《高中数学人教A选修11配套课件322导数的运算法则》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A选修11配套课件322导数的运算法则（67页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 导数的运算法则,主题导数的运算法则 1.试根据导数的定义,写出下列函数的导数. (1)若F(x)=x+x2,则F(x)=_. (2)若F(x)=x-x2,则F(x)=_. (3)若F(x)=x3,则F(x)=_.,提示:(1)F(x)= 答案:1+2x,(2)F(x)= = (1-2x-x)=1-2x. 答案:1-2x (3)F(x)= 3xx+3x2+(x)2=3x2. 答案:3x2,2.问题1中,若令f(x)=x,g(x)=x2,则F(x)的导数与f(x),g(x)的导数各有什么关系? 提示:因为f(x)=1,g(x)=2x, 故(1)中F(x)=f(x)+g(x),(2)中F(
2、x)=f(x)-g(x), (3)中F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).,结论: (1)f(x)g(x)=_. (2)f(x)g(x)=_. (3) =_. (4)cf(x)=_.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),cf(x),【微思考】 1.在导数运算法则中,函数f(x),g(x)一定有导函数吗? 提示:一定有导函数,否则法则不成立.,2.根据两个函数和差的导数运算法则,试着推广到任意有限个可导函数的和差. 提示:f1(x)f2(x)fn(x)=f1(x) f2(x)fn(x). af(x)bg(x)=af(x)bg(x)(a,b为常数).,3.根据乘法的导数法
3、则,试着推广f(x)g(x)= f(x)g(x)+f(x)g(x)到有限个函数的积的情形: 提示:若y=f1(x)f2(x)fn(x),则有y= f1(x)f2(x)fn(x)+f1(x)f2(x)fn(x)+ f1(x)f2(x)fn(x).,【预习自测】 1.函数y=xlnx的导数是() A.x B. C.lnx+1 D.lnx+x 【解析】选C.y=xlnx+x(lnx) =lnx+x =lnx+1.,2.已知函数f(x)=ax2+c,且f(1)=2,则a的值为() A.1 B. C.-1 D.0 【解析】选A.因为f(x)=ax2+c,所以f(x)=2ax, 又因为f(1)=2a,所以
4、2a=2,所以a=1.,3.曲线y= x3+x在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(),【解析】选A.对函数y= x3+x求导得y=x2+1,将x=1代 入得曲线y= x3+x在点 处的切线斜率为k=2,故切 线方程是y- =2(x-1),该切线与坐标轴的交点是 故围成的三角形面积为 .,4.函数y= 的导数是() 【解析】选A.y=,5.求函数y=(2x2+3)(3x-2)的导数y=_. 【解析】y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2) =4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9. 答案:18x2-8x+9,【一题多解】因为y=(2x2+3)(3x-2)
5、=6x3-4x2+9x-6, 所以y=18x2-8x+9. 答案:18x2-8x+9,6.求函数y=x5-x3+x-5的导数.(仿照教材P84例2的解析过程) 【解析】因为y=(x5)-(x3)+(x)-(5)=5x4-3x2+1, 所以函数y=x5-x3+x-5的导数是y=5x4-3x2+1.,类型一导数的运算法则 【典例1】求下列函数的导数: (1)y=(x+1)2(x-1). (2)y=x2sinx. (3)y=,【解析】(1)方法一:y=(x+1)2(x-1)+(x+1)2(x-1)=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1. 方法二:y=(x2+2x+1)(x-1)=x
6、3+x2-x-1, y=(x3+x2-x-1)=3x2+2x-1. (2)y=(x2sinx)=(x2)sinx+x2(sinx) =2xsinx+x2cosx.,【方法总结】应用导数运算法则求函数的导数的技巧 (1)对三角式求导要先进行化简,然后再求导,这样既减少了计算量,又可少出错. (2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导. (3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.,【巩固训练】求下列函数的导数: (1)y=2xcosx.(2)y=2x+lnx.,【解析】(1)y=(2x)cosx+2x(cosx) =2cosx-2xsinx
7、. (2)y=(2x)+(lnx)=2+ .,(3)方法一: 方法二:因为 所以 (4),【补偿训练】求下列函数的导数 (1)y=excosx. (2)y=x2+tanx. (3)y=2x3+ +cosx.,【解析】(1)y=excosx, 所以y=(ex)cosx+ex(cosx) =excosx-exsinx. (2)因为y=x2+ , 所以y=(x2)+ ,(3)y=(2x3)+( )+(cosx) =6x2+ -sinx.,类型二导数运算法则的应用 【典例2】(1)已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1)处 的切线方程是x-2y+1=0,若g(x)= ,则g(1)=(),(2)(2
8、017烟台高二检测)已知函数f(x)=x3+x-16. 求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程. 直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.,【解题指南】(1)由g(x)= 联想商的导数运算法则,利用条件“在点(1,f(1)处的切线方程为x-2y+1=0”求出f(1),f(1). (2)先求出函数f(x)的导数,由于点在曲线上,可将点的坐标代入求切线的斜率,进而得出切线方程.由于原点不在曲线上,可先设切点坐标,列方程解出切点坐标,再求切线方程.,【解析】(1)选A.由切线方程得1-2f(1)+1=0, 所以f(1)=1,由导数的几何意义得f(1)= ,(2)
