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1、1.2命题及其关系、充分条件与必要条件,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以叫做命题,其中判断为真的语句叫做,判断为假的语句叫做.,判断真假的陈述句,真命题,假命题,-4-,知识梳理,双击自测,2.四种命题及其关系 (1)四种命题的表示及相互之间的关系 (2)四种命题的真假关系 互为逆否的两个命题(或). 互逆或互否的两个命题. 在四种形式的命题中真命题的个数只能是个.,等价,同真,同假,不等价,偶数,-5-,知识梳理,双击自测,3.充分条件与必要条件 (1)如果pq,那么p是q的,q是p的. (2)如果pq,qp,那么p是q的,记作.,充分条件,必要条
2、件,充要条件,pq,-6-,知识梳理,双击自测,(3)充分条件和必要条件与集合的关系: (p成立的对象的集合为A,q成立的对象的集合为B),充分不必要,A是B的真子集,必要不充分,B是A的真子集,充要,A与B相等,既不充分也不必要,A与B不互为子集,-7-,知识梳理,双击自测,1.命题“若a-3,则a-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数为() A.1B.2C.3D.4 2.“cos =cos ”是“=”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,B,解析:原命题为真命题,从而其逆否命题也为真命题; 逆命题“若a-6,则a-3”为假命
3、题,故否命题也为假命题.故选B.,B,解析:若cos =cos ,则=+2k(kZ)或=-+2k(kZ), 所以是必要不充分条件.,-8-,知识梳理,双击自测,3.设a,b是实数,则“ab”是“a2b2”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.p:|x-2|3,q:-1x5,则p是q的条件.,D,解析:当a=0,b=-1时,ab成立, 但a2=0,b2=1,a2b2不成立,所以“ab”不是“a2b2”的充分条件. 反之,当a=-1,b=0时,a2=1,b2=0,即a2b2成立, 但ab不成立,所以“ab”不是“a2b2”的必要条件.
4、综上,“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件,应选D.,必要不充分,-9-,知识梳理,双击自测,5.设条件p:x1,条件q:|x|1,条件r:-1x1,则p是q的 条件,r是p的条件,q是r的条件.,必要不充分,充分不必要,充要,解析:满足条件p的集合A=x|x1,满足条件q的集合B=x|x|1. 满足条件r的集合C=x|-1x1. 由于AB,故p是q的必要不充分条件; 由于CA,故r是p的充分不必要条件; 由于B=C,故q是r的充要条件.,-10-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.判断充分条件和必要条件,要紧扣它们的定义,p是q的充分不必要条件是指pq,但q/ p,而p是q的必要不充
5、分条件是指qp,但p/ q.两者是不同的,与集合有关的充分条件、必要条件的判断,可依据集合间的关系进行判断. 2.充分条件和必要条件的判断可以借助集合进行,常常能取得事半功倍的效果.,-11-,考点一,考点二,考点三,四种命题及其相互关系(考点难度) 例1(1)有下列四个命题:(1)若“xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;(2)“面积相等的三角形全等”的否命题;(3)“若m1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;(4)“若AB=B,则AB”的逆否命题.其中假命题为 () A.(1)(2)B.(2)(3)C.(4)D.(1)(3) (2)(2015山东高考)设mR,命题“若m0,则方程x
6、2+x-m=0有实根”的逆否命题是() A.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0,C,D,-12-,考点一,考点二,考点三,解析:对于(1),逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;对于(2),否命题为“面积不相等的三角形不是全等三角形”,是真命题;对于(3),逆否命题为“若x2-2x+m=0没有实数解,则m1”,是真命题;对于(4),原命题是假命题,所以它的逆否命题也是假命题,如A=1,2,3,4,5,B=4,5,显然AB是错误的.故选C. (2)原命
7、题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件,所以其逆否命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m0”.,-13-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.在根据原命题写出它的否命题和逆否命题时,首先要把条件和结论分清楚,其次要搞清命题中的一些关键词的否定词语.一些常见词语及其否定如下表:,2.命题的真假的判定:对于命题的真假判断,关键是分清命题的条件与结论,只有将条件与结论分清,再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假. 3.掌握原命题和逆否命题、否命题和逆命题的等价性,当一个命题直接判断真假性不容易进行时,可以转而判断其逆否命题的真假.,-14-,考点一,考点二,考点三,对点
8、训练(1)以下关于命题的说法正确的有(填写所有正确说法的序号). “若log2a0,则函数f(x)=log2a(a0,a1)在其定义域内是减函数”是真命题; 命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a0,则ab0”; 命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题; 命题“若aM,则bM”与命题“若bM,则aM”等价.,C,-15-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)对于,若log2a0=log21,则a1,所以函数f(x)=log2a在其定义域内是增函数,故不正确;对于,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x,y都是偶数”,
9、是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故不正确;对于,不难看出,命题“若aM,则bM”与命题“若bM,则aM”是互为逆否命题,因此二者等价,所以正确.综上可知,正确的说法有.,-16-,考点一,考点二,考点三,充分条件、必要条件的判断(考点难度) 例2(1)(2016浙江嘉兴期中)已知a,bR,则“ab1”是“logab1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2016山东高考)已知直线a,b分别在两个不同的平面,内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.
