《§4 一题多解 物理.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§4 一题多解 物理.doc（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4一题多解一般的物理现象不是孤立的，描述现象的方法也不是单一的。物理现象的变化一般都存在规律性，而这些规律之间也往往是相互联系的。因此，寻求主某物理量间的相互关系。方法也是多种多样的，即同一道题，可以有几种不同的解法，俗称一题多解。一题多解，能大大地培养分析问题的能力与运用数理知识解决问题的能力。一题多解，一般可以分为两类：1、 运用有关物理规律之间的内在联系，采用不同的方法解题；2、 运用各种不同的数学工具解题。当然这样划分也不是绝对的。例1 试证：竖直上抛运动中，物体在上升过程中通过某一位置的速度和下落过程中通过这一位置的速度大小总是相等，方向相反。解法一用位移相等法解（图141）设A点为
2、上抛的初始位置，B点为上抛过程中的某一位置。根据位移的定义，上抛与下落到同一点B的位移必相等，即。设为上抛到B点的速度，则：式中为下落到B点时的速度。因为，所以，得，即上抛到B点时的速度与下落到B点时的速度大小相等方向相反。解法二利用上抛的最大高度的公式来解：上抛到B点时的速度。到B点时的速度：由以上两式得，得，即为所证。解法三利用上抛到最大高度所无原则的时间的公式来解（图143）：设上抛到B点所无原则的时间为t，则下落到B点的速度为，那么上抛到B点时的速度，下浇到B点时的速度，所以，而方向相反。解法四利用机械能守恒定律：在竖直上抛和下落过程中，物体只受重力作用，机械能守恒。设上抛的初位置A点
3、为零势位，则在A点的机械能。上抛到B点的机械能，到B点时的机械能根据机械能守恒定律有：即：得，得，得同样的结果。通过分析比较可知，位移相等法和机械能守恒定律来证明比较方便。例2放在光滑水平面上的弹簧振子的质量为m ,振幅为A，弹性系数为k，求振子运动到O点时的速度（图144）解法一振子从AO运动的过程中弹性势能转化为振子的动能，根据机械能守恒定律有：解法二合外力（弹力）作的功等于振子动能的增量，弹力是变量，可取其平均值由动能定理得，即解得：解法三由动量原理式中而：于是解得：讨论如果从一个匀速运动坐标系来看，上述结果有什么改变呢？设想一列火车以速度V向右作匀速直线运动。从火车上看，小球动能的变化
4、应该为，可见能量的变化大了。弹力作功如何变呢？可见势能也增加了同样多，因此计算的结果对于洞的惯性系而言是一样的。例3质量为m，长为的均匀细棒，可在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置。一质量为的小球，以速度u竖直落在棒的端点，设小球与棒作弹性碰撞后，小球的回跳速度以及棒的角速度各为多少？（图145）解法一用力法解：对小球应用动量原理，取向上为正，得：式中f为细棒缎带小球的反冲力；对细棒应用动量矩原理，有：式中为的反作用力，因为，故得又因碰撞是弹性的，故适用机械能守恒定律，有：解法二利用动量矩守恒与机械能守恒，把小球和棒看成一个系统，小球与棒的碰撞过程中未受冲量矩的作用（因为
5、碰撞时间很短，小球的重力的冲量可忽略）。因此，碰撞前后的总角动量是守恒的，于是得：根据机械能守恒定律得：两式求解，即可求出、。例4一竖直圆筒，下端封闭，下方有一无摩擦不漏气的活塞。把一定质量的空气封在筒内，活塞上贮有水银，恰好与筒口相齐（图146）。已知，这时筒内的空气压强为P0cm水银柱高。现在无原则继续向活塞上缓慢地倒水银，问起始气柱的高度h应满足什么条件，继续倒入少量水银可不溢出。设空气温度不变。解法一当空气柱高为h（以cm为单位）时，如倒入少量的水银不溢出，必须是倒入水银后达平衡时，水银面低于管口或恰好至管口。设倒入少量水银可使水银柱增高(cm)，而平衡时气柱高度减为，则必须：，这时水
6、银柱对气体的压强增加了cm水银柱高，因而由于平衡，空气的压强应为，设圆筒截面积为S，则因质量不变，温度恒定，由玻意耳马略特定律可得：要满足条件，但，且倒入的任意少量的水银，还是h略大于，故必须：解法二设把活塞略压下，使气柱高度减为，此时气柱压强变为（即增加了），再设倒入少量水银，使满至管口，这时水银柱高增加了cm高水银柱。如，则平衡时水银面必将低于或恰齐管口，因而倒入的水银可不溢出。设圆筒的截面积为S，则根据玻意耳马略特定律得：要满足条件，必须，又由于h略大于，故必须解法三题设为水银柱恰满管口而与气柱平衡的情况。假设这时再倒入少量水银而不溢出，则一定是倒入水银后，气柱被压缩而平衡时水银面未满至
7、管口或最多恰满至管口。如未满管口，则可再继续倒入水银。由于管内封有空气，肯定不可能一直倒至管中充满水银（即筒内气体的体积为零）后才开始溢出。因此在继续倒入水银的过程中，最后一定会达到一种情况，也是水银柱恰满管口而与气体平衡，但这时再倒入水银就将溢出。设这时的气柱高度为，由于水银柱满至管口而处于平衡，这时气柱压强应为，根据玻意耳马略特定律得：根据所设，故：这一结果表明：如果题设情况下还能倒入水银而不溢出，则必须有：，即。请读者仿此例作下例：文章的容积为100，大气压强为77cm Hg，那么当气温从升高到时，空气的质量减少了多少？（答：6.22kg）你能用多少种方法求出空气质量的变化？例5图147
