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1、【精品】高一数学 2.3函数的单调性(备课资料) 大纲人教版必修备课资料一、函数单调性的判定方法1定义法,即“作差变形定号判断”四个步骤。2图象法,即若f(x)在区间D上是增(减)函数,则图象在D上的部分从左到右是上升(下降)的。3直接法,运用已知结论:函数y=f(x)与函数y=f(x)的单调性相反。当f(x)恒为正或司为负时,函数y=与y=f(x)的单调性相反。在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数一减函数=增函数等。二、参考例题例1求证:函数y=x+在1,0)或(0,1上是单调递减函数,在(,1)或(1,+)上是单调递增函数。证明:(1)当1x1x20时,有0x1x21且x2-x10
2、,10.f(x2)-f(x1)0.f(x1)f(x2).f(x)在1,0)上是单调递减函数。(2)当0x1x21时,有0x1x21,x2-x10,1-0.f(x2)-f(x1)0,即f(x1)f(x2).f(x)在(0,1上是单调递减函数。(3)当x1x2-1时,有x1x21,且x2-x10.0.f(x2)-f(x1)0.f(x2)f(x1).f(x)在(,1)上是单调递增函数。(4)当1x1x2时,有x1x21,1-0.又x2-x10.f(x2)-f(x1)0.f(x2)f(x1).f(x)在(1,+)上是单调递增函数。例2判断函数f(x)=(-1x1)的单调性。解:设1x1x21,则f(x
3、1)-f(x2)=x1x2+10,x2-x10,x12-10,x22-10,f(x)在定义域区间(1,1)上,当a0时,f(x)为减函数;当a0时,f(x)为增函数;当a=0时,f(x)为常数函数。备课资料参考例题例1求函数y=的单调递增区间。解:由函数的定义域可知x-1,5.又函数y=是由u=g(x)=-x2+4x+5及y=f(u)=复合而成的复合函数。u=g(x)=-x2+4x+5在-1,2上是增函数,在2,5上是减函数,而y=f(u)=在0,+上是增函数,函数y=的单调递增区间是-1,2。例2若函数y=f(x)在R上是减函数,求y=f(|1-x|)的单调递增区间。解:设u=|1-x|=|
4、x-1|,由函数u=|x-1|的图象可得,u在(-,1)上是减函数,而函数y=f(x)在R上是减函数,故y=f(|1-x|)的一个单调递增区间是(-,-1)。备课资料一、函数单调性的应用函数的单调性除一些理论上的应用外,它还可以灵活有效地解决我们现实生活中与之相关的实际问题。例题甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度x(km/h)的平方成正比,比例系数为a,固定部分为b元,请问,是不是汽车的行驶速度越快,其全程运输成本越小?如果不是,那么为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶?分析:根据汽车运输成本y
5、元与行驶速度xkm/h之间的关系,建立函数模型,结合函数式的特点,运用函数有关知识去解决。解:设汽车运输成本为y元,依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为:y=b.y=s(ax+)(其中x(0,+). 即将此时的问题转化成:“函数y=s(ax+)是否随着x的不断增大而减小?当x取何值时,y取最小值?”下面讨论函数y=s(ax+)x(0,+),a0,b0在其定义域内的单调性。设x1,x2(0,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=s(ax1+)-(ax2+)=sa(x1-x2)+ =x1,x20,且x1x2x1x20,a(x1-x2)0当x1,x2(0,时,x1x2,x1x2-
6、0,f(x1)f(x2),当x1,x2,+)时,x1x2,x1x2-0,f(x1)f(x2).综上所述,我们看到函数y=s(ax+)(a0,b0)并不是整个区间(0,+)上是随着x的不断增大而减小的,而且由上述分析可看出当x=时,y取得最小值即ymin=2s.那么,在这个实际问题当中可回答为:并不是汽车的行驶速度越快,其全程运输成本越小;并且为了使全程运输成本最小,汽车应以x=km/h的速度行驶。评述:(1)以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力,可见“逐步增强函数的应用意识”应及早实现。(2)对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成,可见从不同角度不同方向去思考问题在教学
7、中尤为重要,并且应指导学生养成多分析失败原因,多总结成功经验的好习惯。二、参考练习题1.判断下列函数的增减性(1)yx1答案:在xR上是单调递增函数(2)yx答案:在x(,0)上是单调递减函数在x0,)上是单调递增函数(3)yx22x答案:在x(,1上是单调递增函数在x1,)上是单调递减函数(4)y(k0)答案:当k0时,函数y在(,0)上是单调递减函数,在(0,)上也是单调递减函数当k0时,函数y在(,0)上是单调递增函数,在(0,)上也是单调递增函数2.选择题(1)已知函数f(x)在R上是增函数,若ab0,则有( )A.f(a)f(b)f(a)f(b)B.f(a)f(b)f(a)f(b)C.f(a)f(a)f(b)f(b)D.f(a)f(a)f(b)f(b)(2)已知定义域为R的函数f(x)在区间(,5)上单调递减,对任意实数t,都有f(5t)f(5t),那么下列式子成立的是( )A.f(1)f(9)f(13)B.f(13)f(9)f(1)C.f(9)f(1)f(13)D.f(13)f(1)f(9)(3)已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,1),B(3,1)是其图象上两点,那么f(x1)1的解集的补集是( )A.(1,2) B.(1,4)C.(,14, D .(,12,)答案:(1)A (2)C (3)D4 / 4