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1、【2019最新】精选高考数学大一轮复习第八篇平面解析几何第5节抛物线习题理【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的定义与应用4,5,6,8,10抛物线的标准方程及应用1,2,3直线与抛物线的位置关系7,12,14抛物线的综合应用9,11,13基础对点练(时间:30分钟)1.(2016重庆南开中学月考)抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为(C)(A) (B) (C)2 (D)41412解析:焦点到准线的距离d=p=2.故选C.2.(2017四川巴中一诊)若坐标原点到抛物线y=mx2的准线的距离为2,则m等于(D)(A)8 (B)8 (C) (D)1418解析:将其化为标准方程:x2=y,1m所以|
2、=2m=,故选D.14m183.(2016陕西西安质检)若抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于(A)54(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:因为2p=1,故=,p214而|AF|=x0+=x0,1454解之得x0=1,故选A.4.(2017河南百校联盟质检)已知抛物线C:y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为54,且|AF|2,则A点到原点的距离为(B)(A)3 (B)4 (C)4 (D)423解析:设A(x,y),则=y=4或y=1(舍),x+1y54y24+1y54所以A(4,4)到原点的距离为4,选B.25.(20
3、17湖北黄石调研)过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若A,B两点的横坐标之和为,则|AB|等于(D)103(A) (B) (C)5 (D)133143163解析:|AB|=|AF|+|BF|=(xA+1)+(xB+1)=(xA+xB)+2=+2=.103163故选D.6.(2016广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y=x2上,且与直线y+3=0相切,则此圆恒过定点(C)112(A)(0,2)(B)(0,-3)(C)(0,3)(D)(0,6)解析:直线y+3=0是抛物线x2=12y的准线,由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y=-3的距离与到焦点(0,3)的距离相等,所以此
4、圆恒过定点(0,3).7.(2017重庆巴蜀中学月考)已知抛物线y2=4x焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A,B,O为坐标原点,若AOB的面积为4,则|AB|等于(D)(A)6 (B)8 (C)12 (D)16解析:设A(,y1),B(,y2),F(1,0),y124y224所以=y1y2=-4,y2y224-1y1y124-1由AOB的面积为4得|y1-y2|1=4+=56,12y12y22因此|AB|=+2=16,选D.y12+y2248.(2016豫南九校联考)已知点P是抛物线x2=4y上的动点,点P在x轴上的射影是点Q,点A的坐标是(8,7),则|PA|+|PQ|的最小值为(C)(A
5、)7 (B)8 (C)9 (D)10解析:抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,根据抛物线的定义知,|PF|=|PM|=|PQ|+1.所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1|AF|-1=-1=10-1=9.82+(7-1)2当且仅当A,P,F三点共线时,等号成立,则|PA|+|PQ|的最小值为9.故选C.9.导学号 18702477已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,双曲线x2-=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM垂直,则实数a=.y2a解析:抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)到其焦点的距离d=1+=
6、5,p2所以p=8,抛物线方程为y2=16x,设点M(1,4),点A(-1,0),kAM=2,4-01-(-1)所以-=-,a12即a=.14答案:1410.(2016山西忻州模拟)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是.解析:由题意知,圆x2+(y-4)2=1的圆心为C(0,4),半径为1,抛物线的焦点为F(1,0),根据抛物线的定义,点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点F的距离之和,因此|PQ|+|PF|PC|+|PF|-1|CF|-1=-1.17答案
7、:-117能力提升练(时间:15分钟)11.导学号 18702478设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为R,过抛物线C上一点P作准线l的垂线,垂足为Q,若QRF的面积为2,则点P的坐标为(A)(A)(1,2)或(1,-2)(B)(1,4)或(1,-4)(C)(1,2) (D)(1,4)解析:设点P的坐标为(x0,y0),因为QRF的面积为2,所以2|y0|=2,即|y0|=2,12所以x0=4=1,14所以点P的坐标为(1,2)或(1,-2).故选A.12.(2017湖北襄阳月考)已知直线l:y=k(x+1)(k0)与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且A,B两点在抛物线
8、C准线上的射影分别是M,N,若|AM|=2|BN|,则k的值是(C)(A) (B) (C) (D)213232322解析:设B(x,y),直线y=k(x+1)过定点(-1,0),由|AM|=2|BN|得A(2x+1,2y),所以y2=4x,4y2=4(2x+1),解得x=12,y=2,k=.故选C.2-012-(-1)22313.(2017湖南长沙摸底测试)抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x2-y2=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.解析:抛物线准线为y=-,代入双曲线得|x|=,焦点F(0,),故=,解得p=2.p21+p24p2p1+p2433答案:23
9、14.导学号 18702479已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.(1)若=3,求直线AB的斜率;AFFB(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.解:(1)依题意可设直线AB:x=my+1,联立得y2-4my-4=0,x=my+1,y2=4x设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=-4,因为=3,AFFB所以y1=-3y2,所以m2=,13所以AB的斜率为或-.33(2)SOACB=2SAOB=2|OF|y1-y2|12=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=4,1
10、6m2+16当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值为4.好题天天练1.导学号 18702480已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,点E在C的准线上,且在x轴上方,线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q(-1,),与C交于点P,则点P的坐标为(D)32(A)(1,2) (B)(2,2)2(C)(3,2)(D)(4,4)3解题关键:设出E点坐标,利用|EQ|=|QF|解出E点坐标,再利用kEF与kQP的关系写出QP方程,联立方程组求解.解析:由题意,得抛物线的准线方程为x=-1,F(1,0).设E(-1,y),因为PQ为EF的垂直平分线,所以|EQ|=|FQ|,即y-=,解得y=4,32(-
11、1-1)2+(32)2所以kEF=-2,kPQ=,4-0-1-112所以直线PQ的方程为y-=(x+1),3212即x-2y+4=0.由解得x-2y+4=0,y2=4x,x=4,y=4,即点P的坐标为(4,4),故选D.2.导学号 18702481抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB=120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为(A)|MN|AB|(A) (B)1 (C) (D)233233解析:设|AF|=a,|BF|=b,作AQ,BP垂直准线于Q,P,由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos 120=a2+b2+ab,所以=,当且仅当a=b时等号成立,|MN|AB|12(a+b)a2+b2+ab12(a+b)3ab12(a+b)3(a+b2)212(a+b)32(a+b)33即的最大值为.故选A.|MN|AB|338 / 8
