统计学二项分布与泊松分布（课堂PPT）

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1、第1页,医 学 统 计 学,主讲 程 琮,泰山医学院预防医学教研室 ,医学本科生用,第2页,The teaching planfor medical students,Professor Cheng Cong,Dept. of Preventive Medicine Taishan Medical College,MEDICAL STATISTICS,第3页,医学统计学教授，硕士生导师。男，1959年6月出生。汉族，无党派。1982年12月，山东医学院公共卫生专业五年本科毕业，获医学学士学位。1994年7月，上海医科大学公共卫生学院研究生毕业，获医学硕士学位。2003年12月晋升教授。现任预防

2、医学教研室副主任。主要从事医学统计学、预防医学，医学人口统计学等课程的教学及科研工作，每年听课学生600-1000人。自2000年起连续10年，为硕士研究生开设医学统计学、SPSS统计分析教程、卫生经济学等课程，同时指导研究生的科研设计、开题报告及科研资料的统计处理与分析。发表医学统计学及预防医学的科研论文50多篇。代表作有“锌对乳癌细胞生长、增殖与基因表达的影响”，“行列相关的测度” 等。主编、副主编各类教材及专著10部，代表作有医学统计学、SPSS统计分析教程。获得院级科研论文及科技进步奖8项，院第四届教学能手比赛二等奖一项，院教学评建先进工作者一项。获2004年泰山医学院首届十大教学名师

3、奖。医学统计学为校级和省级精品课程。,程琮教授简介,第4页,医学统计学目录,第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图,第5页,第7章二项分布与泊松分布 目录,第二节 泊松分布及其应用,第三节 两种分布的拟 合优度检验,第一节 二项分布及其应用,第6页,第7章 二项分布与泊松分布 学习要求,掌握：二项分布的概念及意义。 熟悉：二项分布

4、的适用条件及计算方法。 了解：二项分布的概率函数、性质及医学应用。 掌握：Poisson分布的概念及意义。 熟悉：Poisson分布的适用条件、医学应用及计算方法。 了解：Poisson分布的概率函数及性质。 了解：二项分布与Poisson分布的拟合优度检验的概念及意义。 了解：常用的拟合优度检验方法。,第7页,第一节 二项分布及其应用,1.二项分布（binominal distribution） 是一种重要的离散型分布，在医学上常遇到属于两分类的资料，每一观察单位只具有相互独立的一种结果，如检查结果的阳性或阴性，动物试验的生存或死亡，对病人治疗的有效或无效等。,一、二项分布的概念及应用条件,

5、第8页,2.二项分布定义：如果已知发生某一结果（如阳性）的概率为，其对立结果（阴性）的概率为（1-），且各观察单位的观察结果相互独立，互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出现阳性数为X (X=0,1,2,3,，n)的概率服从二项分布。 3.二项分布名称: 也称为贝努里分布（Bernoulli distribution）或贝努里模型，是由法国数学家J.Bernoulli于1713年首先阐述的概率分布。,第9页,贝努里模型应具备下列三个基本条件。,试验结果只出现对立事件A或 ，两者只能出现其中之一。这种事件也称为互斥事件。 试验结果是相互独立，互不影响的。例如，一个妇女生育男孩或女孩，并不影响

6、另一个妇女生育男孩或女孩等。 每次试验中，出现事件A的概率为p，而出现对立事件 的概率为-p。则有总概率p+（1-p）=1。注意：1-p=q,第10页,二、 二项分布的概率函数,根据贝努里模型进行试验的三个基本条件，可以求出在n 次独立试验下，事件A出现的次数X的概率分布。X为离散型随机变量，其可以取值为0,1,2,n。,第11页,2. 则X的概率函数为：,X=0,1,2,n (7.1),式中：01， 为组合数，公式（7.1）称随机变量X服从参数为n,的二项分布，则记为XB(n,)。,第12页,三、 二项分布的性质,二项分布是概率分布，因此它就具备概率分布的各种性质。 二项分布的每种组合的概率

