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1、寒假作业(十五)椭圆、双曲线、抛物线(注意速度和准度)一、“124”提速练1抛物线C：x16y2的准线方程为()AyBy4Cx Dx4解析：选C由抛物线C：x16y2，可得C：y2x，其焦点为，故其准线方程为x.2若双曲线C1：1与C2：1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b()A2 B4C6 D8解析：选B由题意得，2b2a，C2的焦距2c4c2b4.3(2017长沙一模)椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析：选C易知bc，故a2b2c24，从而椭圆E的标准方
2、程为1.4已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|8，则|AF2|BF2|()A2 B10C12 D14解析：选C由题意，长半轴长a5，由椭圆定义知：|AB|AF2|BF2|4a20.|AB|8，|AF2|BF2|20812.5已知抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()A B1C D解析：选A设M(x0，y0)，易知焦点为F，由抛物线的定义得|MF|x02p，所以x0p，故y2pp3p2，解得y0p，故直线MF的斜率k，选A.6已知直线l：ykx2过椭圆1(ab0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2y24截得的弦长为L，若
3、L，则椭圆的离心率e的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B依题意，b2，kc2，则k，设圆心到直线l的距离为d，则L2，解得d2.又d，所以，解得k2.于是e2，所以0e2，解得0e.7已知圆M经过双曲线S：1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线S上，则圆心M到原点O的距离为()A.或 B.或C. D.解析：选D因为圆M经过双曲线S：1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线S上，不妨设圆M经过双曲线的右顶点和右焦点，M(xM，yM)，则圆心M到双曲线的右焦点(5,0)与右顶点(3,0)的距离相等，所以xM4，代入双曲线方程可得yM ，所以|OM| ，故选D.8设双曲线1(a0，b0)的右
4、焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则的值为()A1 B2C D解析：选A由已知得右焦点F(c,0)(其中c2a2b2，c0)，A1(a,0)，A2(a,0)，且不妨取B，C，从而，又A1BA2C，所以0，即(ca)(ca)0，化简得1.9设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且CBA，若|AB|4，|BC|，则椭圆的两个焦点之间的距离为()A. B.C. D.解析：选A不妨设椭圆的标准方程为1(ab0)，如图，由题意知，2a4，a2，CBA，|BC|，点C的坐标为(1，1)，点C在椭圆上，1，b2，c2a2b24，c，则椭圆的两个焦
5、点之间的距离为.10(2017贵阳检测)双曲线1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B依题意，注意到题中的双曲线1的渐近线方程为yx，且“右”区域是由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1，因此题中的双曲线的离心率e，选B.11已知F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，点A是椭圆上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，|2，若椭圆的离心率为，则直线OA的方程是()Ayx ByxCyx Dyx解析：选B设A(xA，yA)，又F2(c,0)，所以
6、(xA，yA)(c,0)cxAc2，因为c0，所以xAc，代入椭圆方程得1，解得yA，故kOA，又，所以kOA，故直线OA的方程是yx.12(2017南昌一模)抛物线y28x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1x24|AB|，则AFB的最大值为()A. B.C. D.解析：选D由抛物线的定义可得|AF|x12，|BF|x22，又x1x24|AB|，得|AF|BF|AB|，所以|AB|(|AF|BF|)所以cos AFB2，而0AFB0)的渐近线方程为yx，则其焦距为_解析：由渐近线方程为yx可得，解得a，故c2，故焦距为4.答案：414设F1，F2分别为
7、椭圆1的左、右焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为_解析：不妨设点P(x1，y1)为第一象限内的一点，由题意可得a29，b25，则有c2a2b2954，因为线段PF1的中点在y轴上，故x12，即P(2，y1)，代入椭圆1得1，解得y1，即|PF1|，|PF2|，故.答案：15已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M为抛物线C上一点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9，则p_.解析：因为OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，所以OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由外接圆的面积为9，得外接圆半径为3，又圆心在线段OF的垂直平
8、分线上，|OF|，所以3，解得p4.答案：416已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，交双曲线于点M且2，则双曲线C的离心率为_解析：由题意得双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，则直线F2H的方程为y0(xc)，代入渐近线方程yx可得H，由2，可得M，把M点坐标代入双曲线方程1，即1，整理可得ca，即离心率e.答案：二、能力拔高练1已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：选A圆C：x2y26x50可
9、化为(x3)2y24，圆心C(3,0)，圆的半径为2.又双曲线的右焦点为圆C的圆心，而双曲线1(a0，b0)，a2b29，又双曲线的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，而双曲线的渐近线方程为：yxbxay02，由解得该双曲线的方程为1.故选A.2(2018届高三武汉调研)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为()A6 B3C. D.解析：选A设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a，半焦距为c，依题意知2a2a4c，4246，当且仅当c2a时取“”，故选A
10、.3已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若AOB的面积为，则抛物线的准线方程为()Ax2 Bx2Cx1 Dx1解析：选D因为e2，所以c2a，ba，双曲线的渐近线方程为yx，又抛物线的准线方程为x，将x代入yx，得y，不妨取A，B，在AOB中，|AB|p，点O到AB的距离为，所以p，所以p2，所以抛物线的准线方程为x1，故选D.4(2018届高三湘中名校联考)过双曲线1(a0，b0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|CD|，则双曲线离心率的取值范围为()A
11、.B.C. D.解析：选B将xc代入1得y，不妨取A，B，所以|AB|.将xc代入双曲线的渐近线方程yx，得y，不妨取C，D，所以|CD|.因为|AB|CD|，所以，即bc，则b2c2，即c2a2c2，即c2a2，所以e2，所以e，故选B.5双曲线C：y21的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2，且交双曲线C的右支于A，B两点(点A在点B上方)，若OA2OB3OF10，则直线l的斜率k_.解析：由题意知，双曲线的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：yk(x2)，代入双曲线方程整理可得(13k2)x212k2x12k230，x1x2，x1x2.230，x12x260，由可得k或k(舍去)答案：6已知抛物线y28x，过点M(1,0)的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|AF|6，O为坐标原点，则OAB的面积是_解析：抛物线y28x的准线方程为x2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A作准线的垂线AH，如图，由抛物线的定义可知，|AF|AH|6，x126，x14，y14，设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，由得k2x2(2k28)xk20，x1x21，x2，y2，OAB的面积SOABSAOMSBOM|y1|1|y2|1(4).答案：8
