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1、【2019最新】精选高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形热点探究课2三角函数与解三角形中的高考热点问题教师用书文新人教A版命题解读从近五年全国卷高考试题来看,解答题第1题(全国卷T17)交替考查三角函数、解三角形与数列,本专题的热点题型有:一是三角函数的图象与性质;二是解三角形;三是三角恒等变换与解三角形的综合问题,中档难度,在解题过程中应挖掘题目的隐含条件,注意公式的内在联系,灵活地正用、逆用、变形应用公式,并注重转化思想与数形结合思想的应用热点1三角函数的图象与性质(答题模板)要进行五点法作图、图象变换,研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性,求三角函数的单调区间、最值等,都应先进
2、行三角恒等变换,将其化为一个角的一种三角函数,求解这类问题,要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换(本小题满分12分)已知函数f(x)2sincossin(x)(1)求f(x)的最小正周期;(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值思路点拨(1)先逆用倍角公式,再利用诱导公式、辅助角公式将f(x)化为正弦型函数,然后求其周期(2)先利用平移变换求出g(x)的解析式,再求其在给定区间上的最值规范解答(1)f(x)2sincossin(x)3分cos xsin x2sin,5分于是T2.6分(
3、2)由已知得g(x)f2sin.8分x0,x,sin,10分g(x)2sin1,2.11分故函数g(x)在区间0,上的最大值为2,最小值为1.12分答题模板解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为:第一步(化简):将f(x)化为asin xbcos x的形式第二步(用辅助角公式):构造f(x).第三步(求性质):利用f(x)sin(x)研究三角函数的性质第四步(反思):反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范温馨提示1.在第(1)问的解法中,使用辅助角公式asin bcos sin (),在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注. 2求g(x)的最值一定要重视定
4、义域,可以结合三角函数图象进行求解对点训练1(2016石家庄模拟)已知函数f(x)Asin xBcos x(A,B,是常数,0)的最小正周期为2,并且当x时,f(x)max2.(1)求f(x)的解析式;(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由解(1)因为f(x)sin(x),由它的最小正周期为2,知2,.2分又因为当x时,f(x)max2,知2k(kZ),2k(kZ),4分所以f(x)2sin2sin(kZ)故f(x)的解析式为f(x)2sin.5分(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称轴,令xk(kZ
5、),解得xk(kZ).7分由k,解得k,9分又kZ,知k5,10分由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴,其方程为x.12分热点2解三角形从近几年全国卷来看,高考命题强化了解三角形的考查力度,着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用,求解的关键是实施边角互化,同时结合三角恒等变换进行化简与求值(2015全国卷)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍(1)求;(2)若AD1,DC,求BD和AC的长解(1)SABDABADsinBAD,SADCACADsinCAD.2分因为SABD2SADC,BADCAD,所以AB2AC.由正弦定理,得.5分(2)因为SABDSADCB
6、DDC,所以BD.7分在ABD和ADC中,由余弦定理,知AB2AD2BD22ADBDcosADB,AC2AD2DC22ADDCcosADC.9分故AB22AC23AD2BD22DC26.由(1),知AB2AC,所以AC1.12分规律方法解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式,要适时、适度进行“角化边”或“边化角”,要抓住能用某个定理的信息一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则两个定理都有可能用到对点训练2(2016天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为
7、a,b,c.已知asin 2Bbsin A.(1)求B;(2)若cos A,求sin C的值解(1)在ABC中,由,可得asin Bbsin A2分又由asin 2Bbsin A,得2asin Bcos Bbsin Aasin B,所以cos B,得B.5分(2)由cos A,可得sin A,则sin Csin(AB)sin(AB)sinsin Acos A.12分热点3三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体,三角恒等变换与解三角形交汇命题,是近几年高考试题的一大亮点,主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用,求解的关键是根据题目提供的信息,恰当地实施边角互化(2017东北三
8、省四市一联)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求的值;(2)若角A是钝角,且c3,求b的取值范围解(1)由题意及正弦定理得sin Ccos B2sin Ccos A2sin Acos Csin Bcos C,2分sin Ccos Bsin Bcos C2(sin Ccos Asin Acos C)sin(BC)2sin(AC)ABC,sin A2sin B,2.5分(2)由余弦定理得cos A.7分bca,即b32b,b3,由得b的范围是(,3).12分规律方法1.以三角形为载体,实质考查三角形中的边角转化,求解的关键是抓住边角间的关系,恰当选择正、余弦定理2解三角形
9、常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件),此时应首先确定三角形的边角关系,然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化对点训练3在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan 2. 【导学号:31222140】(1)求的值;(2)若B,a3,求ABC的面积解(1)由tan2,得tan A,所以.5分(2)由tan A,A(0,),得sin A,cos A.7分由a3,B及正弦定理,得b3.9分由sin Csin(AB)sin,得sin C.设ABC的面积为S,则Sabsin C9.12分热点探究训练(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题1(2016江苏高考)在
10、ABC中,AC6,cos B,C.(1)求AB的长;(2)求cos的值解(1)因为cos B,0B,所以sin B.2分由正弦定理知,所以AB5.5分(2)在ABC中,ABC,所以A(BC),于是cos Acos(BC)coscos Bcos sin Bsin .7分又cos B,sin B,故cos A.9分因为0A,所以sin A.因此,coscos Acos sin Asin .12分2(2016山东高考)设f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左
11、平移个单位,得到函数yg(x)的图象,求g的值解(1)f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1,3分由2k2x2k(kZ),得kxk(kZ),所以f(x)的单调递增区间是(kZ).6分(2)由(1)知f(x)2sin1,8分把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y2sin1的图象,再把得到的图象向左平移个单位,得到y2sin x1的图象,即g(x)2sin x1,所以g2sin 1.12分3在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c
12、.已知cos B,sin(AB),ac2,求sin A和c的值解在ABC中,由cos B,得sin B,2分因为ABC,所以sin Csin(AB),4分又sin Csin B,所以CB,可知C为锐角,所以cos C,所以sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.8分由,得a2c,又ac2,所以c1.12分4(2017郑州二次质量预测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos 2Ccos 2A2sinsin.(1)求角A的值;(2)若a且ba,求2bc的取值范围解(1)由已知得2sin2A2sin2C2,3分化简得sin A,故A或A.5分(2)由正弦定理2,得b2sin B,c2sin C,7分故2bc4sin B2sin C4sin B2sin3sin Bcos B2sin.9分因为ba,所以B,B,所以2bc2sin,2).12分9 / 9