7、符合二项展开式，其总概率等于1。,（7.2）,第13页,二项式展开式实例,将二项式（a+b）n 展开,第14页,由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点：,（1）展开式的项数为n+1。 （2）展开式每项和（1-）指数之和为n。 （3）展开式每项的指数从0到n；（1-）的指数从n到0。,第15页,由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点：,（4）二项分布的区间累积概率 设m1Xm2 ,m1m2）, 则X在m1至m2区间的累积概率有：,第16页,至多有x例阳性的概率为：,至少有x例阳性的概率为：,X=0,1,2，x (7.4),X=x，x+1，n (7.5),公式（7.4）为下侧累计概率，公式

8、（7.5）为上侧累计概率。,第17页,3.二项分布的概率分布图形,以X为横坐标，P（X）为纵坐标，在坐标纸上可绘出二项分布的图形, 由于X为离散型随机变量，二项分布图形由横坐标上孤立点的垂直线条组成。 二项分布的图形取决于与n的大小。当n充分大时，二项分布趋向对称，可以证明其趋向正态分布。,第18页,3.二项分布的概率分布图形,3. n的大小与分布类型: 当n之积大于5时，分布接近正态分布； 当n5时，图形呈偏态分布。 当=0.5时，图形分布对称，近似正态。 如果0.5或距0.5较远时，分布呈偏态。见图7-1。,第19页,图7-1 二项分布示意图,第20页,4.二项分布的数字特征,这里的数字特

9、征主要指总体均数、方差、标准差等参数。 随机变量X的数学期望 E（X）。 即指总体均数。n,第21页,随机变量X的方差 D（X）2 随机变量X的标准差为:,随机变量X的方差及标准差,第22页,若X的总体均数和标准差用率来表示，则将公式除以n ,得：,第23页,四、二项分布展开式各项的系数,二项分布展开式的各项之前均有一个系数，用组合公式来表示。计算公式为：,第24页,杨辉三角：可用来表示二项式各项展开式的系数。见图7-2。国外参考书习惯称之为巴斯噶三角。 当试验次数n较小时，可直接利用杨辉三角将二项分布展开式各项的系数写出来，应用十分方便。,杨辉三角,第25页,图7-2 杨辉三角模式图,第26

10、页,杨辉三角的意义：,杨辉三角中每行有几个数字，表示展开式有几项。当试验次数为n 时，有n+1项。 杨辉三角中每行中的数字表示展开式中每项的系数大小。 杨辉三角中的各数字项及其数字的排列很有规律。可依照规律继续写下去。第一行的第一、第二项均为数字，以后每下一行的首项及末项均为，中间各项为上一行相邻两项数字之和。,第27页,五、二项分布的应用,二项分布在生物学及医学领域中，主要应用在下列几个方面： 总体率的可信区间估计， 率的u检验：单样本及两样本比较。 样本率与总体率比较的直接计算概率法。,第28页,（一）应用二项分布计算概率,【例7.1 】如出生男孩的概率P=0.5，出生女孩的概率为（1-P

11、）=0.5。在一个妇产医院里有3名产妇分娩3名新生儿，其中男孩为X=0,1,2,3的概率按公式（7.1）计算的结果列于表7-1的第（3）栏中。 分析：根据题意，已知生育男孩为事件A，其概率P(A)=0.5（即=0.5）；生育女孩为事件B ，其概率为P(B)=1-P(A)=1-0.50.5（即1-=0.5）。,第29页,生男生女的概率,第30页,三个妇女生育一个男孩，两个女孩的概率为：,三个妇女生育均为女孩（即无男孩）的概率为：,余类推，见表7-1第（3）栏。表7-1第（5）栏为至少生育X个男孩的累积概率。,第31页,(二)样本率与总体率比较的直接概率法,此法适用nP和n(1-P)均小于5的情形

