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1、线 性 代 数 第一章 n阶行列式,第一节 二阶和三阶行列式,第二节 n阶行列式定义及性质,第三节 n阶行列式的计算,第四节 克莱姆法则,第一节 二阶和三阶行列式,3,线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式,一、行列式概念的引进 二元线性方程组 其中 为常数， 为未知量。,4,定义1四个数排成二行二列的方形数表，加上记号“| |”，表 示一个二阶行列式 ，其值为 ，即 其中 称为行列式的元素。元素 的脚标 表第 行， 表第 列，即 表行列式中位于第 行第 列的元素。,线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式,5,由二阶行列式的定义，可将前述二元线性方程组的解写为：
2、,线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式,称 为线性方程组（1）的系数行列式。 上述结论还可简记为：当二元方程组（1）的系数行列式 时，方程组有唯一解 。 其中 为系数行列式 的第 列换为常数列 ，其余列不动而得到的行列式。,6,定义2 九个数排成三行三列的方形数表，加上记号“| |”，表示一个三阶行列式：,线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式,三阶行列式值的计算可按图示“对角线法则”来记忆。,7,三元线性方程组：,线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式,当系数行列式 时，方程组（2）有唯一解,上述结论仍可简记为 ，其中 为系数行 列式， 为
3、的第 列换为常数列 ，其余列不动而得 到的行列式。,8,三阶行列式性质： 性质1将行列式的行列互换，行列式值不变。即,线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式,称这两个行列式互为转置行列式。 行列式行列互换（将行列式行依次改为列）称为行列式转置。 性质2行列式任意两行（列）互换，行列式值反号。 推论若行列式两行（列）相同，则行列式值为零。,二、行列式的性质,9,性质3行列式某一行有公因子 ，则 可提到行列式号外。即,线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式,推论1行列式有一行（列）元素均为0，则行列式值为0。 推论2行列式有二行（列）元素成比例，则行列式值为0。,1
4、0,性质4行列式某一行（列）的元素可以表示成两项之和，则该行列式可写成两个行列式之和。,线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式,性质5将行列式一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式值不变。,11,三、行列式按行（列）展开定理 定义3 三阶行列式中划去元素 所在的第 行与第 列的元 素，其余的元素按原来的次序构成一个二阶行列式，称为元素 的余子式，记作 ，令 ，称 为元素 的代数余子式。 定理1三阶行列式值等于其任一行（或列）的元素与其代数余子式乘积之和。即：,线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式,12,例1求上三角行列式,线性代数 第一章 n阶行列式 第1
5、节 二阶和三阶行列式,例2求,例3求,第二节 n阶行列式定义及性质,14,定义1由自然数 组成的一个有序数组称为一个 阶排 列。 一般地说一个 阶排列可用 表示。所有的 阶排列 的总数为 个。 定义2在 阶排列 中，如果 就 称 为该排列的一个逆序，排列中逆序的总个数称为该 排列的逆序数，记作 排列 具有自然顺序，即逆序数为0，称之为自然排列。 定义3逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。,线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质,一、 阶排列,15,例1计算下列排列的逆序数并指出排列的的奇偶性。 1）五阶排列（4 2 1 5 3） 2） 阶自然排列 偶
6、排列 3） 阶倒序排列 时，偶排列 时，奇排列 例2求,线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质,16,线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质,在一个排列中，把其中两个数的位置互换，其余数位置不动，这样的变换称为对换。 如,17,二、 阶行列式的定义 三阶行列式定义：,线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质,18,定义4由 个数排成 行， 列的数表，加符号“| |”，称为 阶行列式，它的值为所有取自不同行、不同列的 个元素 乘积 的代数和，每项的符号由 决定， 即： 规定一阶行列式 。 阶行列式的完全展开式中含有 项。所带符号一半为正，