8、所示为两个等压过程和两个等容过程组成的循环，对于具有一定的摩尔热容和的任意工作物质来说，对角点温度之积相等，即，试证之。证法一等压过程中，即：即证法二等压过程方程的微分形式为：等式两边同除以T，并积分，即：等容过程的微分形式为等式两边同除以T，并积分：因为这一循环过程是可逆的，因而，即：证毕。例6某谐振子的运动方程为，设时，求每一间隔相对应的的值。解法一用数值解法：由于是一个很小的量，故任何时刻t对应的x、为已知，则对于时的、可很好地近似为：式（2）是纯运动学公式，因为它表明由于的存在所造成的的变化；式（3）则是动力学公式，因为它反映了加速度和力之产的关系。要提高数值解法的精确度，可以缩小间隔
9、，也可以在不改变的情况下利用插值来降低误差，即：通过这些公式的计算，即可得到各时刻的x、现将计算结果列于表1。表1的解间隔txvxax0.10.100.200.300.400.500.600.700.800.901.001.101.201.301.401.501.600.0000.9950.9800.9550.9210.8770.8250.7640.6960.6210.5400.4530.3620.2670.1690.070-0.301.000-0.050-0.150-0.248-0.343-0.435-0.523-0.605-0.682-0.751-0.814-0.868-0.913-0.9
10、49-0.976-0.993-1.000-1.000-0.995-0.980-9.55-0.921-0.877-0.825-0.764-0.696-0.621-0.540-0.453-0.362-0.267-0.169-0.070+0.030解法二积分法求解：得：且则同样可以得解。从这里似乎不能地看出数值解法的优点，但当积分演算复杂时，它的作用就显著了。关系曲线如图148所示。例7钨合金在什么温度下和纯钨在25000K时的辐射率相同？设钨、钨合金的辐射常数分析在时，辐射率为：在时钨合金的辐射率为：此方程有两种解法：解法一图解法：以为横坐标，以画在图149上，得一曲线。由图可知：与相对应的横坐标
11、为。解法二由于辐射率与温度的关系主要决定于，而不是，所以作为第一级近似，可假设：而：第二级近似为：得：第三级近似为：得第四级近似为：得：如作第五级近似仍得因此，当时，钨合金的辐射率与纯钨在时的辐射率一样。例8两欢发电机在并联运行，一起为负载供电。负载电阻。由于某种原因，两台发电机的电动势发生差异，它们的内电阻分别为，求每台发电机中的电流以及它们各自发出的功率。解法一利用基尔霍夫定律求解（图1410）选择B节点，有关支路电流设为、，其方向任意定，由于只有两个节点，只可以列出一个节点电流方程：本题有两个网孔，故有两个独立回路、，根据所选择的循行方向，可列出两个电压方程：回路：回路解方程组得：两台发
12、电机的功率为：可见第二台不仅没有发出功率，还消耗了功率。解法二用叠加原理计算：本题是一个线性电路，因此，每一支路电流可看着几个电流的代数和，其中任一电流是电路中只保留某一电源，而把电路中其他电源的电动势短路（实际电压源只留下内电阻）；电流源只将其中理想电流源开路（实际电流源只留下并联的内阻）时，在该支路中通过的电流。解题时，先把几个电源的线性电路分为几个电路，每电路中只剩下一个电源，其他电源由它的内阻代替，然后求解这几个电路，最后将所得的电流作代数和，即可得解。先将电路分解（图1411），再求解电路中的电流：通过r2的电流：通过RL的电流：通过r2的电流：通过r1的电流通过RL的电流为：于是各
13、支路的总电流为：解法三用戴维南定理求解：（图1412）把、支路以外的所有的电路等效为一个电压源，其电动势和内阻分别为、，根据戴维南定理有：于是得：例9求两个线圈1、2的自感L1、L2和它们的互感M之间的关系。解法一设线圈1中通有电流，因为自感而产生的磁通量为。设如图1413所示，有一根磁力线没有穿过线圈2，穿过线圈2的磁通量为，于是：同理可得：在一般情况下，就有：显然，如果穿过线圈1的磁感应线必然穿过线圈2（如两个共轴的占据相同体积的螺线管），则解法二用能法解：线圈都无电流时，磁场的储能为零。线圈1、2中分别通以电流、时，能量为：令：Q一定是正的，将Q的表示式加以改写：因为：所以，要使Q0，必须满足：解法三令：式中的、是下列方程的解：要使Q0，必须满足：即：例10一质量可以的弹簧将质量分别为、的两板连结起来放在水平面上。问：无原则要用多大的力压在板上，以便当力突然撤消后，跳起来刚能使被提起（图1414）分析这道习题容易感到无从下手。因此有必要先对现象加以物理解释。当力突然撤去后，跳起来刚刚能使被提起。就是说在这种情况下（桌面的支撑力为零），只受向下的重力和向上的弹力，且
