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1、 高二数学高二数学 参考答案参考答案 第第 1 页（共页（共 8 页）页） 2020 年嘉兴市高三教学测试年嘉兴市高三教学测试 高高三三数学数学 参考答案参考答案 （2020.9） 一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1D； 2B； 3A； 4C； 5D； 6C； 7B； 8A； 9D； 10C 10提示提示 显然显然0a ，否则，否则0 x ea，于是，于是 10 x fxeatax，即即10tax ，这与这与 不等式的解集为不等式的解集为R矛盾矛盾. .又易知又易知0a 时， 不等式时， 不等式 0fx 恒成立恒成立.
2、 .于是仅需再分析于是仅需再分析0a 的的 情 形 。 易 知情 形 。 易 知0t ， 由， 由 10 x fxeatax知知lnxa 或或 1 x ta ， 所 以， 所 以 11 lnlnaaa tat . .所以原问题等价于关于所以原问题等价于关于a的方程的方程 1 lnaa t 有两解，进而由函数有两解，进而由函数 图像易知图像易知te . . 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分）分） 11 3 2 ； 10 2 122； , 20,2 130；32 143；1 154 16 1
3、3,00,13 17 2 7 7 17.提示：提示： 22 412 cos12 cos4axbaxbxxxx，变形得，变形得 22 12 cos412 cosxxxx，两边平方得，两边平方得 2 2 12 cos4cosxxx， 再两边平方得再两边平方得 2 2 127 24cos x ，所以，所以 2 7 cos 7 . . 高二数学高二数学 参考答案参考答案 第第 2 页（共页（共 8 页）页） 三、解答题三、解答题 18（本题满分（本题满分 14 分）分） 在在ABC 中，角中，角,A B C所对的边分别是所对的边分别是, ,a b c. .已知已知2 sin5 cosbAaB . .
4、（1）求）求cosB的值的值； （2）若）若3 ,2ac b，求，求c的值的值. . 解： （解： （1）由）由 sinsin ab AB 得得 sin sin aA bB ,所以所以2 sin5 cosbAaB 2sinsin5sincosBAAB，即，即2sin5cosBB ，又又 22 sincos1BB，解得，解得 2 cos 3 B . . （2）由余弦定理得由余弦定理得 222 2cosbacacB，即，即 2 2 10232 3 ccc ，解得，解得 2 62c ，即即 3 3 c . . 19（本题满分（本题满分 15 分）分） 如图，四棱锥如图，四棱锥ABCDE 中，中，AB
5、C 为等边三角形，为等边三角形，CD 平面平面ABC，BECD且且 22ACCDBE，F为为AD中点中点. （1）求证：）求证：EF平面平面ABC； （2）求直线）求直线BC与平面与平面AED所成角的正弦值所成角的正弦值. . 19. 解（解（1）延长）延长DE交交CB的延长线于的延长线于G，连接，连接AG. .因为因为BE CD且且2CDBE ，所以，所以E为为DG中点中点. .又又F为为AD中点，所中点，所 以以EFAG. .又又EF 平面平面ABC，AG 平面平面ABC，于是，于是 EF平面平面ABC； （2）方法一：由）方法一：由 1 2 ABCG 且且B为为CG中点知中点知AGAC
6、. .因因 为为CD 平面平面ABC，且，且AG 平面平面ABC，所以，所以AGCD ，又，又 CDACC ，于是，于是AG 平面平面ACD. .由由AG 平面平面ABC得得 平面平面AGD 平面平面ACD. .连接连接CF，显然，显然CFAD ，因为平面，因为平面AGD平面平面ACDAD ， 所以所以CF 平面平面AGD. .连接连接GF，所以，所以CGF 即为直线即为直线BC与平面与平面AED的所成角的所成角. .由由 C B E A F D G (第第 19 题题) 高二数学高二数学 参考答案参考答案 第第 3 页（共页（共 8 页）页） 2BC ，则，则2CF ，所以在，所以在Rt C
7、FG 中，中， 2 sin 4 CF CGF CG . . 方法二：方法二：取取AC的中点的中点O，连接，连接OF.由由OFCD及及CD 平面平面ABC得得OF 平面平面ABC. .如图建立空间坐标系如图建立空间坐标系 Oxyz ,易得易得 0, 1,0A ， 3,0,1E， 0,1,2D 于是于是 3,1,1AE ， 0,2,2AD ，设平面设平面AED的一个的一个 法向量法向量 , ,nx y z ，于是，于是 30 220 n AExyz n ADyz ，令，令1y ，解得，解得1z ，0 x 所以所以 0,1, 1n . .又又 3,1,0BC ，设直线，设直线BC与平面与平面 AED
