《高中数学人教A浙江一轮参考课件74直接证明与间接证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A浙江一轮参考课件74直接证明与间接证明（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.4直接证明与间接证明,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.直接证明 (1)综合法 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 框图表示:PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示要证的结论). 思维过程:由因导果.,-4-,知识梳理,双击自测,(2)分析法 定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明方法叫做分析法. 框图表示:QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的
2、条件(其中Q表示要证明的结论). 思维过程:执果索因. 2.间接证明 反证法:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明 原命题成立的证明方法.,-5-,知识梳理,双击自测,1.要证a2+b2-1-a2b20只要证明(),2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的假设为() A.a,b,c中至少有两个偶数 B.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 C.a,b,c都是奇数 D.a,b,c都是偶数,D,解析:a2+b2-1-a2b20(a2-1)(b2-1)0.,B,解析: “恰有一个偶数”的对立面是
3、“没有偶数或至少有两个偶数”.,-6-,知识梳理,双击自测,3.命题“对于任意角,cos4-sin4=cos 2”的证明:“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”过程应用了() A.分析法B.综合法 C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法,B,解析:因为证明过程是“从左往右”,即由条件结论.故选B.,4.设a,bR,且ab,a+b=2,则必有(),B,-7-,知识梳理,双击自测,5.在ABC中,BAC,ABC,ACB的对边分别为a,b,c,若a,b,c三边的倒数成等差数列,求证:ABC90.,证明:假设ABC90不成立,即ABC90
4、, 从而ABC是ABC的最大角,则b是ABC的最大边,故ABC90不成立,即ABC90.,-8-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.分析法是“执果索因”,实际上是寻找使结论成立的充分条件. 2.综合法和分析法都是直接证明的方法,反证法是间接证明的方法. 3.用反证法证题时必须先否定结论,否定结论就是找出结论的反面的情况. 4.反证法的步骤是:(1)准确反设;(2)从否定的结论正确推理;(3)得出矛盾.,-9-,考点一,考点二,考点三,综合法的应用(考点难度) 例1(1)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (2)(2016浙江嘉兴教学测试)已知数列an为正项数列,其前n项和为Sn,且
5、Sn满足4Sn=(an+1)2, 求证:数列an为等差数列;,(1)证明:由a2+b22ab(当且仅当a=b时,等号成立),b2+c22bc(当且仅当b=c时,等号成立),c2+a22ac(当且仅当a=c时,等号成立)得a2+b2+c2ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时,等号成立). 由题设得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.则3(ab+bc+ca)1, 即ab+bc+ca (当且仅当a=b=c时,等号成立).,-10-,考点一,考点二,考点三,-11-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.用综合法证明是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适应范围是
6、:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型. 2.综合法往往以分析法为基础,是分析法的逆过程.,-12-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)若a,b,c是不全相等的正数,求证:,-13-,考点一,考点二,考点三,-14-,考点一,考点二,考点三,分析法的应用(考点难度),-15-,考点一,考点二,考点三,-16-,考点一,考点二,考点三,方法总结分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用到的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对
7、值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.用分析法证明的格式为“要证只需证已知”的格式.,-17-,考点一,考点二,考点三,证明:因为a,b(0,+),所以要证原不等式成立,即证a6+2a3b3+b62ab成立,-18-,考点一,考点二,考点三,反证法的应用(考点难度),-19-,考点一,考点二,考点三,-20-,考点一,考点二,考点三,-21-,考点一,考点二,考点三,-22-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知a,b,c是互不相等的非零实数,用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有一个方程有两个相异实根.,证明:假设三个
8、方程都没有两个相异实根, 则1=4b2-4ac0,2=4c2-4ab0,3=4a2-4bc0. 上述三个式子相加得:a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a20. 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20. 由已知a,b,c是互不相等的非零实数. 因此,上式“=”不能同时成立, 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20,与事实不符, 故ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有一个方程有两个相异实根.,-23-,直接证明和间接证明在探索性问题中的应用 探索性问题没有结论,需要自己寻找结论.在探索性问题的研究中,有一种方法可以先通过猜想或者特殊值法确定结论,然后合理选择证明方法证明这个结论.,-24-,-25-,-26-,高分策略1.用综合法证明命题时,首先找到正确的出发点,一般的处理方法是广泛地联系已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结论. 2.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件. 3.对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件的关系,找到解题思路后,再运用综合法证明,或两种方法交叉使用. 4.反证法证明的实质是证明它的逆否命题成立.,
