【教学设计】一元二次方程的根与系数关系

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1、21.2.6一元二次方程的根与系数关系 教 学 媒 体多 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1. 熟练掌握一元二次方程的根与系数关系. 2. 灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 3. 提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力. 过 程 方 法 学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明. 情 感 态 度 培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性， 激励学生勇于探索的精神 . 教 学 重 点一元二次方程的根与系数关系 教 学 难 点对根与系数关系的理解和推导 教 学 过 程 设 计 教 学 程 序 及 教 学 内 容师生行为

2、设 计 意 图 一、复习引入 导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在 16 世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发 现吗？ 二、探究新知 1. 课本思考 分析：将（x- x1） （x-x2）=0化为一般形式 x 2-( x 1+x2)x+ x1x2=0与 x 2+px+ q=0对比, 易知 p=-( x 1+x2)， q= x1x2. 即二次项系数是 1 的一元二次方程如果有实数根，则一 次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积. 2. 跟踪练习 求下列方程的两根x1、x2. 的和与积 . x 2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-

3、15=0 3. 方程 2x 2-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似 的关系吗？ 分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所 不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验 上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？ 教师出示问题， 引出课题学生初 步了解本课所要 研究的问题 学生通过去括 号、合并得到一 般形式的一元 二次方程，教师 适时点拨，分析 总结得到结论 . 学生独自完成 巩固上诉知识 教师出示探究问 题，学生通过特 殊例子入手，再 通过一般形式推 创设问题情 境，激发学 生好奇心， 求知欲 通过思考问 题， 让学生知 道二次项系 数为 1 的一 元二次方程 的根

4、与系数 关系， 为后面 继续研究做 铺垫 让学生通过 探究问题， 4. 一般的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a0）中的 a 不一 定是 1，它的两根的和、积与系数之间有第3 题中的关 系吗？ 分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根 的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数 a，b，c 的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的 根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项 系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数 的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的 关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化 为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 5.

5、 跟踪练习 求下列方程的两根x1、x2. 的和与积 . 13x 2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0 ； 25x-1=4x 2；5x2-1=4x2+x 6. 拓展练习 1 已知一元二次方程 2x 2+bx+c=0的两个根是 -1 ，3，则 b= ,c= . 2 已知关于 x 的方程 x 2+kx-2=0 的一个根是 1，则另一 个根是 ,k的值是 . 3 若关于 x 的一元二次方程 x 2+px+q=0的两个根互为相 反数，则 p= ; 若两个根互为倒数，则q= . 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可 求得另一根和这个字母系数；方程

6、中含有两个字母系数 时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数. 二次项 系数是 1 时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利 用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项. 4两个根均为负数的一元二次方程是 ( ) A.4x 2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x 2+15x-8=0 5. 两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ） A.4x 2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x 2+ 53x-6=0 6. 若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m 时方 程有两个正根； 当 m 时方程有两

7、个负根； 当 m 时 导证明，教师引 导学生根据求根 公式进行探究、 交流，尝试发现 结论 学生独立解决， 并交流 先观察，尝试选 用合适方法解 题，之后交流， 比较解法 学生尝试归纳， 师生总结 体会从特殊 到一般的认 知过程，体 会数学结论 的确定性 加深对韦达 定理的理解， 培养学生的 应用意识和 能力 通过学生亲 自解题的感 受与经验，感 受数学的严 谨性和数学 结论的确定 性. 方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大. 分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系， 确定方程各项系数的符号，6中还需考虑 m的值还得受 根的判别式的限制 . 三、课堂训练 1. 完成课本练习 2.

8、 补充练习： x1，x2是方程 3x 2-2x-4=0 的两根，利用根与系数的关系 求下列各式的值： 1 21 11 xx ； 2 2 21 2 12xxxx 3 2 2 2 1xx ； 4 2 21 xx；5 2 1 1 2 x x x x 四、小结归纳 本节课应掌握： 1. 韦达定理二次项系数不是1 的方程根与系数的关系 2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为 0， 0； 3. 韦达定理的应用常见题型： 1 不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的 两根； 2 已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的 值； 3 由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值； 4 判断两个根的符号；5 不解方程求含有方程的两根的 式子的值 . 五、作业设计 必做： P17：7 选做：补充作业：已知一元二次方程x 2+3x+1=0的两个 根是、，求的值. 学生独立完成， 教师巡回检查， 师生集体订正 学生归纳，总结 阐述，体会，反 思. 并做出笔 记. 进一步加强 对所学知识 的理解和掌 握 通过归纳， 进一步理解 韦达定理及 其应用 加强教学反 思，帮助学 生养成系统 整理知识的 学习习惯， 加深认识， 深化提高， 形成学生自 己的知识体 系. 教学反思