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1、- 1 -,习 题 课 6,解,得驻点,- 2 -,例2 求由曲线,与直线,所围的,平面图形的面积。,解,- 3 -,例3 在曲线,求一点，,使该曲线与过该点的,轴所围的平面图形的面积恰为该点的纵坐标。,解,设该点坐标为,则切线方程为,由题意知,或,所以所求的点为,切线及,- 4 -,例4 由原点作抛物线,的两条切线，,设切点分别为,求切线,及其抛物线所围,的平面图形的面积。,解,设切点坐标为,切线斜率为,切线方程为,切线过原点,得,切线方程为,- 5 -,例5 设曲边梯形是由连续曲线,与两直线,所围成的，求证：存在直线,将曲边梯形的面积平分 .,- 6 -,例6 抛物线,通过原点，且与直线,
2、所围的平面图形的面积为1，确定,使此,平面图形绕,轴旋转一周所得的旋转体体积最小。,解,所以,因此,即,- 7 -,- 8 -,例7 求摆线,的一拱,与,轴、,轴所围的平面图形的面积，,及其绕,轴旋转一,周所得的旋转体体积。,解,- 9 -,- 10 -,- 11 -,例8 求半径为,两直交圆柱体的共同部分的体积,解,为积分区间，,建立如图所示的坐标系，,所以,- 12 -,例9 求,绕,旋转体的体积 .,旋转所成,解,- 13 -,- 14 -,解,例11 求极坐标系下曲线,的长.,- 15 -,例12 在摆线,上求分,的点的坐标.,摆线第一拱,成,解,设分点对应的参数为,则,即,所求点为,
3、- 16 -,例13 有一旋转体，它由曲线,以及直线,所围成的平面图形,旋转而,成，,已知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴的距离，,求它的质量 .,解,为积分区间，,体密度,- 17 -,解,如图所示建立坐标系.,例14,为积分区间，,- 18 -,解,如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为,例15,- 19 -,- 20 -,- 21 -,例16 设曲线,为单调函数，并具有连续导数，,今在曲线上任取一点作,如果平行于,围成的面积是另一条平行线与,的面积的两倍，,求曲线方程.,过原点及点,且,两坐标轴的平行线，,轴和,轴和曲线,围成,的平行线与,曲线,解,设曲线上的任意一点的坐标为,则平行于,轴和,的平行线与,曲线,围成,的面积为,则平行于,轴和,的平行线与,曲线,围成,的面积为,- 22 -,由题意,即,所以,过点,所以所求曲线为,
