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1、2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,1,多元函数微分学在几何上的简单应用,平面曲线的切线与法线 空间曲线的切线与法平面 曲线的弧长 空间曲面的切平面与法线,一、平面曲线的切线与法线,曲线 L ：,条件： 上一点, 近旁, F 满足,隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数:,处的切线：,2007年8月,2,南京航空航天大学 理学院 数学系,总之, 当,例1 求笛卡儿叶形线,在点 处的切线与法线.,解 设 由1 例 2 的讨,论 近旁满足隐函数定理,2007年8月,3,南京航空航天大学 理学院 数学系,的条件. 容易算出,于是所求的切线与法线分别为,例2 用数学软件画出曲线,切线与法线
2、.,2007年8月,4,南京航空航天大学 理学院 数学系,解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:,syms x,y; ezplot(x2+y-sin(x*y),-4,4,-8,1);,就立即得到曲线 L 的图象 (见本例末页图186).,令 容易求出:,2007年8月,5,南京航空航天大学 理学院 数学系,由此得到 L 在点 处的切线与法线分别为：,若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指,令, 便可画出上述切线与法线的图象.,hold on; a=(pi)(1/3); b=a2; ezplot(2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b); ezplot(1+a)*(x
3、-a)-(2*a-b)*(y+b),2007年8月,6,南京航空航天大学 理学院 数学系,2007年8月,7,南京航空航天大学 理学院 数学系,例3 设一般二次曲线为,试证 L 在点 处的切线方程为,证,2007年8月,8,南京航空航天大学 理学院 数学系,由此得到所求切线为,利用 满足曲线 L 的方程, 即,整理后便得到,2007年8月,9,南京航空航天大学 理学院 数学系,二、空间曲线的切线与法平面,先从参数方程表示的曲线开始讨论.,对于平面曲线,若 是其上一点, 则曲线,在点 处的切线为,下面讨论空间曲线.,2007年8月,10,南京航空航天大学 理学院 数学系,(A) 用参数方程表示的
4、空间曲线:,类似于平面曲线的情形, 不难求得 处的切线为,过点 且垂直于切线 的平面 , 称为曲线 L,在点 处的法平面 (见后图).,2007年8月,11,南京航空航天大学 理学院 数学系,因为切线 的方向向量即为,法平面 的法向量, 所以法,平面的方程为,(B) 用直角坐标方程表示的空间曲线：,设 近旁具有连续的,一阶偏导数, 且,2007年8月,12,南京航空航天大学 理学院 数学系,不妨设 于是存在隐函数组,这也就是曲线 L 以 z 作为参数的一个参数方程.,根据公式 (2), 所求切线方程为,2007年8月,13,南京航空航天大学 理学院 数学系,应用隐函数组求导公式, 有,于是最后
5、求得切线方程为,相应于 (3) 式的法平面方程则为,2007年8月,14,南京航空航天大学 理学院 数学系,解 容易求得 故切向向量为,例 4 求空间曲线,在点 处的切线和法平面.,由此得到切线方程和法平面方程分别为,2007年8月,15,南京航空航天大学 理学院 数学系,syms t; x=t-sin(t); y=1-cos(t); z=4*sin(t/2); ezplot3(x,y,z,-2*pi,2*pi),绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下:,2007年8月,16,南京航空航天大学 理学院 数学系,2007年8月,17,南京航空航天大学 理学院 数学系,例5 求曲线,在点 处的切线与
6、法平面.,解 曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线. 令,根据公式 (5) 与 (6), 需先求出切向向量. 为此计算,F, G 在点 处的雅可比矩阵:,2007年8月,18,南京航空航天大学 理学院 数学系,由此得到所需的雅可比行列式:,2007年8月,19,南京航空航天大学 理学院 数学系,故切向向量为,据此求得,2007年8月,20,南京航空航天大学 理学院 数学系,三、曲线的弧长,弧长,折线的极限,弧长计算公式：,对于空间简单曲线：,2007年8月,21,南京航空航天大学 理学院 数学系,例：求平面曲线的弧长：,例：求螺旋线一个螺距之间的长度：,2007年8月,22,南京航空航天大学 理
