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1、最优控制模型、理论及算法,主讲：刘琼荪,最优控制模型 基本原理 计算问题,主要内容,最优化问题的实质就是利用数学工具在容许控制集中寻找一个最优控制函数或者最优控制方案，使所研究的系统能够最优地达到预期的目标。,最优化问题,静态与动态，离散与连续,最优化问题,病毒的传播模型； 海洋生态平衡模型； 交通流量的控制模型； 导弹运行最佳轨迹。 ,建立数学模型分为三步骤：,最优化问题,（1）需要确定状态变量、控制变量、约束、目标；,（2）对问题具体分析、数学描述和研究；,（3）研究算法，并对算法的收敛性、误差、有效性作出评价。,1）状态方程组,最优控制模型的数学描述,2）容许控制集,3）边界条件与目标集
2、,最优控制模型的数学描述,动力系统的运动过程，就是系统从一个状态转移到另一个状态的过程，在状态空间中其运动轨迹将形成曲线x(t). 边界值：初始状态x(t0), 终端状态x(tf),终端时刻和状态可以是自由的，也可以是给定的。 目标集：,4）目标函数,最优控制模型的数学描述,控制变量用于控制状态的转移过程，效果的好坏取决于u(t)，效果性能指标.,最少燃料、最少时间，最小能耗等控制问题。,4）目标函数,最优控制模型的数学描述,(1)Bolza,(2) Lagrange,能控性和能观测性的概念,1960年卡尔曼最先提出能控性和能观测性的概念。对于一个控制系统，特别是多变量控制系统，必须要回答的两
3、个问题是： （1）能控性：在有限的时间内，控制作用能否使得系统从初始状态转移到要求的状态？ （2）能观测性：在有限的时间内，能否通过对系统的输出的测定来评估系统的初始状态？,山羊放牧系统中的最优控制模型及生态经济效益,实例 1,草原放牧生态系统模型：,放牧总利润：,计算机病毒传播的最优控制模型,实例 2,计算机应用研究J,28(8),2011,状态转移因子,计算机病毒传播的最优控制模型,实例 2,状态方程组：,状态随时间的变化率,机理分析,计算机病毒传播的最优控制模型,实例 2,控制集：,目标泛函：,初始条件：,感染数量,系统消耗,min,路径选择的交通流量的最优控制模型,实例 3,城市机动车
4、拥有量以及各种交通需求量急剧上升，城市道路所承受的负荷不断增长，给城市管理和人民生活都带来了巨大的考验,大连交通大学学报J, 31(6), 2010,动态路径选择的交通系统最优控制模型,实例 3,智能交通运输系统(以下简称ITS)具有先进的检测、通信、计算机系统集成控制技术，它能最大限度地发挥现有交通基础设施的潜力，提高运输效率，改进交通安全，缓解城市交通拥挤，节约能源的消耗，保护周围环境，,动态路径选择的交通系统最优控制模型,实例 3,（1）基本约束,动态路径选择的交通系统最优控制模型,实例 3,（2）非负约束,边界条件：,（3）流量守恒约束,动态路径选择的交通系统最优控制模型,实例 3,（
5、4）先进先出原则,不考虑超车现象,（5）流量传播约束,假定交通流为连续流,动态路径选择的交通系统最优控制模型,实例 3,交通流的总量达最小,嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略,实例 4,(1)着陆准备轨道,(2)主减速段,(3)快速调整段,(4)粗避障段,(5)精避障段,(6)缓速下降阶段,燃料消耗达最小,嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略,实例 4,(2)主减速段,嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略,实例 4,(3)快速调整阶段的最优控制策略,根据牛顿第二定律，建立飞行器水平方向上的动力学方程,设计控制参数k1，k2，使,1. 最优控制中的变分法（无约束）,最优
6、控制模型的基本原理,在动态最优化问题中，目标函数通常是一个泛函。泛函可以简单地理解为“函数的函数”。,1. 最优控制中的变分法（无约束）,最优控制模型的基本原理,定理1 连续泛函 的变分，等于泛函 对 的导数在 的值。即,定理2 如果可微泛函 在 上达到极大或极小，则,1）固定端点的变分问题,最优控制模型的基本原理,取极值的必要条件是容许极值曲线 满足欧拉方程,边界条件：,2）可变端点的变分问题,最优控制模型的基本原理,取极值的必要条件是容许极值曲线 满足欧拉方程,始端边界条件和终端横截条件：,2. 最优控制问题求解（有约束）,最优控制模型的基本原理,把具有状态方程约束的变分问题转化为无约束变
7、分问题。即转换为哈密顿函数的极值问题。,1）固定端点的最优控制问题,最优控制模型的基本原理,状态方程：,泛函指标：,构造哈密顿函数：,1）固定端点的最优控制问题,最优控制模型的基本原理,正则方程：,控制方程：,边界条件：,最优解 满足以下方程和条件：,第一步 构造哈密顿函数,一般的计算步骤,第二步 将最优控制变量代入正则方程中,第三步 回代，得到,山羊放牧系统中的最优控制模型及生态经济效益,实例 1,草原放牧生态系统模型：,放牧总利润：,哈密顿函数：,实例 1,哈密顿函数：,正则方程：,控制方程：,实例 1,联立求解，可得：,如果已知,（1）,代入（1）式，得到,实例 1,与之对应的最优控制为
8、：,例2 计算机病毒传播的控制问题,状态方程,目标泛函,初始条件,例2 计算机病毒传播的控制问题,哈密顿函数,例2 计算机病毒传播的控制问题,最优控制和最优状态满足如下正则方程组：,横截条件,例2 计算机病毒传播的控制问题,控制方程：,最优控制：,例2 计算机病毒传播的控制问题,数值仿真,初始条件,参数选取,采用Runge-Kutta四阶微分方程数值求解法。,例2 计算机病毒传播的控制问题,参考程序(matlab),(1)建立M函数文件,function dx=fish(t,x) r=2;s=1;a=1;b=1; dx=zeros(2,1); dx(1)=r*x(1)-a*x(1)*x(2); dx(2)=-s*x(2)+b*x(1)*x(2);,(2)在工作空间执行程序,t,x=ode45(fish,0 4,1,1.5) plot(x(:,1),x(:,2) plot(t,x(:,1),t,x(:,2),例2 计算机病毒传播的控制问题,计算结果,使用了最优控制策略后，I的数目有了明显的减少，从而有效地控制了病毒的传播。,例2 计算机病毒传播的控制问题,计算结果,
