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1、数学分析3教案 授课时间 2006.10.17 第 10 次课 授课章节第十七章第二节 第三节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版 吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1) 理解一阶全微分形式不变性 (2) 掌握方向导数与梯度的定义(3) 掌握方向导数与梯度的计算教学重点，难点：重点：方向导数与梯度的定义难点：
2、一阶全微分形式不变性, 方向导数的定义教学内容：一阶微分形式不变性一阶微分有个很重要性质形式不变性。在多元函数中也有类似的性质。设是二元可微函数，如果是自变量，则： （各自独立数值） 如果不是自变量而是中间变量， 又设都可微，并且可以构成复合函数，那么： 数学分析3教案 由（1），（2）的可知一阶微分形式的不变性。注:（1）两阶微分没有这一性质，如下例例1 设 则如果二阶微分有形式不变性，则有：但 （2）利用一阶微分形式不变性求偏导数例2 设利用微分形式不变性求 并求出 3 方向导数与梯度一 方向导数：（一）、方向导数的定义：定义 设三元函数在点的某邻域内有定义 . 为从点出发的射线 . 为上
3、且含于内的任一点 , 以表示与两点间的距离 . 若极限 存在 , 则称此极限为函数在点沿方向的方向导数 , 记为 或 、.数学分析3教案对二元函数在点, 可仿此定义方向导数 . 易见 、 和 是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和轴正向的方向导数 .例1=. 求在点处沿方向的方向导数, 其中 （1） 为方向; （2） 为从点到点的方向.解 （1） 为方向的射线为. 即 . , .因此 , （2） 从点到点的方向的方向数为方向的射线为 . , ;.因此 , （二）、 方向导数的计算:定理: 若函数在点可微 , 则在点处沿任一方向的方向导数都存在 , 且 + +,其中、和为的方向余弦. 对二元函数,
4、 +, 其中和是的方向角. 注: 由 + +数学分析3教案=(, , ( , ),可见 , 为向量, , 在方向上的投影. 例2 ( 上述例1 ) 解 （1） 的方向余弦为=, =, =. =1 , = , =.因此 , = + +=. （2） 的方向余弦为 =, =, = .因此 , =.可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .二 梯度 ( 陡度 ):（一）、梯度的定义: , , . |= .易见 , 对可微函数, 方向导数是梯度在该方向上的投影.（二）、 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为 |.其中是与夹角. 可见时取最大值 , 在的反方向取
5、最小值 .（三）、梯度的运算:1 . 2 (+) = +. 3 () = +. 数学分析3教案4 . 5 () = .证: 4 , . .总结：的方向表示数量场在分三元沿此方向的方向导数达到最大；的根长就是这个最大的方向导数。 数学分析3教案复习思考题、作业题：17.3 1, 3, 7下次课预习要点泰勒公式与极值问题实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日数学分析3教案 授课时间 2006.10.19 第 11 次课 授课章节第十七章第四节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和
6、主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版 吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1) 掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义(2) 掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明教学重点，难点：重点：二元函数的高阶偏导数与泰勒公式难点：二元函数的泰勒公式教学内容：一、高阶偏导数: 类似于一元函数的高阶导数，可以定义高阶偏导数。就二元函数而论，如果的两个偏导数, 都存在，它们就是关于的
7、二元函数。还可以讨论它们关于的偏导数，如果它们关于的偏导数存在，或者关于的偏导数存在，就称这些偏导数是二阶偏导数。如此以来, 二元函数的二阶偏导数就有四种情形:.类似的可定义更高阶的偏导数.例1 求二阶偏导数和 . 例2 . 求二阶偏导数. 注 混合偏导数由于求导次序的不同, 可能会不同. 数学分析3教案例3 求函数 在原点的二阶偏导数.但在满足一定条件下, 混合偏导数与求导次序无关.定理17.7 设二元函数的两个混合偏导数，在(，)连续，则有 (,)= (,).复合函数的高阶偏导数一定注意中间变量仍然是自变量的函数, 因变量仍然是中间变量的函数.例4 . 求 和 . 利用变量变换和高阶偏导数
8、可以验证或化简偏微分方程: 例5 . 证明 + . ( Laplace 方程 )例6 试确定 和 , 利用线性变换 将方程 化为 .解 , . = + + + = +2 + .= + + + = + + .= + + .因此 , + ( + .令 , 或 数学分析3教案或 , 此时方程 化简为 .二、中值定理：定理 设二元函数在凸区域D上连续 , 在D的所有内点处可微 . 则对D内任意两点D , 存在, 使 .证: 令然后利用一元函数的中值定理.推论 若函数在区域D上存在偏导数 , 且, 则是D上的常值函数.三、 Taylor公式:定理 (Taylor公式) 若函数在点的某邻域内有直到阶连续偏
9、导数 , 则对内任一点,存在相应的, 使 证 略 例1 求函数在点的Taylor公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算 数学分析3教案复习思考题、作业题：1 (2)(3)(6)(7), 3, 7 (1)(4)下次课预习要点多元函数的极值实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日数学分析3教案 授课时间 2006.10.24 第 12 次课 授课章节第十七章第四节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001
10、年版 吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1) 能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值(2) 掌握二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明教学重点，难点：重点：二元函数的极值的必要条件与充分条件难点：判别二元函数的极值问题教学内容： 一 极值（一）、极值的定义: 注意(1) 只在内点定义极值, (2) 极值是局部概念.（二）、极值的必要条件：与一元函数比较 .定理 设为函数的极值点
11、. 则当和存在时 , 有=. 极值的候选点：函数的稳定点、不可导点 。（三）、极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 . 其矩阵为 .1 是正定的, 顺序主子式全, 数学分析3教案是半正定的, 顺序主子式全 ;2 是负定的, , 其中为阶顺序主子式. 是半负定的, .3 0时, 是不定的.充分条件的讨论 设函数在点某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor公式 , 有 + + .令 , , , 则当为驻点时, 有. 其中.可见式的符号由二次型完全决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse矩阵. 于是由上述代数准备, 有1 , 为 ( 严格 ) 极小值点 ; 2 , 为 ( 严格 ) 极大值点 ; 3 时, 不是极值点; 4 时, 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .综上 , 有以下定理 :定理 设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数 , 是驻点 . 则1 时 , 为极小值点;2 时 , 为极大值点;3 时 , 不是极值点;4 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 数学分析3教案例1 求的极值.例