8、的所成角的大小为的所成角的大小为 ，所以，所以 12 sin 4 22 n BC n BC . . 20（本题满（本题满分分 15 分）分） 已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，2 nn San， * nN . . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）令）令2 nn bna ，求数列，求数列 n b的前的前n项和项和 n T. . 20.解： （解： （1）当）当1n 时，时， 11 21Sa，得，得 1 1a 当当2n 时，时， 11 2 21 nn nn San San ，相减得，相减得 1 21 nn aa ，变形得，变形得 1 121 nn
9、aa ， 又又 1 12a ，12n n a，即，即21 n n a （2） 1 222122 nn nn bnannn ，于是，于是 231 12 1 222 2422 n nn Tbbbnn 231 1 22 222 12 n n Tnn ，令令 231 1 22 22n n An 即即 1 nn TAn n. . G C B E A F D O (第第 19 题题) y x z 高二数学高二数学 参考答案参考答案 第第 4 页（共页（共 8 页）页） 231 1 22 2122 nn n Ann 3412 21 22 2122 nn n Ann -得得 23122 4 12 22222
10、12 n nnn n Ann 222 422124 nnn nn 2 124 n n An 22 124 n n Tnnn . . 21（本题满分（本题满分 15 分）分） 如图，已知抛物线如图，已知抛物线 2 1: 20Cxmy m， 2 2: 20Cynx n的焦点分别为的焦点分别为 12 ,F F，且，且 41mn . . （1）当）当 12 F F最短时，求直线最短时，求直线 12 F F的方程；的方程； （2） 设抛物线） 设抛物线 12 ,C C异于原点的交点为异于原点的交点为Q， 过， 过 点点Q作直线作直线AB， 分别交， 分别交 12 ,C C于于A，B两点，两点， 其中直线
11、其中直线AB的斜率的斜率0k ， 且， 且点点Q为线段为线段AB 的中点的中点. .当当AB最短时，求抛物线最短时，求抛物线 12 ,C C的方的方 程程. . 21. . （1） 解：解： 22 22 1212 44 mn F FOFOF 12 24 mn，等号当且仅当，等号当且仅当 1 2 mn时成立时成立. .此时此时 12 F F的方程为的方程为4410 xy. . （2）方法一：设）方法一：设 00 ,Q xy，则，则 2 00 2 00 2 2 xmy ynx ，解得解得 0 0 1 y x . .进一步进一步 3 0 3 0 2 1 2 mx n x ，于是，于是 23 10 :
12、Cxx y ， 2 2 3 0 1 :Cyx x . .设设 0 0 1 :AQyk xx x ，联立，联立 23 10 :Cxx y 得得 2342 000 0 xkx xkxx，于是，于是 3 00A xxkx， 42 000A xxkxx，解得，解得 3 00A xkxx. . F2 F1 B Q A O x （第（第 21 题）题） y 高二数学高二数学 参考答案参考答案 第第 5 页（共页（共 8 页）页） 0 0 11 :BQ xxy kx ，联立，联立 2 2 3 0 1 :Cyx x 得得 2 342 000 111 0yy x kkxx ，于是，于是 3 00 11 B y
13、xkx ， 42 000 111 B y xkxx ，解得，解得 3 00 11 B y xkx ， 0 23 00 12 B xx kxk x . . 所以所以 3 00 23 00 12 2 AB xxkxx kxk x ，整理得，整理得 2 20 00 23 0 12 2 kx xkx k x ，即，即 22436 000 122kxk xk x. .令令 2 0 0ukx， 换元换元得得 322 2211310uuuuuu， 所以所以1u ，于是，于是 2 0 1kx . . 又又 2232 00000 42 00 11 1121333 2 A AQkxxkxkxxx xx ，当且仅，
14、当且仅 当当 2 0 1x 时等号成立时等号成立. .所以所以221mn，此时此时 2 1: Cxy ， 2 2: Cyx . . 方法二：设方法二：设 00 ,Q xy，则，则 2 00 2 00 2 2 xmy ynx ，解得解得 0 0 1 y x ，进一步进一步得得 3 0 3 0 2 1 2 mx n x ，于是，于是 23 10 :Cxx y ， 2 2 3 0 1 :Cyx x . .由由 AQBQ kk 知知 0 0 2 1 2 A B xxn m y x ，即，即 0 0 1 41 AB xxymn x . .又又 2 3 0000 2221 2 ABQBAA yyyyyx xxxx . . 所以所以 2 0 3 00 31 1 AA xxx xx ，整理得，整理得 32 32 000 113 20 AAA xxx xxx .令令 0 1 A x u x ，则，则 322 32210uuuuuu， 解得， 解得2u 或或 15 2 u （舍） 或（舍） 或 15 2 u （舍）（舍） . . 于是于是 0 2 A xx ， 0 2 0 1 2 A AQ xx k mx . . 所以所以 22 000 42 00 11 11333 2 A AQkxxxx xx ，当且仅当，当且仅当 0 1x 时
