数值分析方法课件

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1、6.1 概述 6.2 有限元法 6.3 有限差分法 6.4 离散元法,第六章 岩石力学数值分析方法简介,数值计算是人类认识世界的新手段。自理论分析与科学实验之后，数值模拟已成为人类认识世界最重要的手段。 它主要用来解决以下两类问题：不可能进行实验的问题，进行实验代价太大的问题。同时它又融和了理论分析和科学试验的特点，数值模拟 / 仿真已经不再局限于科学计算，正广泛被用在科学研究，工程与生产领域。,6.1 概述,6.1 概述,解析方法的障碍 岩体是地质结构体，非均质、非连续、非线性、以及复杂的加卸载条件和边界条件， 岩石力学问题通常无法用解析方法简单求解 数值方法的优势 数值方法适用范围广， 能

2、模拟岩体的复杂结构和力学特性， 分析各种边值问题和施工过程 对工程进行预测和预报,6.1 概述,主要用于研究岩土工程活动和自然环境变化过程中岩体及其加固结构的力学行为和工程活动对周围环境的影响。 常用方法:有限元、边界元法、有限差分法、加权余量法、离散元法、刚体元法、不连续变形分析方法、流形方法。 前四种基于连续介质力学方法，后三种基于非连续介质力学方法,6.1 概述,有限元基于最小总势能变分原理，能方便处理各种非线性问题，灵活模拟岩土工程中复杂的施工过程，在岩石力学领域应用最为广泛 边界元法以表述拜特(Betti)互等定理的积分方程为基础，建立了直接法的基本方程，而基于叠加原理建立了间接法的

3、总体方程；因其前处理工作量少、能有效模型拟远场效应而普遍应用于无界域或半无界域问题的求解 有限差分法是将问题的基本方程和边界条件以简单、直观的差分形式表述，更易在实际工程中应用。尤以FLAC程序为代表,离散元是康德尔以刚性离散单元为基本单元，根据牛顿第二定律，提出的一种动态分析方法，既能模拟块体受力后的运动，又能模拟块体本身的受力变形，20世80年代引入我国，在边坡、隧道、采矿等方面有重要应用 流形方法是由石要华等人近期（1992、1996）发展的一种新的数值分析方法。这种方法以拓扑流形和微分流形为基础，在分析域内建立可相互重叠、相交的数学覆盖和覆盖材料全域的物理覆盖，在第一物理覆盖上建立独立

4、的位移函数，将所有覆盖上的独立覆盖函数加权求和，即可得到总体位移函数。然后根据总势能总小原理，建立可以用于处理包括非连续和连续介质的耦合问题，小变形、大位移、大变形等多种问题的求解格式。它是一种具有一般形式的通用数值分析方法，有限元法和不连续变形分析法DDA都可看作是它的特例。,6.1 概述,主要介绍有限元、有限差分和离散元,6.1 概述,共同特点： 将带有边值条件的常微分方程或偏微分方程离散为线性代数方程组，采用适当的求解方法解方程组，获得基本未知量，进而根据几何方程和本构方程，求出研究范围内的其他未知量。 但是对于岩石力学与工程问题，还应重视随工程活动和时间变化岩体及加固结构中的节理、裂隙

5、等各种不连续面及其扩展过程和自然环境变化过程的数值仿真模拟。与此同时，应根据实际岩体的赋存环境和工程因素影响情况，确定用于数值分析的计算力学参数。,开挖 Open-cut,有限元模拟施工过程,前处理,计 算 机 求 解,后处理,区域离散,边界条件,力学参数,应力分布,载荷位移,变形大小,求解控制,图像,曲 线,表格,编程实现,6.1 概述,求解流程,有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域-飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 由于其灵活处理边界、模拟非线

6、性，广泛应用于岩石工程领域,6.2 有限元法,有限元法分析计算的基本思想： 物体离散化 单元特性分析 选择位移模式 分析单元的力学性质 计算等效节点力 单元组集 求解未知节点位移,6.2 有限元法,物体离散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。 离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定。 用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获 得的结果就与实际情况相符合。,6.2 有限元法,分析单元的力学性质 根据 单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位

7、置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚 度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。,6.2 有限元法,选择位移模式 位移法：选择节点位移作为基本未 知量称为位移法； 力 法：选择节点力作为基本未 知量时称为力法； 混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。,6.2 有限元法,计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元 传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递

8、到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代 替所有作用在单元上得力。,6.2 有限元法,单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程 求解未知节点位移 可以根据方程组的具体特点来选择合适的 计算方法。,6.2 有限元法,总体刚度矩阵；,总体位移列阵；,总体荷载列阵,目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有 德国的ASKA、 英国的PAFEC、 法国的SYSTUS、 美国的ABQUS、ADINA、ANSYS

9、、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。,6.2 有限元法,6.2 有限元法,双边缺口试件损伤局部化现象的Abaqus数值模拟,6.2 有限元法,6.2 有限元法,64万单元的三维隧道模型并行有限元分析,岩石力学中的有限元法特点,节理单元 自然岩体具有各种结构面，如节理、断层等。在进行有限元分析中，对那些与工程结构尺寸相当或更大尺寸的断层和节理，应采用“节理单元”。国内外提出多种节理单元，其中古德曼（Goodman）节理单元是提出最早、应用最广泛的一种。,岩石力学中的有限元法特点,无拉力分析 岩石的“不抗拉”特性可看作是塑性性态的一种表现。

