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1、1算法分析与设计算法分析与设计刘刘 伟伟 (Sunny)E-mail: Tel: 2主要内容介绍主要内容介绍第1章算法引论第2章递归与分治策略第3章动态规划第4章贪心算法第5章回溯法第6章分支限界法3参考教材参考教材4算法无处不在算法无处不在(1) 从学校去火车站走哪条线路所需时间最少？(2) 如何判断两个人是父子关系（DNA测序）？(3) 如何让一个体积有限的背包中物品的价值最大？(4) 如何规划可以让一个省的每个城市之间都有高速公路连通但总长度最小？(5) 一张中国地图，对每个省进行着色，最少要几种颜色才能保证相邻的两个省颜色不同？5第第1 1章章 算法引论算法引论1.1 算法与程序1.2
2、 表达算法的抽象机制1.3 描述算法1.4 算法复杂性分析本章主要知识点：61.1 算法与程序算法与程序输输 入入：有零个或多个外部量作为算法的输入。 输输 出出：算法产生至少一个量作为输出。 确定性确定性：组成算法的每条指令清晰、无歧义。 有限性有限性：算法中每条指令的执行次数有限，执行每条指令的时间也有限。是算法用某种程序设计语言的具体实现算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)即有限性有限性。 是满足下述性质的指令序列满足下述性质的指令序列。算法：程序：71.从机器语言到高级语言的抽象1.2 表达算法的抽象机制表达算法的抽象机制高级程序设计语言高级程序设计语言的
3、主要好处是：（4）把繁杂琐碎的事务交给编译程序，所以自动化程度高，开发周期短，程序员可以集中时间和精力从事更重要的创造性劳动，提高程序质量。（1）高级语言更接近算法语言，易学、易掌握，一般工程技术人员只需 要几周时间的培训就可以胜任程序员的工作；（2）高级语言为程序员提供了结构化程序设计的环境和工具，使得设计出来的程序可读性好，可维护性强，可靠性高；（3）高级语言不依赖于机器语言，与具体的计算机硬件关系不大，因而所写出来的程序可植性好、重用率高；82.抽象数据类型1.2 表达算法的抽象机制表达算法的抽象机制 抽象数据类型(ADT)是算法的一个数据模型连同定义在该模型上算法的一个数据模型连同定义
4、在该模型上并作为算法构件的一组运算并作为算法构件的一组运算。 抽象数据类型抽象数据类型带给算法设计的好处有： （1）算法顶层设计与底层实现分离；（2）算法设计与数据结构设计隔开，允许数据结构自由选择；（3）数据模型和该模型上的运算统一在ADT中，便于空间和时间耗费的折衷；（4）用抽象数据类型表述的算法具有很好的可维护性；（5）算法自然呈现模块化；（6）为自顶向下逐步求精和模块化提供有效途径和工具；（7）算法结构清晰，层次分明，便于算法正确性的证明和复杂性的分析。 92.抽象数据类型1.2 表达算法的抽象机制表达算法的抽象机制抽象数据类型描述： ADT 抽象数据类型名 数据对象： 数据关系： 基
5、本操作：ADT 抽象数据类型名实例：实例：线性表线性表ADT List 数据对象: D=ai | ai(-ElemSet, i=1,2,.,n, n=0 数据关系: R1=| ai-1, ai(- D, i=2,.,n 基本操作： InitList(&L) DestroyList(&L) ListInsert(&L,i,e) ListDelete(&L,i,&e)ADT List103.伪代码1.2 表达算法的抽象机制表达算法的抽象机制输入3个数，打印输出其中最大的数。Begin（算法开始） 输入 A，B，C IF AB 则 AMax 否则 BMax IF CMax 则 CMax Print
6、MaxEnd （算法结束）114. 程序流程图1.2 表达算法的抽象机制表达算法的抽象机制12在本课程中，采用Java语言描述算法。1.Java程序结构程序结构 1.3 描述算法描述算法（1）Java程序的两种类型：应用程序和applet区别：应用程序的主方法为main，其可在命令行中用命令语句 java 应用程序名 来执行（2）包：Java程序和类可以包(packages)的形式组织管理。 （3）import语句：在Java程序中可用import语句加载所需的包。例如，import java.io.*;语句加载java.io包。 131.3 描述算法描述算法2.Java数据类型数据类型数据类
