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1、第 4 章 立体表面的交线, 4.1 立体表面的截交线, 4.2 立体表面的相贯线, 本章小结,结束放映, 用平面与立体相交,截去体的一部分 截切。, 截平面与立体表面的交线截交线。, 用以截切立体的平面截平面。,4.1 立体表面的截交线,截交线的性质:, 是一封闭的平面多边形。, 截交线的形状取决于被截立 体的形状及截平面与立体的 相对位置。 截交线的投影的形状取决于 截平面与投影面的相对位置。, 截交线是截平面与立体表面 的共有线。, 求截交线的两种方法:, 求各棱线与截平面的交点棱线法。, 求各棱面与截平面的交线棱面法。, 求截交线的步骤:, 截平面与体的相对位置, 截平面与投影面的相对
2、位置,确定截交线 的投影特性,确定截交 线的形状, 空间及投影分析, 画出截交线的投影,分别求出截平面与棱面的交线,并连接成多边形。,一、平面体表面的截交线, 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。, 截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。,交线的形状?, 投影分析,例1:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。, 空间分析, 求截交线, 分析棱线的投影, 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性,3,2,1,(4),例1:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,注意: 要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时,先假想为整体被截切,求出截交线后再取局部。,例2:求四棱锥被截切后的俯视图和
3、左视图。,1,2,1(2),、两点分别同时位于三个面上。,例2:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,18,8,例3:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。,P,截交线的形状?,1,5,4,3,2,8,7,6,截交线的投影特性?,2367,45,求截交线,1,5,4,7,6,3,2,分析棱线的投影,检查截交线的投影,例3:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。,2,2,1,例4:求作俯视图。,侧垂面,正垂面,1,2,2,1,1,例4:求作俯视图。,1,2, 截交线是截平面与回转体表面的共有线。, 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。, 求截交线的方法:,求截平面与回转体表面的
4、共有点。, 求截交线的步骤:, 空间及投影分析, 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置,以确定截交线的形状。, 分析截平面及回转体与投影面的相对位置,明 确截交线的投影特性,如积聚性、类似性等。 找出截交线的已知投影,予见未知投影。,二、回转体的截交线, 画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时,其作图步骤为:, 将各点光滑地连接起来,并判断截交线的可 见性。, 先找特殊点,再补充中间点。, 圆柱体表面的截交线,截平面与圆柱面的交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。,垂直,圆,椭圆,平行,两平行直线,倾斜,例1:求左视图,空间及投影分析,求截交线,分析圆柱体轮廓素线的投
5、影,截交线的形状,截交线的投影特性,解题步骤:,同一立体被多个平面截切,要逐个截平面进行截交线的分析和作图。,例1:求左视图,空间及投影分析,求截交线,分析圆柱体轮廓素线的投影,截交线的形状,截交线的投影特性,解题步骤:,例2:求左视图,例2:求左视图,分析、比较,例3:求俯视图,例3:求俯视图,例4:求俯视图,例4:求俯视图,分析、比较,截交线的已知投影?,例4:求左视图,找特殊点,补充中间点,光滑连接各点,分析轮廓素线的投影,截交线的侧面投影是什么形状?,例4:求左视图,找特殊点,找中间点,光滑连接各点,分析轮廓素线的投影,椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。,截平面与圆柱轴
6、线成45时。,例5:求左视图, 圆锥体表面的截交线,过锥顶,两相交直线,圆,椭圆,抛物线,双曲线,根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同,截平面与圆锥面的交线有五种形状。,例1:圆锥被正平面截切,补全主视图。,截交线的空间形状?,截交线的投影特性?,例2:圆锥被正垂面截切,求 截交线,并完成三视图。,截交线的空间形状?,截交线的投影特性?,找特殊点,如何找椭圆另一根轴的端点?,补充中间点,光滑连接各点,分析轮廓线的 投影,例2:圆锥被正垂面截切,求 截交线,并完成三视图。,找特殊点,补充中间点,光滑连接各点,分析轮廓线的 投影, 圆球表面的截交线,平面与圆球相交,截交线的形状都是圆,但根据截平面与
7、投影面的相对位置不同,其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。,水平面与圆球面的交线的投影,在俯视图上为部分圆弧,在侧视图上积聚为直线。,两个侧平面与圆球面的交线的投影,在侧视上为部分圆弧,在俯视图上积聚为直线。, 圆球表面的截交线,平面与圆球相交,截交线的形状都是圆,但根据截平面与投影面的相对位置不同,其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。,水平面与圆球面的交线的投影,在俯视图上为部分圆弧,在侧视图上积聚为直线。,两个侧平面与圆球面的交线的投影,在侧视图上为部分圆弧,在俯视图上积聚为直线。,例:求半球体截切后的俯视图和左视图。, 复合回转体表面的截交线,首先分析复合回转体由哪些
