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1、,第十一章 曲线与曲面积分,第一类曲线积分,特点(1)被积函数的定义域是曲线弧.,(2)微元 是平面曲线弧长元素.,(3)空间曲线上的一类曲线积分,对弧长的曲线积分:,(1)公式法:,L的参数方程:,L:,L:,一定,二代,三换元,定,代,换关键在方程。小下限,大上限.,2.第一类曲线积分的计算,步骤:,1.写出L的参数方程,确定参数的范围,2.化为定积分,一定,二代,三换元,定,代,换关键在方程。小下限,大上限.,(2)技巧:对称性简化计算.,例题,第二类曲线积分,1.引例:变力沿平面曲线做功,(2)被积函数的定义域是曲线弧.,特点(1)积分曲线是有向曲线弧.,(3)微元 是有向弧微分 在坐
2、标轴上的投影,(4)变力沿空间曲线做功,一定,二代,三换元,定,代,换关键在方程。下起上终之参.,2.第二类曲线积分的计算,(1)公式法:,有向曲线L的参数方程:,从 到,步骤:,1.写出L的参数方程,确定参数的走向,2.化为定积分,例题,其中L为沿抛物线 从点,到,的一段.,例4 计算,例5 计算 其中 是从 到 的直线段.,(1)格林公式平面闭曲线,第二类曲线积分的重要定理,说明:,(1)格林公式仅计算平面闭曲线的二类曲线积分.,(2) L是D的正向边界曲线沿着边界走,区域在左手.,(3) L必须是封闭的平面曲线.,添边:构成闭区域,具有连续一阶偏导数.,加负号:沿着边界走,区域在右手,记
3、得添负号。,挖洞:含奇点时莫忘挖洞去奇点.,应用:,B,A,定义:,曲线积分与路径无关等价于,条件:,(2)曲线积分与路径无关,利用路径无关计算曲线积分,特点:路径无关,闭曲线,积分为零.,特点:路径无关,非闭曲线,选易积分路线.,第二类曲线积分的计算方法总结,1.公式法:被积函数与积分路径简单.,2.格林公式:平面闭曲线,不易积分,但 简单.,3.路径无关:选择简单路径,积分.,三、二元函数的全微分求积,?,?,第一类曲面积分,“一投,二代,三换,投影,换元看方程”,第一类曲面积分的计算,例12 计算 ,其中 为球面,例13 计算 ,其中 为,例15 计算 ,其中 为球面,步骤:,1.写出曲
4、面的显式表达式,2.将曲面向xoy面投影,3.求出曲面面积元素,4.化为二重积分,“一投,二代,三换,投影,换元看方程”,预备知识:,1.有向曲面的侧,2.有向曲面在坐标面上的投影,第二类曲面积分,用 表示 的反向曲面, 则,第二类曲面积分的计算,一投,二代,三定号,投影,代入看积分,定号要靠曲面侧,理解:在曲面上;曲面面积元素的投影.,特点:曲面具有单值函数表达式,2、化为二重积分,3、计算二重积分,一投,二代,三定号,投影,代入看积分,定号要靠曲面侧,两类曲面积分之间的联系,其中是,旋转抛物面,介于平面 z= 0,之间部分的下侧.,例18 计算,及 z = 2, 的方向取外侧.,或,高斯公式,三度,例22 已知 ,求在 处,