10、若略去很低的抗拉强度，按照无拉力模型所得到的解答将是在任一点都不存在拉应力的无拉力平衡状态。如果不能获得这样的平衡状态，则表明这一系统是不安全的。必须考虑适当的加固措施。这种考虑岩石不抗拉特性的非线性分析，习惯上称为“无拉力”分析。,岩石力学中的有限元法特点,非线性分析 非线性分析包括几何非线性和材料非线性两种。几何非线性具有非线性的几何关系，而材料非线性具有非线性的应力应变方程。岩石力学问题大多是非线性问题。对于非线性问题，必须经过线性处理，才能进行有限元分析。 常用线性化处理方法： 变刚度法 常刚度法,岩石力学中的有限元法特点,变刚度法 分段线性化增量法。把总荷载划分为若干增量，逐级施加荷

11、载增量并每次改变刚度矩阵进行求解。 下图可称为一阶自校正法，它是在每一级增量之后，考虑对过量应力作一次较正，然后施加下一级增量进行计算。,岩石力学中的有限元法特点,常刚度法 如初应力法和初应变法， 初应力法也可采用增量加载，在每级计算时所用的总刚度矩阵不变，只根据过量等效结点力进行迭代运算 如右图所示，一级荷载的迭代过程。其不足之处是当非线性斜率较小，尤其接近理想塑性情况时，收敛速率很慢甚至不收敛。,有限元法求解岩石力学问题的步骤,1.确定计算模型 根据对称性、材料性质和关心部位的边界尺寸等确定计算模型。 如对于一圆拱形隧道，若其受力、几何形状及材料性质均对称于y轴，则可取其1/2作为研究对象

12、，而外边界可根据隧道的跨度和高度确定。通常外边界左右取跨度的35倍，上下取高度的35倍。在所取范围之外可认为不受开挖等施工因素的影响，即在这些边界处可忽略开挖等施工所引起的应力和位移。同时，保证模型不出现刚体位移及转动。,有限元法求解岩石力学问题的步骤,计算参数确定： a.根据实验确定。实验室确定的力学参数不能直接采用，通常需要进行折减。 b.现场实验和实测参数。由现场获得的参数一般也需进行数学上的处理之后才可使用。 c.利用量测位移进行反分析确定。,有限元法求解岩石力学问题的步骤,2.划分单元 根据上面所确定的模型，在比较规则的区域划分四边形单元，复杂区域可选择任意四边形和三角形单元。划分时

13、不能出现同一单元跨过两种材料，避免出现钝角。对于断层、节理应划分为岩体的“节理单元”。单元编号时，应使同一单元的编号的最大差值为最小。应力集中的区域和重点研究的区域单元应密集些。 3.选择位移函数。 依据单元类型，选择对应的位移插值函数，相同类型单元取同一插值函数。,有限元法求解岩石力学问题的步骤,4.建立单元刚度矩阵，并进行坐标转换。 5.形成总体刚度矩阵。 6.荷载等效移置，确定节点力列阵。 7.列出有限元基本方程，并根据已知位移对方程进行修正。 8.求解总体方程，可获得节点位移。 9.利用几何关系和物理方程计算单元的应变和应力。 10.绘制计算结果图，以便直观了解分析结果，给出定量的评价

14、，利用有限元法计算结果画出破坏区，应力和位移等值线、应力场和位移场矢量图及所需要某一载面的应力分布曲线和位移分布曲线等。,有限差分法主要思想是将待解决问题的基本方程组和边界条件（一般为微分方程）近似的改用差分方程（代数方程）来表示，由有一定规则的空间离散点的处场变量（应力、位移）的代数表达式代替。 有限差分法和有限元法都产生一组待解决的方程组，但两者产生方程组的方式不一样 有限元： 插值函数 有限差分：差分代替微分,6.3 有限差分法,6.3 有限差分法,设f(x,y)为弹性体内某一个连续函数，在邻近点0处，函数f可以展开为泰勒级数：,在结点3和1处，x分别等于x0-h及x0+h，即x-x0分

15、别等于-h和h。将其代入上式得,6.3 有限差分法,假定h充分小，可以略去三次幂或更次幂的各项，上式可简化为：,联立求解得差分公式：,同理,6.3 有限差分法,利用上式可以推导出混合二阶导数的差分公式：,平衡方程可转化为由各结点的待求量表示的差分方程，结合边界条件即可求解。,平衡方程 （运动方程）,应力-应变关系 （本构方程）,新的速度和 位移,新的应力 或力,商业软件： FLAC2D、FLAC3D,6.3 有限差分法,FLAC土坡滑动问题,FLAC土坡滑动问题,FLAC土坡滑动问题,FLAC土坡滑动问题,FLAC土坡滑动问题,FLAC土坡滑动问题,FLAC土坡滑动问题,FLAC土坡滑动问题,

16、FLAC3D地下工程稳定性分析,完全强调岩体的非连续性，认为岩体中的各离散单元，在初始应力作用下各块体保持平衡 岩体被表面或内部开挖以后，一部分岩体就存在不平衡力，离散单元法对计算域内的每个块体所受的四周作用力及自重进行不平衡计算，并采用牛顿运动定律确定该岩块内不平衡力引起的速度和位移 反复逐个岩块进行类似计算，最终确定岩体在已知荷载作用下是否将破坏或计算出最终稳定体系的累计位移,6.4 离散元法,力-位移的关系,力F,位移u,运动方程,力边界条件,位移边界条件,商业软件： UDEC、3DEC、PFC,6.4 离散元法,研究地下煤层开挖引起冒落和岩层移动，研究冒落带深度与节理间距的关系,6.4 离散元法,6.4 离散元法,破裂问题岩石剪切破坏过程的受力特征,PFC,PFC,破裂问题岩石剪切破坏过程的受力特征,PFC,破裂问题岩石剪切破坏过程的受力特征,崩落放矿的数值仿真,