《高考数学理科课标Ⅱ专用复习专题测试命题规律探究题组分层精练第五章平面向量与解三角形53解三角形pptx共82》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理科课标Ⅱ专用复习专题测试命题规律探究题组分层精练第五章平面向量与解三角形53解三角形pptx共82（82页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点一正弦、余弦定理 1.(2014课标,4,5分,0.472)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=() A.5B.C.2D.1,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案BSABC=ABBCsin B=1sin B=, sin B=,B=45或135,若B=45,则由余弦定理得AC=1,ABC为直角三角形,不符合题 意,因此B=135,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-21=5,AC=.故 选B.,思路分析利用已知条件及三角形的面积公式求出B,再利用余弦定理求解.,易错警示忽视ABC为钝角三角形这一条件,而导致错误.,2.(2016课标全国,8,
2、5分)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=() A.B.C.-D.-,答案C解法一:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC= BC,在ABC中,由余弦定理的推论可知,cosBAC= - ,故选C. 解法二:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,在RtADC中,AC=BC, sinDAC=,cosDAC=,又因为B=,所以cosBAC=cos=cosDACcos -sinDACsin=-=-,故选C.,解法三:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC=BC,而 =(
3、+)(+)=+=BC2-BC2=-BC2,所以cos BAC=-,故选C. 解法四:过A作ADBC,垂足为D,设BC=3a(a0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以=(-a,-a),= (2a,-a),所以|=a,|=a,所以cosBAC=-,故选C.,解后反思解三角形问题一般利用正弦、余弦定理求解,有时也可根据具体条件,利用向量法或解析法求解.,3.(2015课标,16,5分,0.043)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.,答案(-
4、,+),解析依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中,由正弦定理得=.由题意可知,ADC=135,则ADB=135-.在ABD中,由正弦定理得 =.所以=,即y= . 因为075,+75=180,所以30105, 当=90时,易得y=; 当90时,y=,又tan 30=,tan 105=tan(60+45)=-2-,结合正切函数的性质知, (-2,),且0,所以y=(-,)(,+). 综上所述:y(-,+).,思路分析连接BD,把四边形问题转化为解三角形问题,令BD=x,AB=y,利用正弦定理建立函数关系求解.,疑难突破把四边形问题转化为解三角形
5、问题是关键,利用正弦定理建立函数关系求解是难点也是突破点.,4.(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为. (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.,解析本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用. (1)由题设得acsin B=,即csin B=. 由正弦定理得sin Csin B=. 故sin Bsin C=. (2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-, 即cos(B+C)=-. 所以B+C=,故A=. 由题设得bcsin A=,即bc=
6、8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=. 故ABC的周长为3+.,方法总结解三角形的综合应用. (1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将csin B=变形为sin Csin B=. (2)三角形面积公式:S=absin C=acsin B=bcsin A. (3)三角形的内角和为. 这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sin A.,5.(2014大纲全国,17,10分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A
7、=,求B.,解析由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A. 故3tan Acos C=2sin C, 因为tan A=,所以cos C=2sin C, tan C=. 所以tan B=tan180-(A+C) =-tan(A+C) = =-1, 即B=135.,6.(2015课标,17,12分,0.419)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍. (1)求; (2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.,解析(1)SABD=ABADsinBAD, SADC=ACADsinCAD. 因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC
8、. 由正弦定理可得=. (2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=. 在ABD和ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.,7.(2013课标全国,17,12分,0.463)如图,在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P为ABC内一 点,BPC=90. (1)若PB=,求PA; (2)若APB=150,求tanPBA.,解析(1)由已知得,PBC=60,所以PBA=30. 在PBA中,由余弦定理得PA2=3+-
9、2cos 30=.故PA=. (2)设PBA=,由已知得PB=sin . 在PBA中,由正弦定理得=, 化简得cos =4sin . 所以tan =,即tanPBA=.,思路分析(1)在PBA中,利用余弦定理求解. (2)利用正弦定理建立PBA的三角函数关系求解.,解题关键本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解能力和分析、解决问题的能力.题目新颖且有一定的难度,通过PB把PBC和PAB联系起来利用正弦定理求解是解题关键.,考点二解三角形及其综合应用 1.(2014课标,16,5分,0.465)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A
10、-sinB)= (c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.,答案,解析因为a=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=,又0A,故A =.因为cos A=,所以bc4,当且仅当b=c时取等号.由三角形面积公式知SABC=bcsin A=bc=bc,故ABC面积的最大值为.,思路分析利用正弦定理,把已知等式中的“角”统一到“边”,实现“边角统一”,最后利用余弦定理及三角形的面积公式求解.,2.(201
11、7课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cos B; (2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.,解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用. (1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B). 上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=. (2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac. 又SABC=2,则ac=. 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2a
12、c(1+cos B)=36-2=4. 所以b=2.,解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.,3.(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a= 2 ,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.,解析本题考查解三角形. (1)由已知可得tan A=-,所以A=. 在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0. 解得c=-6
13、(舍去),或c=4. (2)由题设可得CAD=, 所以BAD=BAC-CAD=. 故ABD面积与ACD面积的比值为=1. 又ABC的面积为42sinBAC=2, 所以ABD的面积为.,思路分析(1)由sin A+cos A=0,可求得tan A=-,注意到A是三角形内角,得A=,再由余弦 定理求c.(2)由题意知CAD=,BAD=,于是可求得的值,再由SABC=42sinBAC=2 得解.,一题多解(2)另解一:由余弦定理得cos C=,在RtACD中,cos C=,CD=,AD=, DB=CD=,SABD=SACD=2sin C=. 另解二:BAD=,由余弦定理得cos C=,CD=, AD
14、=,SABD=4sinDAB=. 另解三:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在ABE中,EAB=-=,AB=4,BE=2,BE =CA,从而可得ADCEDB,BD=DC,即D为BC中点,SABD=SABC=24sinCAB= .,4.(2013课标全国,17,12分,0.516)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B; (2)若b=2,求ABC面积的最大值.,解析(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又A=-(B+C), 故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsi
15、n C. 由,和C(0,)得sin B=cos B. 又B(0,),所以B=. (2)ABC的面积S=acsin B=ac. 由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos. 又a2+c22ac,故ac,当且仅当a=c时,等号成立. 因此ABC面积的最大值为+1.,思路分析(1)利用正弦定理把已知条件中的“边”化为“角”,结合三角形内角之间的关系求B. (2)利用余弦定理和基本不等式求解.,解题关键利用正弦、余弦定理进行边角转化是求解的关键;掌握求最值的基本方法是正确求解的前提.,5.(2016课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B
16、+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长.,解析(1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=,所以C=.(6分) (2)由已知,得absin C=. 又C=,所以ab=6.(8分) 由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7. 故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分) 所以ABC的周长为5+.(12分),思路分析本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.,解后反思本题属于解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦、余弦定理,将已知中的“边”或“角”的关系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或代数知识求解方程.解
