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1、,2020/8/31,课件,2,一、重点与难点,重点：,难点：,留数的计算与留数定理,留数定理在定积分计算上的应用,2020/8/31,课件,3,二、内容提要,留数,计算方法,可去奇点,孤立奇点,极点,本性奇点,函数的零点与 极点的关系,对数留数,留数定理,留数在定积 分上的应用,辐角原理,路西原理,2020/8/31,课件,5,i) 可去奇点,2020/8/31,课件,6,ii) 极点,2020/8/31,课件,7,极点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(b) 由定义的等价形式判别,2020/8/31,课件,8,iii)本性奇点,2020/8/31,课件,9,3
2、)函数的零点与极点的关系,2020/8/31,课件,10,2. 留数,2020/8/31,课件,11,2020/8/31,课件,12,如果 为 的一级极点, 那末,a),2)留数的计算方法,2020/8/31,课件,13,2020/8/31,课件,14,3)无穷远点的留数,2020/8/31,课件,15,定理,2020/8/31,课件,16,3. 留数在定积分计算上的应用,1）三角函数有理式的积分,正方向绕行一周.,2020/8/31,课件,17,2020/8/31,课件,18,2）无穷积分,2020/8/31,课件,19,3）混合型无穷积分,2020/8/31,课件,20,特别地,2020/
3、8/31,课件,21,4.对数留数,2020/8/31,课件,22,辐角原理,路西定理,2020/8/31,课件,23,三、典型例题,解,2020/8/31,课件,24,解,2020/8/31,课件,25,2020/8/31,课件,26,例2 求函数 的奇点，并确 定类型.,解,是奇点.,是二级极点;,是三级极点.,2020/8/31,课件,27,例3 证明 是 的六级极点.,证,2020/8/31,课件,28,例4 求下列各函数在有限奇点处的留数.,解,(1)在 内,2020/8/31,课件,29,解,2020/8/31,课件,30,解,为奇点,当 时 为一级极点，,2020/8/31,课件
4、,31,2020/8/31,课件,32,解,的一级极点为,2020/8/31,课件,33,例5 计算积分,为一级极点， 为七级极点.,解,2020/8/31,课件,34,由留数定理得,2020/8/31,课件,35,例6,解,在 内,2020/8/31,课件,36,2020/8/31,课件,37,解,例7 计算,2020/8/31,课件,38,2020/8/31,课件,39,例8 计算,解,令,2020/8/31,课件,40,极点为：,2020/8/31,课件,41,例9 计算积分,解,极点为,其中,由留数定理，有,2020/8/31,课件,42,2020/8/31,课件,43,例10 计算积分,解,在上半平面内有一级极点,2020/8/31,课件,44,放映结束，按Esc退出.,