7、学院 数学系,弧微分,设曲线的参数方程为,可以将弧长视为参数 t 的函数,这样，可得弧长的微分（弧微分）为：,2007年8月,23,南京航空航天大学 理学院 数学系,自然参数,既然弧长可以视为参数 t 的函数,一定存在反函数！,将反函数 t = t(s) 代入曲线参数方程,即弧长 s 成为曲线的参数，称之为自然参数,性质：,为单位切向量,2007年8月,24,南京航空航天大学 理学院 数学系,四、曲面的切平面与法线,以前知道, 当 f 为可微函数时, 曲面 z = f ( x , y ),在点 处的切平面为,现在的新问题是: 曲面 由方程,给出. 若点 近旁,具有连续的一阶偏导数, 而且,20
8、07年8月,25,南京航空航天大学 理学院 数学系,不妨设 则由方程 (7) 在点 近旁惟一,地确定了连续可微的隐函数,因为,所以 在 处的切平面为,又因 (8) 式中非零元素的不指定性, 故切平面方程,2007年8月,26,南京航空航天大学 理学院 数学系,一般应写成,随之又得到所求的法线方程为,回顾 1 现在知道, 函数 在点 P 的梯度,其实就是等值面 在点 P 的法向量:,2007年8月,27,南京航空航天大学 理学院 数学系,回顾 2 若把由 (4) 表示的空间曲线 L 看作两曲面,的交线(如图), 则 L,在 的切线与此二曲,面在 的法线都相垂,直. 而这两条法线的,方向向量分别是
9、,2007年8月,28,南京航空航天大学 理学院 数学系,故曲线 (4) 的切向向量可取 的向量积:,这比前面导出 (5) , (6) 两式的过程更为直观, 也容,易记得住.,2007年8月,29,南京航空航天大学 理学院 数学系,例6 求旋转抛物面 在点,解 令 则曲面的法向量为,处的切平面和法线.,从而由 (9), (10) 分别得到切平面为,法线为,2007年8月,30,南京航空航天大学 理学院 数学系,面都过某个定点 ( 这里 f 是连续可微函数 ) .,2007年8月,31,南京航空航天大学 理学院 数学系,于是曲面在其上任一点 处的法向量,可取为,由此得到切平面方程:,将点 代入上
10、式, 得一恒等式:,2007年8月,32,南京航空航天大学 理学院 数学系,这说明点 恒在任一切平面上.,2007年8月,33,南京航空航天大学 理学院 数学系,曲面也可以用如下双参数方程来表示:,这种曲面可看作由一族曲线所构成: 每给定 v 的一,个值, (11) 就表示一条以 u 为参数的曲线; 当 v 取,某个区间上的一切值时, 这许多曲线的集合构成了,一个曲面. 现在要来求出这种曲面的切平面和法线,的方程.,2007年8月,34,南京航空航天大学 理学院 数学系,(11) 式中三个函数在 近旁都存在连续的一阶偏,导数. 因为 在 处的法线必垂直于 上过 的,任意两条曲线在 的切线,所以
11、只需在 上取两条特,殊的曲线 :,它们的切向量分别为,2007年8月,35,南京航空航天大学 理学院 数学系,则所求的法向量为,至此, 不难写出切平面方程和法线方程分别为,2007年8月,36,南京航空航天大学 理学院 数学系,解 先计算在点 处的法向,例8 设曲面的参数方程为,试对此曲面的切平面作出讨论.,量:,2007年8月,37,南京航空航天大学 理学院 数学系,由此看到, 当 时 说明在曲面 (12),而当 时, 法向量可取,上存在着一条曲线, 其方程为,在此曲线上各点处, 曲面不存在切平面, 我们称这,种曲线为该曲面上的一条奇线.,与之对应的切平面则为,2007年8月,38,南京航空
12、航天大学 理学院 数学系,法线则为,当动点 趋于奇线 (13) 上,的点 时, 法向量,存在极限(一般不一定存在):,2007年8月,39,南京航空航天大学 理学院 数学系,此点处 不存在法,此时切平面存在极限位置:,有时需要用此“极限切平面”来补充定义奇线上的,切平面 .,注 曲面上的孤立奇点往往是曲面的尖点, 如圆锥,线和切平面. 而曲面上的奇线, 则往往是该曲面的,“摺线” 、“边界线” 或是曲面自身的 “交叉线”.,2007年8月,40,南京航空航天大学 理学院 数学系,曲面 (12) 及其奇线 (边界线) 的图象如下:,2007年8月,41,南京航空航天大学 理学院 数学系,定义 若 存在连续的一阶偏导数, 且满足,则称曲面 为,一光滑曲面.,对于用双参数方程 (11) 表示的曲面, 应如何定义,它为光滑曲面? 请读者自行考虑.,2007年8月,42,南京航空航天大学 理学院 数学系,
