《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)直线、平面垂直的判定与性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)直线、平面垂直的判定与性质（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 Go the distance 直线、平面垂直的判定与性质 知识能否忆起 一、直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 内的 任意一条 直线都垂直 ， 就说直线 l 与平面 互相垂直 2 直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直 a， b a b Ol al b l 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直 这个平面 a ba b 3 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 平行 a b a b 二
2、、平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的 垂线 ，则这两个平面垂直 l l 2 平面与平面垂直的性质定理 Go the distance 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于 交线 的直线垂直于另一个平面 l al a l 小题能否全取 1 (教材习题改编 )已知平面 ， ， 直线 l， 若 ， l， 则 ( ) A 垂直于平面 的平面一定平行于平面 B 垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 C 垂直于平面 的平面一定平行于直线 l D 垂直于直线 l 的平面一定与平面 、 都垂直 解析：
3、 选 D A 中平面可与 平行或相交 ， 不正确 B 中直线可与 垂直或斜交 ， 不正确 C 中平面可与直线 l 平行或相交 ， 不正确 2.(2012厦门模拟 )如图 ， O 为正方体 ABCD A1B1C1D1 的底面ABCD 的中心 ， 则下列直线中与 B1O 垂直的是 ( ) A A1D B AA1 C A1D1 D A1C1 解析： 选 D 易知 A1C1 平面 BB1D1D. 又 B1O 平面 BB1D1D， A1C1 B1O. 3 已知 ， 是两个不同的平面 ， m， n 是两条不重合的直线 ， 则下列命题中正确的是 ( ) A 若 m ， n， 则 m n B 若 m ， m
4、n， 则 n C 若 m ， n ， ， 则 m n D 若 ， n， m n， 则 m 解析： 选 C 对于选项 A， 若 m ， n， 则 m n， 或 m， n 是异面直线 ， 所以 A错误 ； 对于选项 B， n 可能在平面 内 ， 所以 B 错误 ； 对于选项 D， m 与 的位置关系还可以是 m ， m ， 或 m 与 斜交 ， 所以 D 错误 ； 由面面垂直的性质可知 C 正确 4.如图 ， 已知 PA 平面 ABC， BC AC， 则图中直角三角形的个数为_ 解析： 由线面垂直知，图中直角三角形为 4 个 Go the distance 答案： 4 5 (教材习题改编 )如图
5、， 已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形 ， PA 平面 ABC， PA 2AB.则下列命题正确的有 _ PA AD； 平面 ABC 平面 PBC； 直线 BC 平面 PAE； 直线 PD 与平面 ABC 所成角为 30. 解析： 由 PA 平面 ABC， PA AD，故 正确； 中两平面不垂直， 中 AD 与平面 PAE 相交， BC AD，故不正确； 中 PD 与平面 ABC 所成角为 45. 答案： 1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件 同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 2 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 ，若这样的直
6、线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理 3 几个常用的结论： (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直 (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直 垂直关系的基本问题 典题导入 例 1 (2012襄州模拟 )若 m， n 为两条不重合的直线 ， ， 为两个不重合的平面 ， 给出下列 命题 ： 若 m， n 都平行于平面 ， 则 m， n 一定不是相交直线 ； 若 m、 n 都垂直于平面 ， 则 m， n 一定是平行直线 ； 已知 ， 互相垂直 ， m， n 互相垂直 ， 若 m ， 则 n ； m， n 在平面 内的射影互相垂直 ， 则 m， n互
