《高中数学人教A浙江一轮参考课件86立体几何中的向量方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A浙江一轮参考课件86立体几何中的向量方法（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.6立体几何中的向量方法,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量. (2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面,那么称向量n垂直于平面,记作n.此时把向量n叫做平面的法向量.,-4-,知识梳理,双击自测,2.线面关系的判定 设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面的法向量为n2=(x2,y2,z2). (1)如果l1l2,那么e1e2e2=e1a2=a1,b2=b1,c2=c1. (2)如
2、果l1l2,那么e1e2e1e2=0a1a2+b1b2+c1c2=0. (3)若l1,则e1n1e1n1=0a1x1+b1y1+c1z1=0. (4)若l1,则e1n1e1=kn1a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1. (5)若,则n1n2n1=kn2x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2. (6)若,则n1n2n1n2=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.,-5-,知识梳理,双击自测,3.利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角 范围:两条异面直线所成的角的取值范围是 . 向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为,则有cos =|cos |. (2)直线与平面所成的
3、角 范围:直线和平面所成的角的取值范围是 . 向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为,a与u的夹角为,则有sin =|cos |或cos =sin .,-6-,知识梳理,双击自测,(3)二面角 二面角的取值范围是0,. 二面角的向量求法: 若AB,CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图).,设n1,n2分别是二面角-l-的两个面,的法向量,则图中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.,-7-,知识梳理,双击自测,1.若直线l
4、的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为n=(-2,0,-4),则() A.lB.l C.lD.l与相交,B,解析:n=-2a,a与的法向量平行,l.,-8-,知识梳理,双击自测,2.如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1, CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(),A,-9-,知识梳理,双击自测,3.正三棱锥的三个侧面两两垂直,则它的侧面与底面所成的二面角的余弦值为.,-10-,知识梳理,双击自测,4.P是二面角-AB-棱上的一点,分别在平面,内引射线PM,PN,如果BPM=BPN=45,MPN=60,那么二面角-AB-的大小为.,90,-1
5、1-,知识梳理,双击自测,5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线DE与平面A1BC1的夹角的正弦值为.,-12-,知识梳理,双击自测,-13-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示,理解直线平行与直线方向向量平行的差异,否则易造成解题不严谨. 2.利用空间向量求空间角,避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.,-14-,考点一,考点二,考点三,利用空间向量证明平行、垂直(考点难度) 例1如图所示,已知直三棱柱ABC-A
6、1B1C1中,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.求证: (1)DE平面ABC; (2)B1F平面AEF.,-15-,考点一,考点二,考点三,证明:(1)如图建立空间直角坐标系A-xyz, 令AB=AA1=4, 则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4). 取AB中点为N,连接CN,-16-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键. 2.证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或
7、证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算. 3.证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直,而直线与平面垂直、平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明.,-17-,考点一,考点二,考点三,对点训练如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:APBC; (2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC平面BMC.,证明:(1)如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系O-xy
8、z. 则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).,-18-,考点一,考点二,考点三,-19-,考点一,考点二,考点三,利用空间向量解决探索性问题(考点难度) 例2(2016云南昆明七校联考改编)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,E为BC中点. (1)求证:C1DD1E. (2)在棱AA1上是否存在一点M,使得BM平面AD1E?若存在,求 的值,若不存在,说明理由. (3)是否存在面B1AE和面AED1垂直?若存在,求AD的长;若不存在,请说明理由.,-20-,考点一,考点二,考点三,-21-,考点一,考点二,考点