9、因为f(x)=x3+x-16,所以f(x)=3x2+1. 由已知f(x)=x3+x-16,且f(2)=23+2-16=-6, 所以点(2,-6)在曲线y=f(x)上, 所以在点(2,-6)处的切线的斜率为k= f(2)=322+1 =13, 所以切线方程为:y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.,方法一:设切点为(x0,y0), 则直线l的斜率为f(x0)=3x02+1, 所以直线l的方程为:y-y0=(3x02+1)(x-x0), 即:y-x03-x0+16=(3x02+1)(x-x0), 又因为切线l过原点, 所以0-x03-x0+16=(3x02+1)(-x0),整理得:x03
10、=-8, 所以x0=-2. 所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,斜率k=3(-2)2+1=13, 所以切线的方程为y+26=13(x+2), 化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).,方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0), 则 又因为k=f(x0)=3x02+1, 所以 =3x02+1,解得x0=-2, 所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,斜率k=3(-2)2+1=13, 所以切线的方程为y+26=13(x+2),化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).,【延伸探究】 1.若本例(2)条件不变,试判定函数图象上哪一点处的切线斜率最小
11、. 【解析】因为f(x)=x3+x-16,所以f(x)=3x2+11,即当x=0时,切线的斜率最小,此时点的纵坐标y=-16. 因此,当切线的斜率最小时,切点的坐标为(0,-16).,2.若过本例(2)曲线上某点处的切线平行于直线4x-y+1=0,求切点的坐标. 【解析】因为f(x)=x3+x-16,所以f(x)=3x2+1,设切点为(x0,y0), 则过切点处的切线的斜率为k=3x02+1,又此切线平行于直线4x-y+1=0,所以3x02+1=4,所以x0=1, 当x0=1时,y0=-14,当x0=-1时,y0=-18. 所以切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).,【方法总结】求曲线在
12、某一点处切线方程的一般步骤 (1)先判断给出的点(x0,y0)是否在曲线上,如果在曲线 上,则它是切点,否则不是,此时设切点坐标为(x1,y1). (2)求切线的斜率.如果点(x0,y0)是切点,则切线斜率为 f(x0),若(x0,y0)不是切点,则切线斜率k= f(x1) =,(3)利用点斜式方程,求出切线方程.,【补偿训练】若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是_.,【解析】由题意得y=lnx+x =1+lnx,直线2x-y+1=0的斜率为2. 设P(m,n),则1+lnm=2,解得m=e, 所以n=elne=e,即点P的坐标为(e,e). 答案:(e,
13、e),类型三导数公式及运算法则的综合应用 【典例3】(1)如图是函数y= f(x)的图象,直线l:y=kx+2 是图象在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),则g(3)=() A.-1 B.0 C.2 D.4,(2)(2016天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f(x)为f(x)的导函数,则f(0)的值为_.,【解题指南】(1)先利用导数的几何意义求出y=f(x)在x=3处的导数,再利用导数公式求出g(3). (2)求出f(x),代入x=0即可.,【解析】(1)选B.由题意直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,由图象可知其切点为(3,1),代入直线方程得k=- ,
14、所以f(3)=- , 故g(x)=(xf(x) =xf(x)+xf(x)=f(x)+xf(x), 所以g(3)=f(3)+3f(3)=1+3 =0.,(2)因为f(x)=(2x+3)ex, 所以f(0)=3. 答案:3,【延伸探究】若本例(2)中的条件不变,则f(2)的值是多少? 【解析】由(2)的解析可知f(2)=(4+3)e2=7e2.,【方法总结】利用导数几何意义及运算法则解决综合问题的策略 (1)求某点处的导数值,分清该点是否为切点,若为切点利用导数的几何意义求值. (2)求范围:注意导数就是切线斜率,切线斜率与倾斜角的关系,求倾斜角的范围可先求导数的范围.,【巩固训练】已知曲线方程f
15、(x)=sin2x+2ax(xR),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是() A.(-,-1)(-1,0) B.(-,-1)(0,+) C.(-1,0)(0,+) D.aR且a0,a-1,【解析】选B.f(x)=2sinxcosx+2a=sin2x+2a, 直线l的斜率为-1, 由题知关于x的方程sin2x+2a=-1无解, 所以|2a+1|1, 所以a0.,【补偿训练】已知点P在曲线y= 上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是(),【解析】选D.函数导数y= 因为ex+ 2,所以y-1，0), 所以 .,拓展类型:曲线的公切线 【典例
16、】已知定义在正实数集上的函数f(x)= x2+2ax, g(x)=3a2lnx+b(a0),设两曲线f(x),g(x)有公共点,且 在公共点处的切线相同. (1)若a=1,求b的值. (2)试写出b关于a的函数关系式.,【解题指南】注意转化先设公共点的坐标,利用切点处的导数相等建立关系式.,【解析】(1)因为y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,且f(x)=x+2,g(x)= 由题意知f(x0)=g(x0),f(x0)=g(x0), 所以 由x0+2= ,得x0=1或x0=-3(舍去), 即有b= .,(2)因为y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,且f(x)=x+2a,g(x)= 由题意知f(x0)=g(x0),f(x0)=g(x0), 即,解得x0=a
