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1、寒假作业(十)等差、等比数列(注意命题点的区分度)一、选择题1已知等比数列an中，a22，a68，则a3a4a5()A64 B64C32 D16解析：选B由等比数列的性质可知a2a6a16，而a2，a4，a6同号，所以a44，所以a3a4a5a64.2已知等差数列an中，a112，S130，则使得an0的最小正整数n为()A7 B8C9 D10解析：选B由已知得S1313a70，故a70，又a1120的最小正整数n为8.3已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则()A4 B6C8 D10解析：选C设数列an的公差为d，则S1a1，S22a1d，S44a16
2、d，故(2a1d)2a1(4a16d)，整理得d2a1，所以8，选C.4数列an满足：an1an1(nN*，R且0)，若数列an1是等比数列，则的值为()A1 B1C. D2解析：选D由an1an1，得an11an2.由于数列an1是等比数列，所以1，得2.5(2018届高三吉林实验中学摸底)已知等差数列an的前n项和为Sn，若6a32a43a25，则S7()A28 B21C14 D7解析：选D法一：由6a32a43a25，得6(a12d)2(a13d)3(a1d)5a115d5(a13d)5，即5a45，所以a41，所以S77a47，故选D.法二：由6a32a43a25，得6(a4d)2a4
3、3(a42d)5，即5a45，所以a41，所以S77a47，故选D.6在数列an中，“an2an1，n2，nN*”是“an是公比为2的等比数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B当an0时，也有an2an1，n2，nN*，但an不是等比数列，因此充分性不成立；当an是公比为2的等比数列时，有2，n2，nN*，即an2an1，n2，nN*，所以必要性成立故选B.7(2017福州质检)设等差数列an的公差d0，且a2d，若ak是a6与ak6的等比中项，则k()A5 B6C9 D11解析：选C因为ak是a6与ak6的等比中项，所以aa6ak6.又等差
4、数列an的公差d0，且a2d，所以a2(k2)d2(a24d)a2(k4)d，所以(k3)23(k3)，解得k9或k0(舍去)，故选C.8设等差数列an满足a27，a43，Sn是数列an的前n项和，则使得Sn0成立的最大的自然数n是()A9 B10C11 D12解析：选A由题可得an的公差d2，a19，所以an2n11，可见an是递减数列，且a50a6，a5a60，于是S990，S10100，S11110成立的最大的自然数n为9.9已知an是首项为a，公差为1的等差数列，数列bn满足bn，若对任意的nN*，都有bnb8成立，则实数a的取值范围是()A(8，7) B(7，6)C(8，6) D(6
5、，5)解析：选Abn1，对任意的nN*，都有bnb8成立，又an为递增数列，即a(8，7)10(2018届高三江西九校联考)已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若a1a6a113，b1b6b117，则tan的值是()A1 B.C D解析：选Dan是等比数列，bn是等差数列，且a1a6a113，b1b6b117，a()3,3b67，a6，b6，tantantantantantan .11已知函数yf(x)的定义域为R，当x1，且对任意的实数x，y，等式f(x)f(y)f(xy)恒成立若数列an满足a1f(0)，且f(an1)(nN*)，则a2 017的值为()A4 033 B3 029C
6、2 249 D2 209解析：选A根据题意，不妨设f(x)x，则a1f(0)1，f(an1)，an1an2，数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，an2n1，a2 0174 033.12已知数列an的首项a12，数列bn为等比数列，且bn，若b10b112，则a21()A29 B210C211 D212解析：选C由bn，且a12，得b1，a22b1；b2，a3a2b22b1b2；b3，a4a3b32b1b2b3；an2b1b2b3bn1，a212b1b2b3b20.又bn为等比数列，a212(b1b20)(b2b19)(b10b11)2(b10b11)10211.二、填空题13(2017北
7、京高考)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.解析：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则a413d8，解得d3；b41q38，解得q2.所以a2132，b21(2)2，所以1.答案：114定义运算：adbc，若数列an满足1且12(nN*)，则数列an的通项公式an_.解析：由题意得a111,3an13an12，即a12，an1an4，数列an是以2为首项，4为公差的等差数列，an24(n1)4n2.答案：4n215如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差构成等比数列，我们就称其为“差等比数列”已知数列an是差等比数列，且a11，a23，a37，则a
8、10_.解析：设bnan1an，则b1a2a12，b2a3a24，又数列bn为等比数列，所以bn2n，从而a10a1b1b2b912222921011 023.答案：1 02316(2017兰州诊断)已知数列an中，a11，Sn为数列an的前n项和，且当n2时，有1成立，则S2 017_.解析：当n2时，由1，得2(SnSn1)(SnSn1)SnSSnSn1，1，又2，是以2为首项，1为公差的等差数列，n1，故Sn，则S2 017.答案：三、解答题17(2017广西三市一联)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog4an1，求bn的前n
9、项和Tn.解：(1)当n2时，anSnSn12n1，当n1时，a1211，满足an2n1，数列an的通项公式为an2n1(nN*)(2)由(1)得，bnlog42n11，则bn1bn，数列bn是首项为1，公差d的等差数列，Tnnb1d.18已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan14Sn1(nN*)(1)证明：an2an4；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：anan14Sn1，an1an24Sn11，an1(an2an)4an1.又an0，an2an4.(2)由anan14Sn1，a11，得a23.由an2an4知数列a2n和a2n1都是公差为4的等差数列，a2n34(n
10、1)2(2n)1，a2n114(n1)2(2n1)1，an2n1.19(2017北京高考)已知等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通项公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.解：(1)设等差数列an的公差为d.因为所以2a14d10，解得d2，所以an2n1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b11，b2b4a5，所以b1qb1q39.解得q23.所以b2n1b1q2n23n1.从而b1b3b5b2n113323n1.20在等差数列an中，a3a4a584，a973.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.解：(1)因为an是等差数列，a3a4a584，所以a3a4a53a484，即a428，设数列an的公差为d，则5da9a4732845，故d9.由a4a13d，得28a139，即a11，所以ana1(n1)d19(n1)9n8，nN*.(2)对任意mN*，若9man92m，则9m89n92m8，因此9m11n92m1，故得bm92m19m1，于是Smb1b2bm(99392m1)(199m1).6
