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1、,第一章,一、自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节 函数的极限,一、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例： 观察下列函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,时，,函数值的变化趋势:,1.,2.,3.,利用函数的图象分析,定义1 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界,(P36定理2),这表明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.
2、证明,证:,故,对任意的,当,时 ,因此,总有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 证明,证:,欲使,取,则当,时 , 必有,因此,只要,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 证明,证:,故,取,当,时 , 必有,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 证明: 当,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证 .,必有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 保号性定理,定理1 . 若,且 A 0 ,证: 已知,即,当,时, 有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,( 0),则存在,( A 0 ),(P37定理3),机动 目录 上页 下页 返
3、回 结束,若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时, 有,推论:,(P37 推论),分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2 . 若在,的某去心邻域内, 且,则,证: 用反证法.,则由定理 1,的某去心邻域 ,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),思考: 若定理 2 中的条件改为,是否必有,不能!,存在,如,假设 A 0 ,条件矛盾,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 左极限与右极限,左极限 :,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,定理 3 .,( P38 题8 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设函数,讨论,时,的极限是否存在
4、 .,解: 利用定理 3 .,因为,显然,所以,不存在 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,定义2 . 设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A 为函数,例6. 证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,几何意义 :,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
5、三、 函数极限与数列极限的关系,1. 函数极限与数列极限的关系,定理4.,有定义,为确定起见 , 仅讨论,的情形.,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4.,有定义,且,设,即,当,有,有定义 , 且,对上述 ,时, 有,于是当,时,故,可用反证法证明. (略),有,证：,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4.,有定义,且,有,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.讨论函数,，,当,时，,其极限是否存在？,例8.讨论,时，,的极限是否存在？,内容小结,1. 函数极限的,或,定义及应用,2. 函数极限的性质:,保号性定理与左右极限等价定理,思考与练习,1. 若极限,存在,2. 设函数,且,存在, 则,是否一定有,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,？,