7、型 基本数据类型：详见下页表1-1 非基本数据类型：如 Byte, Integer, Boolean, String等。 Java对两种数据类型的不同处理方式： 对基本数据类型：在声明一个具有基本数据类型的变量时，自动建立该数据类型的对象（或称实例）。如:int k;对非基本数据类型：语句 String s; 并不建立具有数据类型String的对象，而是建立一个类型String的引用对象，数据类型为String的对象可用下面的new语句建立。 s = new String(“Welcome”);String s = new String(“Welcome”);141.3 描述算法描述算法表表1
8、-1 Java基本数据类型基本数据类型类型类型缺省值缺省值分配空间（分配空间（bitsbits）取值范围取值范围booleanfalse1true,falsebyte08-128,127charu000016u0000,uFFFFdouble0.0644.9*10-324 1.8*10308float0.0321.4*10-45 3.4*1038int032-2147483648,2147483647long0649.2*1017short016-32768,32767151.3 描述算法描述算法3.方法方法在Java中，执行特定任务的函数或过程统称为方法(methods) 。例如，Java的
9、Math类类给出的常见数学计算的方法如下表所示：方法方法功能功能方法方法功能功能abs(x)x的绝对值max(x,y)x和y中较大者ceil(x)不小于x的最小整数min(x,y)x和y中较小者cos(x)x的余弦pow(x,y)xyexp(x)exsin(x)x的正弦floor(x)不大于x的最大整数sqrt(x)x的平方根log(x)x的自然对数tan(x)x的正切161.3 描述算法描述算法3.方法方法 计算表达式 值的自定义方法ab描述如下： public static int ab(int a, int b) return (a+b+Math.abs(a-b)/2; （1）方法参数：
10、Java中所有方法的参数均为值参数。上述方法ab中，a和b是形式参数（形参）形式参数（形参），在调用方法时通过实际参数（实参）实际参数（实参）赋值。 （2）方法重载：Java允许方法重载，即允许定义有不同签名的同名方法允许定义有不同签名的同名方法。上述方法ab可重载为： public static double ab(double a, double b) return (a+b+Math.abs(a-b)/2.0; 171.3 描述算法描述算法4.异常异常 Java的异常提供了一种处理错误的方法。当程序发现一个错误，就引发一个异常，以便在合适地方捕获异常并进行处理。 通常用try块来定义异常
11、处理。每个异常处理由一个catch语句组成。 public static void main(String args) try f ( ); catch (exception1) 异常处理; catch (exception2) 异常处理; finally finally块; 181.3 描述算法描述算法5.Java的类的类(4)访问修饰访问修饰公有(public) 私有(private)保护(protected) Java的类一般由4个部分组成：(1)类名类名(2)数据成员数据成员(3)方法方法191.3 描述算法描述算法6.通用方法通用方法 下面的方法swap用于交换一维整型数组a的位置i
12、和位置j处的值。 public static void swap(int a, int i, int j) int temp = ai; ai = aj; aj = temp; public static void swap(Object a, int i, int j) object temp = ai; ai = aj; aj = temp; 该方法只适用于该方法只适用于整型数组整型数组该方法具有通用性，适用该方法具有通用性，适用于于Object类型及其所有子类型及其所有子类类 以上方法修改如下：以上方法修改如下：201.3描述算法描述算法6.通用方法通用方法 （1）Computable接
13、口接口 public static Computable sum(Computable a, int n) if (a.length = 0) return null; Computable sum = (Computable) a0.zero(); for (int i = 0; i n; i+) sum.increment(ai); return sum;利用此接口使利用此接口使方法方法sum()通用化通用化 211.3 描述算法描述算法6.通用方法通用方法 （2）接口）接口 Java的Comparable接口中惟一的方法头compareTo()用于比较2个元素的大小。例如java.lan