7、一半为负。,线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质,19,例1 在五阶行列式中，决定 这项前面所带的符号。 例2计算上三角行列式 之值。 进一步考虑,线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质,当 时，符号为正， 时，符号为负。,20,线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质,阶行列式展开也可表为：,阶行列式定义中，每一项中 个元素的排列次序是使 它们的行标成自然排列的，即 。数的乘法有交 换率，故可以适当调换 个元素的次序，使这 个元素的列 标成自然排列，即 。故 。,与 同为奇排列或偶排列。,21,三、 阶行列式的性质： 性质1行列式行
8、列互换，行列式值不变。 性质2行列式任意两行互换，行列式值变号。 推论行列式若两行相等，行列式值为0。 性质3行列式某一行有公因子 ，则 可提到行列式号外。 推论1行列式有一行元素均为0，则行列式值为0。 推论2行列式有二行元素成比例，则行列式值为0。 性质4如果行列式第 行 个元素可表为两项之和，那么行列式可写为两个行列式之和。 性质5行列式一行的倍数加到另一行上，行列式值不变。 注意以上各条性质及推论的叙述与二、三阶行列式完全相同，但证明方法不同，应用 阶行列式定义及推理方法。,线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质,22,例3证明奇数阶反对称行列式值为0。 （书P13
9、/例4） 一个 阶行列式 若 ，称 为对称行列式， 若 ，称 为反对称行列式。 可见反对称行列式主对角线上元素 反对称行列式可写为：,线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算,第三节 n阶行列式的计算,24,一、利用行列式性质计算行列式 例1计算行列式 （书P15/例4） 例2计算行列式 （书P16/例6） 例3计算行列式 其中 （书 P27/9(3)）,线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算,25,二、 阶行列式的展开 定义1在 阶行列式中划去元素 所在的第 行与第 列的 元素，其余的元素按原来的次序构成一个 阶行列式， 称为元素 的余子式，记作 ，令 ，称 为
10、 元素 的代数余子式。 定理1 阶行列式值等于其任一行的元素与其代数余子式乘积之和。即 定理1 阶行列式值等于其任一列的元素与其代数余子式乘积之和。即,线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算,26,例4 计算行列式 （书P17/例7）,线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算,27,引进Kronecker符号 定理1、定理1及推论可合写为：其中 表 阶行列式 的值,线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算,推论在 阶行列式中，任意一行（列）元素与另一行（列）对应元素代数余子式的乘积之和为0。即,28,线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的
11、计算,在 阶行列式 中任选 行、 列，不妨设选的 行、 列为： 将这 行、 列交叉位置的元素按原来顺序构成的 阶行列式 称为 阶行列式 的 阶子式。 将 阶行列式 中这 行、 列的元素划去，余下的元素按原 来的次序构成的 阶行列式与 的乘积称为 阶子式 的代数余子式。,29,定理2在 阶行列式 中任选 行（列） ，则行列式 等于由这 行（列）元素组成的所有 阶子式与其代数余子式乘积之和。 定理2又称为Laplace展开定理，当 时即为定理1。,线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算,30,例6计算行列式值,线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算,例5 计算行列式
12、值 （书P27/9(6)）,31,三、数学归纳法在行列式计算中的应用,线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算,例7求 阶行列式值 （书P20/例12）,32,例8证明范德蒙行列式,线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算,等式右边为连乘积，表示满足 的所有 构成 连乘。即： （书P21/例13）,第四节 克莱姆（Cramer）法则,34,个方程 个未知数的 元线性方程组,线性代数 第一章 n阶行列式 第4节 克莱姆法则,所谓方程组（1）的解 ，就是将这 个数 ，分别代入方程组（1）中 的相应位置，使每个方程均为恒等式。 通常用向量 表示这个解，并称为一个解向量 （
13、也可称为一个解）。 方程组所有的解构成的集合称为方程组的解集合。,35,定理1（克莱姆法则） 元线性方程组（1）当它的系数行列 式 时，方程组（1）有解，且解是唯一的， 其解为 （其中 为 中第 列换成常数列 其余列不变所得的行 列式）,线性代数 第一章 n阶行列式 第4节 克莱姆法则,36,称为齐次线性方程组 齐次线性方程组一定有解，且为全零解，即 一定是它的解。 齐次线性方程组的解有两种情况： （1）有唯一组解，这时称只有全零解。 （2）解不唯一，即有非零解： 其中至少有一个 。 此时一定有无穷多组解，因为 （ 为任意常数）也必为此方程组的解。,线性代数 第一章 n阶行列式 第4节 克莱姆法则,37,推论1若齐次线性方程组 系数行列式不为0，则方程组（2）只有全零解，即 推论2若齐次线性方程组（2）有非零解，则它的系数行列式一定为零。,线性代数 第一章 n阶行列式 第4节 克莱姆法则,