9、三,平面B1AE的一个法向量为m=(2,a,-a). 二面角B1-AE-D1的大小为90, mn,mn=4+a2-2a2=0,a0,a=2,即AD=2.,-22-,考点一,考点二,考点三,方法总结立体几何开放性问题求解方法有以下两种: (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后再加以证明,得出结论; (2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.,-23-,考点一,考点二,考点三,对点训练如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC平面ABC,PA=PC=AC=
10、2,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l. (1)求证:直线l平面PAC. (2)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余?若存在,求出AQ的值;若不存在,请说明理由.,-24-,考点一,考点二,考点三,解:(1)证明:E,F分别为PC,PB的中点,BCEF. 又EF面EFA,BC面EFA,BC面EFA. 又BC面ABC,面EFA面ABC=l,BCl. 又BCAC,面PAC面ABC=AC,面PAC面ABC, BC面PAC.l面PAC. (2)以C为坐标原点, 的方向分别为x轴、y轴正方向,过C垂直面ABC且与P在面ACB同
11、侧的向量方向为z轴正方向建立空间直角坐标系,则,-25-,考点一,考点二,考点三,-26-,考点一,考点二,考点三,利用空间向量求空间角(考点难度) 考情分析从近几年高考来看,利用空间向量求空间角是每年必考内容,重点考查向量方法的应用,题目有一定难度.题目的常见类型有:(1)利用空间向量求异面直线所成的角;(2)利用空间向量求直线与平面所成的角;(3)利用空间向量求二面角.,-27-,考点一,考点二,考点三,类型一利用空间向量求异面直线所成的角 例3(2016上海高考)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图, ,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧. (1)求
12、三棱锥C-O1A1B1的体积; (2)求异面直线B1C与AA1所成的角的大小.,-28-,考点一,考点二,考点三,-29-,考点一,考点二,考点三,方法二:(坐标系法)以OO1所在直线为z轴,以OA所在直线为y轴,取BC中点D,以OD所在直线为x轴建空间坐标系也可得所成角为45.,-30-,考点一,考点二,考点三,对点训练(2016浙江杭州一模)在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,BCAD,ADC=90, BC=CD= AD=1,PA=PD,E,F分别为线段AD,PC的中点. (1)求证:PA平面BEF; (2)若直线PC与AB所成的角为45,求线段PE的
13、长.,-31-,考点一,考点二,考点三,-32-,考点一,考点二,考点三,-33-,考点一,考点二,考点三,类型二利用空间向量求直线与平面所成的角 例4(2016浙江杭州学军中学5月模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABPA,ABCD,且PB=BC=BD= ,CD=2AB= , PAD=120. (1)求证:平面PAD平面PCD; (2)求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值.,-34-,考点一,考点二,考点三,(1)证明:过点B作BEAD交CD于点E. ABCD,BEAD, 四边形ABED为平行四边形. AB=DE. 又CD=2AB,E为CD中点.BECD. 四边形ABED为矩形. ABA
14、D.又ABPA,PAAD=A,AB面PAD. 又ABCD,CD面PCD,面PAD面PCD.,-35-,考点一,考点二,考点三,-36-,考点一,考点二,考点三,-37-,考点一,考点二,考点三,对点训练(2016浙江义乌群星外国语学校5月模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5, DAB=ABC=90,E是CD的中点. (1)证明:CD平面PAE; (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.,-38-,考点一,考点二,考点三,解:(1)连接AC,由AB=4,BC=3,ABC=90,得AC=5.
15、 又AD=5,E是CD的中点,所以CDAE. 因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD. 而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线, 所以CD平面PAE. (2)过点B作BGCD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF. 由(1)CD平面PAE知,BG平面PAE. 于是BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BGAE. 由PA平面ABCD知,PBA为直线PB与平面ABCD所成的角. AB=4,BGAF. 由题意,知PBA=BPF.,-39-,考点一,考点二,考点三,-40-,考点一,考点二,考点三,类型三利用空间向量求二面角的大小 例5(2016浙江高考)如图,在三棱台ABC-DE
16、F中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求证:BF平面ACFD; (2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.,-41-,考点一,考点二,考点三,(1)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示. 因为平面BCFE平面ABC,且ACBC, 所以AC平面BCK,因此BFAC. 又因为EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2, 所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK. 所以BF平面ACFD. (2)解:过点F作FQAK于Q,连接BQ. 因为BF平面ACK,所以BFAK,则AK平面BQF,所以BQAK.所以BQF是二面角B-AD-F的平面角.,-42-,考点一,考点二,考点三,对点训练(2016浙江舟山中学仿真模拟)如图,已知长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点.将ADM沿AM折起,使得平面ADM平面ABCM. (1)求证:ADBM;,(1)证明:AB=2,AM=BM= ,BMAM, 又平面ADM平面ABCM,平面ADM