7、相垂直 其中的假命题的序号是 _ 自主解答 显然错误，因为平面 平面 ，平面 内的所有直线都平行 ，所以 内的两条相交直线可同时平行于 ； 正确；如图 1 所示，若 l，且 n l，当 m 时， m n，但 n ，所以 错误；如图 2 显然当 m n 时， m 不垂直于 n，所以 错误 Go the distance 答案 由题悟法 解决此类问题常用的方法有 ： 依据定理条件才能得出结论的 ， 可结合符合题意的图形作出判断 ； 否定命题时只需举一个反例 寻找恰当的特殊模型 (如构造长方体 )进行筛选 以题试法 1 (2012长春模拟 )设 a， b 是两条不同的直线 ， ， 是两个不同的平面
8、， 则下列四个命题 ： 若 a b， a ， b， 则 b ； 若 a ， a ， 则 ； 若 a ， ， 则 a 或 a ； 若 a b， a ， b ， 则 . 其中正确命题的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析： 选 D 对于 ， 由 b 不在平面 内知 ， 直线 b 或者平行于平面 ， 或者与平面 相交 ， 若直线 b 与平面 相交 ， 则直线 b 与直线 a 不可能垂直 ， 这与已知 “ a b” 相矛盾 ，因此 正确 对于 ， 由 a 知 ， 在平面 内必存在直线 a1 a， 又 a ， 所以有 a1 ，所以 ， 正确 对于 ， 若直线 a 与平面 相交于点 A，
9、过点 A 作平面 、 的交 线的垂线 m， 则 m ， 又 ， 则有 a m， 这与 “ 直线 a、 m 有公共点 A” 相矛盾 ， 因此 正确 对于 ， 过空间一点 O 分别向平面 、 引垂线 a1、 b1， 则有 a a1， b b1， 又 a b，所以 a1 b1， 所以 ， 因此 正确 综上所述 ， 其中正确命题的个数为 4. 直线与平面垂直的判定与性质 典题导入 例 2 (2012广东高考 )如图所示 ， 在四棱锥 P ABCD 中 ，AB 平面 PAD， AB CD， PD AD， E 是 PB 的中点 ， F 是 DC上的点且 DF 12AB， PH 为 PAD 中 AD 边上的
10、高 (1)证明 ： PH 平面 ABCD； (2)若 PH 1， AD 2， FC 1， 求三棱锥 E BCF 的体积 ； (3)证明 ： EF 平面 PAB. Go the distance 自主解答 (1)证明：因为 AB 平面 PAD， PH 平面 PAD， 所以 PH AB. 因为 PH 为 PAD 中 AD 边上的高，所以 PH AD. 因为 PH平面 ABCD， AB AD A， AB， AD 平面 ABCD， 所以 PH 平面 ABCD. (2)如图，连接 BH，取 BH 的中点 G，连接 EG. 因为 E 是 PB 的中点， 所以 EG PH， 且 EG 12PH 12. 因为
11、 PH 平面 ABCD， 所以 EG 平面 ABCD. 因为 AB 平面 PAD， AD 平面 PAD， 所以 AB AD. 所以底面 ABCD 为直角梯形 所以 VE BCF 13S BCFEG 1312FCADEG 212. (3)证明：取 PA 中点 M，连接 MD， ME. 因为 E 是 PB 的中点，所以 ME 綊 12AB. 又因为 DF 綊 12AB，所以 ME 綊 DF，所以四边形 MEFD 是平行四边形，所以 EF MD. 因为 PD AD，所以 MD PA . 因为 AB 平面 PAD，所以 MD AB. 因为 PA AB A，所以 MD 平面 PAB，所以 EF 平面 P
12、AB. 由题悟法 证明直线和平面垂直的常用方法有 ： (1)利用判定定理 (2)利用判定定理的推论 (a b， a b ) (3)利用面面平行的性质 (a ， a ) (4)利用面面垂直的性质 当两个平面垂直时 ， 在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 以题试法 2 (2012启东模拟 )如图所示 ， 已知 PA 矩形 ABCD 所在平面 ， Go the distance M， N 分别是 AB， PC 的中点 (1)求证 ： MN CD； (2)若 PDA 45， 求证 ： MN 平面 PCD. 证明： (1)连接 AC， AN， BN， PA 平面 ABCD， PA AC， 在 Rt PAC 中， N 为 PC 中点， AN 12PC. PA 平面 ABCD， PA BC， 又 BC AB， PA AB A， BC 平面 PAB. BC PB. 从而在 Rt PBC 中， BN 为斜边 PC 上的中线， BN 12PC. AN BN. ABN 为等腰三角形，又 M 为 AB 的中点， MN AB， 又 AB CD， MN CD. (2)连接 PM， MC， PDA 45， PA AD， AP AD. 四边形 ABCD 为矩形， AD BC， AP BC. 又 M 为 AB 的中点， AM BM. 而 PAM CBM 90， PAM CBM. PM