10、既不充分也不必要条件,A,A,-17-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)“ab1”“logabb1”是“logab1”的充分不必要条件,故选A. (2)若直线a,b相交,设交点为P,则Pa,Pb. 又因为a,b,所以P,P.故,相交. 反之,若,相交,设交线为l,当a,b都与直线l不相交时,则有ab. 显然a,b可能相交,也可能异面或平行. 综上,“直线a,b相交”是“平面,相交”的充分不必要条件.,-18-,考点一,考点二,考点三,方法总结判断充分条件、必要条件的方法: (1)命题判断法 设“若p,则q”为原命题,那么 原命题为真,逆命题为假时,则p是q的充分不必要条件; 原命题为假,
11、逆命题为真时,p是q的必要不充分条件; 当原命题与逆命题都为真时,p是q的充要条件; 当原命题与逆命题都为假时,p是q的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法 从集合的观点看,建立p,q相应的集合:p:A=x|p(x)成立, q:B=x|q(x)成立,那么 若AB,则p是q的充分条件;若AB,则p是q的充分不必要条件; 若BA,则p是q的必要条件;若BA,则p是q的必要不充分条件; 若AB,且BA,即A=B,则p是q的充要条件.,-19-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)(2016四川高考)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)22, q:实数x,y满足 则p是q的() A.必要
12、不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)“=2k+ (kZ)”是“tan =1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,A,A,-20-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)画出可行域(如图所示),可知命题q中不等式组表示的平面区域ABC在命题p中不等式表示的圆内,即p q,qp,所以p是q的必要不充分条件.故选A.,-21-,考点一,考点二,考点三,充分条件、必要条件的应用与探求(考点难度) 例3(1)(2016浙江嘉兴期中)已知p:m-15或m3D.m5或m3,B,D,-22-,考点一,考点二,考点
13、三,解析: (1)化简q:(x-2)(x-6)0,得q:2x6.,(2)因为函数f(x)的图象过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点函数y=-2x+a(x0)没有零点函数y=2x(x0)的图象与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a0或a1. 观察选项,根据集合间关系a|a1的子集,可知应选D.,-23-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.解决与充要条件有关的参数问题,一般是根据条件将问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解. 2.探求一个问题成立的充要条件,注意要从必要性和充分性两个方面考虑,一般先从必要性入手,再反过来讨论充分性是否成立.,-24-,考点一
14、,考点二,考点三,对点训练(1)(2016浙江3月冲刺)已知“命题p:(x-m)23(x-m)”是“命题q:x2+3x-41或m-7B.m1或m-7 C.-7m1D.-7m1 (2)方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是.,B,a1,解析: (1)命题p,q化简,可得p:xm+3,q:-4x1, p是q的必要不充分条件, m1或m+3-4m1或m-7.故选B.,-25-,考点一,考点二,考点三,-26-,思想方法转化与化归思想在充要条件中的应用 转化与化归是一种重要的数学思想,体现了“把未知问题化归到已有知识范围内可解”的求解策略,本节内容蕴含着丰富的转化与化归思想,对于一个难以
15、入手的命题,可以把命题转化为易于解决的等价命题,每一个等价命题都能提供一个解题思路.因此熟悉并掌握命题的多种等价形式是等价转化的前提,同时也是灵活解题的基础.,-27-,典例已知命题p: ,命题q:x2-2x+1-m20),若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是. 答案:m2,答题指导 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键.,-28-,对点训练已知命题 命题q:1-mx1+m,m0,若q是p的必要不充分条件,则m
16、的取值范围为.,9,+),解析:命题p:-2x10,q是p的必要不充分条件, x|-2x10 x|1-mx1+m,m0.,m9,即m的取值范围是9,+).,-29-,高分策略1.写一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断命题的真假时,可以借助原命题与其逆否命题同真或同假的关系来判定. 2.充要关系的几种判断方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假. (2)集合间关系法:设集合A=x|p(x),B=x|q(x),若AB,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若A=B,则p是q的充要条件. 3.注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言.,
