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1、【精品】高一数学 2.3函数的单调性（备课资料） 大纲人教版必修备课资料一、函数单调性的判定方法1定义法，即“作差变形定号判断”四个步骤。2图象法，即若f(x)在区间D上是增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是上升（下降）的。3直接法，运用已知结论：函数y=f(x)与函数y=f(x)的单调性相反。当f(x)恒为正或司为负时，函数y=与y=f(x)的单调性相反。在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数一减函数=增函数等。二、参考例题例1求证：函数y=x+在1，0）或（0，1上是单调递减函数，在（，1）或（1，+）上是单调递增函数。证明：（1）当1x1x20时，有0x1x21且x2-x10
2、,10.f(x2)-f(x1)0.f(x1)f(x2).f(x)在1，0）上是单调递减函数。（2）当0x1x21时，有0x1x21，x2-x10,1-0.f(x2)-f(x1)0,即f(x1)f(x2).f(x)在(0,1上是单调递减函数。（3）当x1x2-1时，有x1x21,且x2-x10.0.f(x2)-f(x1)0.f(x2)f(x1).f(x)在（,1）上是单调递增函数。（4）当1x1x2时，有x1x21,1-0.又x2-x10.f(x2)-f(x1)0.f(x2)f(x1).f(x)在（1，+）上是单调递增函数。例2判断函数f(x)=(-1x1)的单调性。解：设1x1x21,则f(x
3、1)-f(x2)=x1x2+10,x2-x10,x12-10,x22-10,f(x)在定义域区间（1，1）上，当a0时，f(x)为减函数；当a0时，f(x)为增函数；当a=0时，f(x)为常数函数。备课资料参考例题例1求函数y=的单调递增区间。解：由函数的定义域可知x-1,5.又函数y=是由u=g(x)=-x2+4x+5及y=f(u)=复合而成的复合函数。u=g(x)=-x2+4x+5在-1，2上是增函数，在2，5上是减函数，而y=f(u)=在0，+上是增函数，函数y=的单调递增区间是-1，2。例2若函数y=f(x)在R上是减函数，求y=f(|1-x|)的单调递增区间。解：设u=|1-x|=|
4、x-1|,由函数u=|x-1|的图象可得，u在（-，1）上是减函数，而函数y=f(x)在R上是减函数，故y=f(|1-x|)的一个单调递增区间是（-，-1）。备课资料一、函数单调性的应用函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决我们现实生活中与之相关的实际问题。例题甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x(km/h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？分析：根据汽车运输成本y
5、元与行驶速度xkm/h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决。解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：y=b.y=s(ax+)(其中x(0,+). 即将此时的问题转化成：“函数y=s(ax+)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y取最小值？”下面讨论函数y=s(ax+)x(0,+),a0,b0在其定义域内的单调性。设x1，x2(0,+)，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=s(ax1+)-(ax2+)=sa(x1-x2)+ =x1，x20，且x1x2x1x20，a(x1-x2)0当x1，x2(0,时，x1x2，x1x2-
6、0，f(x1)f(x2)，当x1，x2，+)时，x1x2，x1x2-0，f(x1)f(x2).综上所述，我们看到函数y=s(ax+)(a0，b0)并不是整个区间（0，+）上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x=时，y取得最小值即ymin=2s.那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x=km/h的速度行驶。评述：（1）以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力，可见“逐步增强函数的应用意识”应及早实现。（2）对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成，可见从不同角度不同方向去思考问题在教学
7、中尤为重要，并且应指导学生养成多分析失败原因，多总结成功经验的好习惯。二、参考练习题1.判断下列函数的增减性(1)yx1答案：在xR上是单调递增函数(2)yx答案：在x（，0）上是单调递减函数在x0，）上是单调递增函数(3)yx22x答案：在x（，1上是单调递增函数在x1，）上是单调递减函数(4)y（k0）答案：当k0时，函数y在（，0）上是单调递减函数，在（0，）上也是单调递减函数当k0时，函数y在（，0）上是单调递增函数，在（0，）上也是单调递增函数2.选择题(1)已知函数f（x）在R上是增函数，若ab0，则有（ ）A.f（a）f（b）f（a）f（b）B.f（a）f（b）f（a）f（b）C.f（a）f（a）f（b）f（b）D.f（a）f（a）f（b）f（b）(2)已知定义域为R的函数f(x)在区间（，5）上单调递减，对任意实数t，都有f（5t）f（5t），那么下列式子成立的是（ ）A.f（1）f（9）f（13）B.f（13）f（9）f（1）C.f（9）f（1）f（13）D.f（13）f（1）f（9）(3)已知函数f(x)是R上的增函数,A（0，1）,B（3，1）是其图象上两点,那么f（x1）1的解集的补集是（ ）A.（1，2） B.（1，4）C.（，14， D .（，12，)答案：(1)A (2)C (3)D4 / 4
