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1、第 1 页 共 6 页 解读高斯正十七边形的作法 正十七边形的尺规作法： 步骤 1：在平面直角坐标系xOy 中作单位圆 O 步骤 2：在 x 轴负半轴上取点N，使|ON| 4 1 ，易知 |NB| 4 17 ，以 N 为圆心， NB 为半 径作弧，交 x 轴于 F、F ， 易知|OF| 2 a ，|OF| 2 b 步骤 3：此时|FB|1 2 2 a 2 4 2 a ，以 F 为圆心， |FB| 为半径作弧，交x 轴正半轴 于 G，此时 |OG| 2 4 2 2 aa c 步骤 4：.类似地， |FB|1 2 2 b 2 4 2 b ，以 F 为圆心， |FB|为半径作弧，交x 轴 正半轴于点
2、 G ，此时 |OG | 2 4 2 2 bb e 步骤 5：以|CG |为直径作圆，交 y 轴正半轴于点 H，易知 OH 21e 第 2 页 共 6 页 步 骤 6 ： 以 H 为 圆 心 ， 2 1 |OG| 为 半 径 作 弧 ， 交 x 轴 正 半 轴 于 点 K ， 则 有 |OK| 2 2 2 OH OG 2 2 2 e c 2 4 2 ec 步骤 7：以 K 为圆心， |KH| 2 1 |OG| 为半径作弧，交x 轴正半轴于点L，则 |OL| 2 4 2 ecc 步骤 8：取 OL 的中点 M，则|OM| 4 4 2 ecc cos 17 2 步骤 9：过点 M 作 y 轴的并行
3、线交单位圆O 于两点 A2和 A17，则 为正十七边形的第一 个顶点， A2为第二个顶点， A17为第十七个顶点，从而作出正十七边形。 正十七边形边长的表达式 在上面得到的一系列等式： a 2 171 ，b 2 171 ，c 2 4 2 aa ， e 2 4 2 bb ， cos 17 2 4 4 2 ecc 中，依次求出 c 4 17234171 ， 第 3 页 共 6 页 e 4 17234171 。 从而求出 cos 17 2 的其它表达式： 可以验证，它们在数值上是相等的，其中以第二个表达式为最优。 在单位圆中，根据余弦定理，得正十七边形的边长为 17 2 cos22 ，将 cos 1
4、7 2 的值代 入，即可求出正十七边形的边长。 正十七边形的另一种作法 步骤 1： 作圆 O 的两条互相垂直的直径AC、BD； 在 OB 上截取 OE 1 4OB，连接 E ； 作FEO1 4 EO 交 O 于点 F； 作GEF 4 ，边 EG 交 CO 于点 G。 第 4 页 共 6 页 步骤 2： 以 G 为直径作圆 O ，交 OB 于点 H； 再以点 F 为圆心，经过点 H 作圆 F，交 AC 于 N4 和 N6 两点。 步骤 3： 过 N4 作 AC 的垂线交圆 O 于点 P4， 过 G6 作 AC 的垂线交圆 O 于点 P6， 则以圆 O 为基准圆， 为正十七边形的第一个顶点P1，
5、P4 为第四个顶点， P6 为第六个顶点。 以 1 2 弧 P4P6 所对的弦为半径，即可在圆O 上截出正十七边形的所有顶点。 第 5 页 共 6 页 很久以前，古希腊数学家曾深入研究过一类作图问题，即：如何利用尺规作圆的内接正多 边形。早在几何原本一书中，欧几里德就用尺规完成了圆内接正三边形、正四边形、正五 边形，甚至正十五边形的作图问题。然而，似乎更容易完成的正7、9、11 边形却未能作出。 让后来数学家尴尬的是，欧几里德之后的2000 多年中，有关正多边形作图仍停留在欧几里德 的水平上，未能向前迈进一步。因此，我们可以想象得到，当1796 年年仅 19 岁的高斯宣布 他发现了正十七边形的
6、作图方法时，会在数学界引起多么巨大的震憾了。 不过，高斯的结果多少显得有些奇怪。他没有完成正七边形或正九边形等的作图，却偏偏 隔下中间这一些直接完成了正十七边形。为什么第一个新作出的正多边形是正十七边形而不是 正七、九边形呢？在高斯的伟大发现之后，问题仍然存在：正七边形或正九边形等是否可尺规 完成？或者更清楚地阐述这个问题：正多边形的边数具有什么特征时，它才能用尺规作出？ 在经过继续研究后，高斯最终在1801 年对整个问题给出了一个完美的解答。高斯指出， 只用直尺和圆规作圆内接正n 边形，当 n 满足如下特征之一时方可作出： 1) n2 m；（其中 m 为正整数） 2) 边数 n 为质数且形如
7、n22t+1（其中 t 为非负整数），即n 为质数的费马 ( Fermat ) 数。 3) 边数n 具有 n2 mp1p2 p3pk的形式（其中p1，p2，p3， ，pk为互不相同的费 马质数）。 由高斯的结论，具有质数n 条边的正多边形可用尺规作出的必要条件是n 为费马数。由于 我们目前发现的费马质数只有前五个费马数，因此，边数是费马数的正多边形中，只有正3、 5、17、257、65537 边形可用尺规作出（除非你能发现另一个费马质数）。进一步，可以作 出的有奇数条边的正多边形也就只能通过这五个数组合而得到，这样的组合数只有31 种。而 边数为偶数的可尺规作出的正多边形，边数或是2 的任意次正整数幂或与这31 个数经过组合 第 6 页 共 6 页 而得到。 黎西罗给出了正257 边形的尺规作法，写满了整整80 页纸。盖尔梅斯给出了正65537 边形的尺规作法，此手稿整整装满了一只手提箱，现存于德国哥廷根大学。这是有史以来最繁 琐的尺规作图。