8、基本回转体组成的以及它们的连接关系,然后分别求出这些基本回转体的截交线,并依次将其连接。,结束?,继续?, 两立体相交相贯。, 两立体相交表面产生的交线相贯线。,4.2 立体表面的相贯线,相贯线的主要性质:,求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。, 共有性, 表面性,相贯线位于两立体的表面上。,相贯线是两立体表面的共有线。, 封闭性,相贯线一般是封闭的空间折线(通常由直线和曲线组成)或空间曲线。, 相贯线是由若干段平面曲 线或直线组成的空间折线, 每一段是平面体的棱面与 回转体表面的交线。,一、平面体与回转体相贯, 求相贯线的步骤:, 分析各棱面与回转体表面的相对 位置,
9、从而确定交线的形状。, 求出各棱面与回转体表面的截交线。, 连接各段交线,并判断可见性。, 求交线的实质是求各棱面 与回转面的截交线。,例1:补全主视图,例1:补全主视图,例2:求作主视图,空间及投影分析,求相贯线,分析轮廓线 的投影,例2:求作主视图, 相贯线一般为光滑封闭的空 间曲线,它是两回转体表面 的共有线。,二、回转体与回转体相贯, 作图方法, 表面取点法, 辅助平面法, 先找特殊点。, 作图过程, 补充中间点。,确定交线的 弯曲趋势,确定交线 的范围,例1 :圆柱与圆柱相贯,求其相贯线。,空间及投影分析: 小圆柱轴线垂直于H面,水平投影积聚为圆,根据相贯线的共有性,相贯线的水平投影
10、积聚在该圆上。大圆柱轴线垂直于W面,侧面投影积聚为圆,相贯线的侧面投影应积聚在该圆上,为两圆柱面共有的一段圆弧。,求相贯线的投影:,利用积聚性,采用表面取点法。, 找特殊点, 补充中间点, 光滑连接,例1:圆柱与圆柱相贯,求其相贯线。,讨论:, 相贯线的产生:,两外表 面相交,一外表面与 一内表面相交,两内表 面相交, 两圆柱直径的变化对相贯线的影响,交线为两条平面 曲线(椭圆),例2:补全主视图, 外形交线, 两外表面相贯, 一内表面和一外表面相贯, 内形交线, 两内表面相贯,例2:补全主视图,无轮是两外表面相贯,还是一内表面和一外表面相贯,或者两内表面相贯,求相贯线的方法和思路是相同的。,
11、小 结:,例3:求主视图,相切处无线,外表面与外表面相贯,内表面与内表面相贯。分别求其相贯线。,例3:求主视图,例4:圆柱与圆锥相贯,求其相贯线的投影。, 空间及投影分析:,相贯线为一光滑的封闭的空间曲线。它的侧面投影有积聚性,正面投影、水平投影没有积聚性,应分别求出。, 解题方法:辅助平面法, 辅助平面法:,根据三面共点的原理,利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点,从而画出相贯线的投影。, 作图步骤:, 辅助平面的选择原则:,使辅助平面与两回转体表面的交线的投影简单易画,例如直线或圆。,一般选择投影面平行面。, 作辅助平面与相贯的两立体相交, 分别求出辅助平面与相贯的两立体表面的交线,
12、 求出交线的交点(即相贯线上的点),例4:圆柱与圆锥相贯,求其相贯线的投影。,假想用水平面P截切立体,P面与圆柱面的交线为两条直线,与圆锥面的交线为圆,圆与两直线的交点即为相贯线上的点。,例4:圆柱与圆锥相贯,求其相贯线的投影。,解题步骤:, 求特殊点, 用辅助平面法求 中间点, 光滑连接各点,例4:圆柱与圆锥相贯,求其相贯线的投影。,解题步骤:, 求特殊点, 用辅助平面法求 中间点, 光滑连接各点,1,2,3,例5:补全主视图,这是一个多体相贯的例子,首先分析它是由哪些基本体组成的,这些基本体是如何相贯的,然后分别进行相贯线的分析与作图。,由哪些立体组成呢?,哪两个立体相贯?,与,与,2与3
13、,例5:补全主视图,作图时要抓住一个关键点,相贯线汇交于这一点。,三面共点,例6:求俯视图,结束?,继续?, 小 结 , 平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形,多边形的边是截平 面与棱面的交线。,求截交线的方法:棱线法 棱面法, 平面截切回转体,截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。,截交线是截平面与回转体表面的共有线。,重点掌握求立体表面的截交线与相贯线的作图方法。,一、立体表面的截交线,当截交线的投影为非圆曲线时,要先找特殊点,再补充中间点,最后光滑连接各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。,分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置,以确定截
14、交线的投影特性。, 求截交线, 解题方法与步骤, 空间及投影分析,分析截平面与被截立体的相对位置,以 确定截交线的形状。, 当单体被多个截平面截切时,要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时,先按整体被截切求出截 交线,然后再取局部。, 求复合回转体的截交线,应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系,然后分别求出这些基本 回转体的截交线,并依次将其连接。,二、立体表面的相贯线, 求相贯线的基本方法, 相贯线的性质:表面性 共有性 封闭性, 解题过程, 空间分析:, 投影分析:,是否有积聚性投影?找出相贯线的已知投影,预见未知投影,从而选择解题方法。,面上找点法 辅助平面法,分析相交两立体的表面形状, 形体大小及相对位置,预见交线的形状。,特殊点包括:最上点、最下点、最左点、 最右点、最前点、最后点、 轮廓线上的点等。, 作图,找点:,连线,检查、加深,尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。,当相贯线的投影为非圆曲线时,其作图步骤为:,先找特殊点,补充若干中间点,平面体与圆柱体相贯,相贯线的产生:,求相贯线的方法:,相贯线的形状及投影:,外表面与外表面相交,外表面与内表面相交,内表面与内表面相交。,求平面体的棱面与圆柱面