无限趋于 0 .,引例2： 刘徽的割圆术,，,，,An，,当圆内接正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形的面积无限接近于圆的面积.,即当n无限增大(n )，An无限接近于某一定数，该定数称为数列An当n 时的极限.,A1,A2,二、数列极限的直观定义,1. 观察下列各数列,（1）,（3） 1，2，3，
2、4，n，,通项an=n随n的无限增大而无限增大.,（4） 1，-1，1，-1，(-1)n+1，,数列(-1)n+1的值交替地取1和-1，不与任何常数无限接近.,（5）,数列 随n无限增大而无限地趋近于1.,（6）,结论: 对于数列an，若当n无限增大时，an能无限地接近某一常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限.,如何用数学语言刻画？,n无限增大,an,无限地接近,a,问题:,三、数列极限 -N定义,分析：,数列an的极限为a, 随着n的无限增大，通项an无限接近于a, 当n充分大时，an与a的距离|an a|可以任意小,定义: 设 an为数列，a为定数，若对任给的 0，总存在正整数
3、N，使得当nN时，有 |an a| ，则称数列an收敛于a，a称为an的极限. 记作 或 an a (n ),注: 上述定义称为“-N”定义.,？,例1：证明 .,分析：,例1：证明 .,证明：,所以 .,例2：证明 .,分析：,（当n 3时）.,例2：证明 .,证明：,所以 .,用定义证明数列极限的证明思路,1. 分析过程：,从最后的结论不等式 | ana | 出发，, 解出n 应大于怎样的数，对此数取整即得 N., 解不出n ，使放大后的不等式能解出n .,2. 证明过程：,取定上述 N ，将分析过程逆推.,欲证 ， 关键找 N !,四、关于 -N 的几点说明,从定义及上面的例题我们可以看
4、出:,此外，又因 是任意正数, 所以,1. 的任意性: 定义中的 用来刻画数列 an 的通项与定数 a 的接近程度. 显然正数 愈小,表示 a n与 a 接近的程度愈高； 是任意的, 这就表示 an与 a 可以任意接近.要注意， 一旦给出，在接下来计算 N 的过程中它暂时看作是确定不变的.,均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式,2. N 的相对性:从定义1 中又可看出, 随着 的取值不同, N 当然也会不同. 但这并不意味着 N 是由 惟一确定.,再有, 我们还可以限定 小于某一个正数 ( 比如 1 ). 事实上, 对 0 1 若能验证 an 满足定义 1, 那么 对 1 自然也可以验证
5、成立.,则当 n N1 = 2N 时, 对于同样的 , 更应有,例如, 当 n N 时, 有,也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追求 N 的 “ 最佳性 ” .,N,e 越来越小，N越来越大！,3. 极限的几何意义,而在 之外, an 至多只有有限项( N 项 ).,反过来, 如果对于任意正数 ,落在 之外至多只 有有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表示当 n N 时,所有下标大于 N 的 an 全都落在邻域 之内，, an 的有限多项, 则称数列 an 收敛于a ., an 不以 a 为极限的定义也可陈述为:存在,使得在 之外含有 an 中的无限多项.,五、数列极限的邻域形式定义,注 an 无极限（即发散）的等价定义为: an 不以任 何实数 a 为极限.,思考题：用 -N定义证明,1.,2.,3.,