14、g.CpareTo(y)返回x-y的符号，当xy时返回正数。（3）Operable接口接口 有些通用方法同时需要Computable接口和Comparable 接口的支持。为此可定义Operable接口如下:public interface Operable extends Computable, Comparable （4）自定义包装类）自定义包装类 由于Java的包装类如Integer等已定义为final型，因此无法定义其子类，作进一步扩充。为了需要可自定义包装类。 221.3 描述算法描述算法7.垃圾收集垃圾收集8.递归 Java的new运算用于分配所需的内存空间。例如， int a =
15、 new int500000; 分配2000000字节空间给整型数组a。频繁使用new分配空间可能会耗尽内存。Java的垃垃圾收集器圾收集器会适时扫描内存，回收不用的空间（垃圾）给new重新分配。 Java允许方法调用其自身，这类方法称为递归方法递归方法。public static int sum(int a, int n) if (n=0) return 0; else return an-1+sum(a,n-1); 计算一维整型数组前计算一维整型数组前n个个元素之和的递归方法元素之和的递归方法 231.4 算法复杂性分析算法复杂性分析 算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，需要时间资
16、源的量称为时间复杂性时间复杂性，需要的空间资源的量称为空间复杂性空间复杂性。这个量应该只依赖于算法要解的问题的规模、算法的输入和算法本身的函数。如果分别用N、I和A表示算法要解问题的规模、算法的输入和算法本身，而且用C表示复杂性，那么，应该有C=F(N,I,A)。一般把时间复杂性和空间复杂性分开，并分别用T和S来表示，则有： T=T(N,I)和S=S(N,I) 。（通常，让A隐含在复杂性函数名当中） 241.4 算法复杂性分析算法复杂性分析最坏情况最坏情况下的时间复杂性：最好情况最好情况下的时间复杂性：平均情况平均情况下的时间复杂性： 其中DN是规模为N的合法输入的集合；I*是DN中使T(N,
17、 I*)达到Tmax(N)的合法输入； 是中使T(N, )达到Tmin(N)的合法输入；而P(I)是在算法的应用中出现输入I的概率。251.4 算法复杂性分析算法复杂性分析算法复杂性在渐近意义下的阶：渐近意义下的记号：O、o 设f(N)和g(N)是定义在正数集上的正函数。 O的定义的定义：如果存在正的常数C和自然数N0，使得当NN0时有f(N) Cg(N)，则称函数f(N)当N充分大时上有界，且g(N)是它的一个上界，记为f(N)=O(g(N)。即f(N)的阶不高于的阶不高于g(N)的阶的阶。 根据O的定义，容易证明它有如下运算规则： (1)O(f)+O(g)=O(max(f,g)； (2)O
18、(f)+O(g)=O(f+g)； (3)O(f)O(g)=O(fg)； (4)如果g(N)=O(f(N)，则O(f)+O(g)=O(f)； (5)O(Cf(N)=O(f(N)，其中C是一个正的常数； (6)f=O(f)。 261.4 算法复杂性分析算法复杂性分析 的定义的定义：如果存在正的常数C和自然数N0，使得当NN0时有f(N) Cg(N)，则称函数f(N)当N充分大时下有界，且g(N)是它的一个下界，记为f(N)=(g(N)。即f(N)的阶不低于的阶不低于g(N)的阶的阶。 的定义的定义：定义f(N)= (g(N)当且仅当f(N)=O(g(N)且f(N)= (g(N)。此时称f(N)与与g(N)同阶同阶。 o的定义的定义：对于任意给定的0，都存在正整数N0，使得当NN0时有f(N)/Cg(N) ,则称函数函数f(N)当当N充分大时的阶比充分大时的阶比g(N)低低，记为f(N)=o(g(N)。 例如，4NlogN+7=o(3N2+4NlogN+7)。 271.4 算法复杂性分析算法复杂性分析思考：思考：求下列函数的渐进表达式(1) 5n2 + 10n(2) n + n logn2(3) n2/100 + 3n(4) 20 log3n(5) 1/n2 + 1(6) logn5 + n1/228The End
