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1、第 1 页 共 6 页 解读高斯正十七边形的作法 正十七边形的尺规作法: 步骤 1:在平面直角坐标系xOy 中作单位圆 O 步骤 2:在 x 轴负半轴上取点N,使|ON| 4 1 ,易知 |NB| 4 17 ,以 N 为圆心, NB 为半 径作弧,交 x 轴于 F、F , 易知|OF| 2 a ,|OF| 2 b 步骤 3:此时|FB|1 2 2 a 2 4 2 a ,以 F 为圆心, |FB| 为半径作弧,交x 轴正半轴 于 G,此时 |OG| 2 4 2 2 aa c 步骤 4:.类似地, |FB|1 2 2 b 2 4 2 b ,以 F 为圆心, |FB|为半径作弧,交x 轴 正半轴于点
2、 G ,此时 |OG | 2 4 2 2 bb e 步骤 5:以|CG |为直径作圆,交 y 轴正半轴于点 H,易知 OH 21e 第 2 页 共 6 页 步 骤 6 : 以 H 为 圆 心 , 2 1 |OG| 为 半 径 作 弧 , 交 x 轴 正 半 轴 于 点 K , 则 有 |OK| 2 2 2 OH OG 2 2 2 e c 2 4 2 ec 步骤 7:以 K 为圆心, |KH| 2 1 |OG| 为半径作弧,交x 轴正半轴于点L,则 |OL| 2 4 2 ecc 步骤 8:取 OL 的中点 M,则|OM| 4 4 2 ecc cos 17 2 步骤 9:过点 M 作 y 轴的并行
3、线交单位圆O 于两点 A2和 A17,则 为正十七边形的第一 个顶点, A2为第二个顶点, A17为第十七个顶点,从而作出正十七边形。 正十七边形边长的表达式 在上面得到的一系列等式: a 2 171 ,b 2 171 ,c 2 4 2 aa , e 2 4 2 bb , cos 17 2 4 4 2 ecc 中,依次求出 c 4 17234171 , 第 3 页 共 6 页 e 4 17234171 。 从而求出 cos 17 2 的其它表达式: 可以验证,它们在数值上是相等的,其中以第二个表达式为最优。 在单位圆中,根据余弦定理,得正十七边形的边长为 17 2 cos22 ,将 cos 1
4、7 2 的值代 入,即可求出正十七边形的边长。 正十七边形的另一种作法 步骤 1: 作圆 O 的两条互相垂直的直径AC、BD; 在 OB 上截取 OE 1 4OB,连接 E ; 作FEO1 4 EO 交 O 于点 F; 作GEF 4 ,边 EG 交 CO 于点 G。 第 4 页 共 6 页 步骤 2: 以 G 为直径作圆 O ,交 OB 于点 H; 再以点 F 为圆心,经过点 H 作圆 F,交 AC 于 N4 和 N6 两点。 步骤 3: 过 N4 作 AC 的垂线交圆 O 于点 P4, 过 G6 作 AC 的垂线交圆 O 于点 P6, 则以圆 O 为基准圆, 为正十七边形的第一个顶点P1,
5、P4 为第四个顶点, P6 为第六个顶点。 以 1 2 弧 P4P6 所对的弦为半径,即可在圆O 上截出正十七边形的所有顶点。 第 5 页 共 6 页 很久以前,古希腊数学家曾深入研究过一类作图问题,即:如何利用尺规作圆的内接正多 边形。早在几何原本一书中,欧几里德就用尺规完成了圆内接正三边形、正四边形、正五 边形,甚至正十五边形的作图问题。然而,似乎更容易完成的正7、9、11 边形却未能作出。 让后来数学家尴尬的是,欧几里德之后的2000 多年中,有关正多边形作图仍停留在欧几里德 的水平上,未能向前迈进一步。因此,我们可以想象得到,当1796 年年仅 19 岁的高斯宣布 他发现了正十七边形的
6、作图方法时,会在数学界引起多么巨大的震憾了。 不过,高斯的结果多少显得有些奇怪。他没有完成正七边形或正九边形等的作图,却偏偏 隔下中间这一些直接完成了正十七边形。为什么第一个新作出的正多边形是正十七边形而不是 正七、九边形呢?在高斯的伟大发现之后,问题仍然存在:正七边形或正九边形等是否可尺规 完成?或者更清楚地阐述这个问题:正多边形的边数具有什么特征时,它才能用尺规作出? 在经过继续研究后,高斯最终在1801 年对整个问题给出了一个完美的解答。高斯指出, 只用直尺和圆规作圆内接正n 边形,当 n 满足如下特征之一时方可作出: 1) n2 m;(其中 m 为正整数) 2) 边数 n 为质数且形如
7、n22t+1(其中 t 为非负整数),即n 为质数的费马 ( Fermat ) 数。 3) 边数n 具有 n2 mp1p2 p3pk的形式(其中p1,p2,p3, ,pk为互不相同的费 马质数)。 由高斯的结论,具有质数n 条边的正多边形可用尺规作出的必要条件是n 为费马数。由于 我们目前发现的费马质数只有前五个费马数,因此,边数是费马数的正多边形中,只有正3、 5、17、257、65537 边形可用尺规作出(除非你能发现另一个费马质数)。进一步,可以作 出的有奇数条边的正多边形也就只能通过这五个数组合而得到,这样的组合数只有31 种。而 边数为偶数的可尺规作出的正多边形,边数或是2 的任意次正整数幂或与这31 个数经过组合 第 6 页 共 6 页 而得到。 黎西罗给出了正257 边形的尺规作法,写满了整整80 页纸。盖尔梅斯给出了正65537 边形的尺规作法,此手稿整整装满了一只手提箱,现存于德国哥廷根大学。这是有史以来最繁 琐的尺规作图。