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1、寒假作业(十)等差、等比数列(注意命题点的区分度)一、选择题1已知等比数列an中,a22,a68,则a3a4a5()A64 B64C32 D16解析:选B由等比数列的性质可知a2a6a16,而a2,a4,a6同号,所以a44,所以a3a4a5a64.2已知等差数列an中,a112,S130,则使得an0的最小正整数n为()A7 B8C9 D10解析:选B由已知得S1313a70,故a70,又a1120的最小正整数n为8.3已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则()A4 B6C8 D10解析:选C设数列an的公差为d,则S1a1,S22a1d,S44a16
2、d,故(2a1d)2a1(4a16d),整理得d2a1,所以8,选C.4数列an满足:an1an1(nN*,R且0),若数列an1是等比数列,则的值为()A1 B1C. D2解析:选D由an1an1,得an11an2.由于数列an1是等比数列,所以1,得2.5(2018届高三吉林实验中学摸底)已知等差数列an的前n项和为Sn,若6a32a43a25,则S7()A28 B21C14 D7解析:选D法一:由6a32a43a25,得6(a12d)2(a13d)3(a1d)5a115d5(a13d)5,即5a45,所以a41,所以S77a47,故选D.法二:由6a32a43a25,得6(a4d)2a4
3、3(a42d)5,即5a45,所以a41,所以S77a47,故选D.6在数列an中,“an2an1,n2,nN*”是“an是公比为2的等比数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:选B当an0时,也有an2an1,n2,nN*,但an不是等比数列,因此充分性不成立;当an是公比为2的等比数列时,有2,n2,nN*,即an2an1,n2,nN*,所以必要性成立故选B.7(2017福州质检)设等差数列an的公差d0,且a2d,若ak是a6与ak6的等比中项,则k()A5 B6C9 D11解析:选C因为ak是a6与ak6的等比中项,所以aa6ak6.又等差
4、数列an的公差d0,且a2d,所以a2(k2)d2(a24d)a2(k4)d,所以(k3)23(k3),解得k9或k0(舍去),故选C.8设等差数列an满足a27,a43,Sn是数列an的前n项和,则使得Sn0成立的最大的自然数n是()A9 B10C11 D12解析:选A由题可得an的公差d2,a19,所以an2n11,可见an是递减数列,且a50a6,a5a60,于是S990,S10100,S11110成立的最大的自然数n为9.9已知an是首项为a,公差为1的等差数列,数列bn满足bn,若对任意的nN*,都有bnb8成立,则实数a的取值范围是()A(8,7) B(7,6)C(8,6) D(6
5、,5)解析:选Abn1,对任意的nN*,都有bnb8成立,又an为递增数列,即a(8,7)10(2018届高三江西九校联考)已知数列an是等比数列,数列bn是等差数列,若a1a6a113,b1b6b117,则tan的值是()A1 B.C D解析:选Dan是等比数列,bn是等差数列,且a1a6a113,b1b6b117,a()3,3b67,a6,b6,tantantantantantan .11已知函数yf(x)的定义域为R,当x1,且对任意的实数x,y,等式f(x)f(y)f(xy)恒成立若数列an满足a1f(0),且f(an1)(nN*),则a2 017的值为()A4 033 B3 029C
6、2 249 D2 209解析:选A根据题意,不妨设f(x)x,则a1f(0)1,f(an1),an1an2,数列an是以1为首项,2为公差的等差数列,an2n1,a2 0174 033.12已知数列an的首项a12,数列bn为等比数列,且bn,若b10b112,则a21()A29 B210C211 D212解析:选C由bn,且a12,得b1,a22b1;b2,a3a2b22b1b2;b3,a4a3b32b1b2b3;an2b1b2b3bn1,a212b1b2b3b20.又bn为等比数列,a212(b1b20)(b2b19)(b10b11)2(b10b11)10211.二、填空题13(2017北
7、京高考)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11,a4b48,则_.解析:设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,则a413d8,解得d3;b41q38,解得q2.所以a2132,b21(2)2,所以1.答案:114定义运算:adbc,若数列an满足1且12(nN*),则数列an的通项公式an_.解析:由题意得a111,3an13an12,即a12,an1an4,数列an是以2为首项,4为公差的等差数列,an24(n1)4n2.答案:4n215如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差构成等比数列,我们就称其为“差等比数列”已知数列an是差等比数列,且a11,a23,a37,则a
8、10_.解析:设bnan1an,则b1a2a12,b2a3a24,又数列bn为等比数列,所以bn2n,从而a10a1b1b2b912222921011 023.答案:1 02316(2017兰州诊断)已知数列an中,a11,Sn为数列an的前n项和,且当n2时,有1成立,则S2 017_.解析:当n2时,由1,得2(SnSn1)(SnSn1)SnSSnSn1,1,又2,是以2为首项,1为公差的等差数列,n1,故Sn,则S2 017.答案:三、解答题17(2017广西三市一联)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn2n1(nN*)(1)求数列an的通项公式;(2)设bnlog4an1,求bn的前n
9、项和Tn.解:(1)当n2时,anSnSn12n1,当n1时,a1211,满足an2n1,数列an的通项公式为an2n1(nN*)(2)由(1)得,bnlog42n11,则bn1bn,数列bn是首项为1,公差d的等差数列,Tnnb1d.18已知数列an的前n项和为Sn,a11,an0,anan14Sn1(nN*)(1)证明:an2an4;(2)求数列an的通项公式解:(1)证明:anan14Sn1,an1an24Sn11,an1(an2an)4an1.又an0,an2an4.(2)由anan14Sn1,a11,得a23.由an2an4知数列a2n和a2n1都是公差为4的等差数列,a2n34(n
10、1)2(2n)1,a2n114(n1)2(2n1)1,an2n1.19(2017北京高考)已知等差数列an和等比数列bn满足a1b11,a2a410,b2b4a5.(1)求an的通项公式;(2)求和:b1b3b5b2n1.解:(1)设等差数列an的公差为d.因为所以2a14d10,解得d2,所以an2n1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b11,b2b4a5,所以b1qb1q39.解得q23.所以b2n1b1q2n23n1.从而b1b3b5b2n113323n1.20在等差数列an中,a3a4a584,a973.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意mN*,将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列bm的前m项和Sm.解:(1)因为an是等差数列,a3a4a584,所以a3a4a53a484,即a428,设数列an的公差为d,则5da9a4732845,故d9.由a4a13d,得28a139,即a11,所以ana1(n1)d19(n1)9n8,nN*.(2)对任意mN*,若9man92m,则9m89n92m8,因此9m11n92m1,故得bm92m19m1,于是Smb1b2bm(99392m1)(199m1).6