12、。 应注意： 当样本率大于总体率时，应计算大于等于阳性人数的累积概率。即上侧概率。 当样本率小于总体率时，应计算小于等于阳性人数的累积概率。即下侧概率。,第32页,【例7.2 】A药治疗某病的有效率为80。对A药进行改进后，用改进型A药继续治疗病人，观察疗效。 如果用改进型A药治疗20例病人，19例有效。 如果用改进型A药治疗30例病人，29例有效。试分析：上述二种情形下，改进型A药是否疗效更好。,第33页,【分析】 A药有效率为80，可以作为总体率，即00.8 。 治疗20例病人的样本有效率为（1920）10095； 治疗30例病人的样本有效率为（2930）10096.67。 两个样本率均大

13、于总体率80，故应计算大于等于有效例数的单侧累积概率（上侧）。,第34页,情形一：治疗20例病人的疗效分析,（1）建立检验假设 H0：00.80；H1: 0 0.80 单侧0.05 （2）计算概率值 根据二项分布有：,= 0.0548+0.0115=0.0663,第35页,（3）推断结论 本例P0.0663,在0.05水准上,不拒绝H0。尚不能认为改进型A药的疗效优于原A药。,第36页,治疗30例病人的疗效分析（1）检验假设同情形一。（2）计算单侧累积概率有：,=0.008975+0.001238=0.0102,情形二：治疗30例病人的疗效分析,第37页,（3）推断结论 本例P0.0102,在

14、0.05水准上,拒绝H0,接受H1。可以认为改进型A药的疗效优于原A药。,注意： 治疗20例病人的有效率为95，治疗30例病人的有效率为96.67，两个样本有效率很接近。但最终得出的结论却不相同。 临床上观察疗效，样本含量不能太小。样本含量大，疗效稳定性及可靠性相应增加，受到偶然因素影响的机会变得较小。,第38页,【分析】: 本例总体率1。调查人群样本反应率为P=（1300）1000.33。由于样本率小于总体率，故应计算小于等于阳性人数的累积概率。,【例7.3 】一般人群对B药的副作用反应率为1。调查使用B药者300人，其中只有1人出现副作用。问该调查人群对B药的副作用反应率是否低于一般人群。

15、,第39页,（1）建立检验假设 H0：调查人群反应率与一般人群相同， 00.01H1: 调查人群反应率低于一般人群， 0 0.01 单侧 0.05,第40页,（2）计算单侧累积概率 :,（3）推断结论 本例 P0.1976,在0.05水准上,不拒绝H0。尚不能认为调查人群的B药副作用反应率低于一般人群。,第41页,第二节 Poisson分布及其应用,(一)Poisson分布的概念 Poisson分布由法国数学家S.D.Poisson在1837年提出。 该分布也称为稀有事件模型，或空间散布点子模型。在生物学及医学领域中，某些现象或事件出现的机会或概率很小，这种事件称为稀有事件或罕见事件。 稀有事

16、件出现的概率分布服从Poisson分布。,一、Poisson分布的概念及应用条件,第42页,如果稀有事件A在每个单元（设想为n次试验）内平均出现次，那么在一个单元（n次）的试验中，稀有事件A出现次数X的概率分布服从Poisson分布。,Poisson分布的直观描述,第43页,Poisson分布属于离散型分布。在Poisson分布中，一个单元可以定义为是单位时间，单位面积，单位体积或单位容积等。 如每天8小时的工作时间，一个足球场的面积，一个立方米的空气体积，1升或1毫升的液体体积,培养细菌的一个平皿，一瓶矿泉水等都可以认为是一个单元。 一个单元的大小往往是根据实际情况或经验而确定的。若干个小单元亦可以合并为一个大单元。,第44页,(二)常见Poisson分布的资料（牢记）,实际工作中，判定一个变量是否服从Poisson分布 仍然主要依靠经验以及以往累积的资料。 常见Poisson分布资料有： 产品抽样中极坏品出现的次数； 枪打飞机击中的次数； 患病率较低的非传染性疾病在人群中的分布； 奶中或饮料中的病菌个数；