《第八节闭区间上连续函数性质课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八节闭区间上连续函数性质课件（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第八节,一、最值定理与有界性,二、零点定理与介值定理,闭区间上连续函数的性质,一、最值定理与有界性,定义,对于在区间 I上 有定义的函数f (x),如果有,使得对于任一 都有,则称 是函数f (x)在区间 I 上的最大（小）值.,例如,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,定理1.在闭区间上连续的函数有界且,若,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,一定有最大,(证明略),点 ,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,由定理 1 可知有,证 设,上有界 .,结论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,二、零点定理与介值定理,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且
2、,使,( 证明略 ),定义,即方程 在( a ,b )内至少存在一个实根.,连续曲线弧y=f (x)的两个端点位于x 轴的不同侧，则,曲线弧与x 轴至少有一个交点.,几何解释：,定理3. ( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,证: 作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,使,至少有,推论: 在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与,最大值之间的任何值 .,连续曲线弧y=f (x)与水平直线 y = c 至少有一个交点.,几何解释：,例1. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,内容小结,例
3、2. 设函数f (x)在区间 上连续，且,证明存在 ，使,证明,令 ，,则 在 上连续.,而,由零点定理知，存在 ，使,即,例3,至少有一个不超过 4 的,证明,证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,正根 .,例4 设 f (x)C(a, b)， a x1 x2 xn b , 证明: 至少存在一点x1 , xn ，使得,证： f (x)C(a, b).,有,从而,由介值定理，至少存在一点(x1 , xn )，使,若 f (x1)= f (x2)= f (xn), 则可取x1或 xn .,综上所述，命题获证.,mf (xi) M.,本节内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,解题思路：,1.直接法：先利用最值定理，再用介值定理.,2.辅助函数法：先作辅助函数 ，,再利用零点定理.,作业 P78 1（1） ; P80 12,
