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1、第三节圆的方程2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。2015，全国卷，14,5分(圆的方程)2015，全国卷，7,5分(圆的方程)2015，江苏卷，10,5分(圆的方程)2014，陕西卷，12,5分(圆的方程)以选择填空形式出现，难度不大，主要考查圆的方程(标准方程、一般方程)及圆的有关性质。微知识小题练自|主|排|查1圆的定义(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。(2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。2圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，其中(a，b)为圆心坐标，
2、r为半径。3圆的一般方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F0，其中圆心为，半径r。4点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种。圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2r2。微点提醒1解答圆的问题的关键注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算。2二元二次方程表示圆的条件对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一条件。小|题|快|练一 、走进教材1(必修2P132A组T3改编)以点(3，1)为圆心，并且与直线3x4
3、y0相切的圆的方程是()A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)22D(x3)2(y1)22【解析】设圆的方程是(x3)2(y1)2r2。因为直线3x4y0与圆相切，所以圆的半径r1，因此，所求圆的方程为(x3)2(y1)21。故选A。【答案】A2(必修2P124A组T4改编)已知圆C经过A(5,2)，B(1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_。【解析】因为圆心在x轴上，设圆心为(a,0)，所以圆的方程为(xa)2y2r2。又因为A(5,2)，B(1,4)在圆上。所以解得a1，r220。所以圆的方程为(x1)2y220。【答案】(x1)2y220二、双基查验1
4、(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A BC. D2【解析】由已知可得圆的标准方程为(x1)2(y4)24，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d1，解得a。故选A。【答案】A2方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是()Aa2或a Ba0C2a0 D2a【解析】方程表示圆，则a2(2a)24(2a2a1)0，2a。故选D。 【答案】D3若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A1a1 B0a1Ca1或a1 Da1【解析】点(1,1)在圆内，(1a)2(1a)24，即1a1。故选A。【
5、答案】A4(2016浙江高考)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_。【解析】由题可得a2a2，解得a1或a2。当a1时，方程为x2y24x8y50，表示圆，故圆心为(2，4)，半径为5。当a2时，方程不表示圆。【答案】(2，4)55(2016天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_。【解析】设圆心为(a,0)(a0)，则圆心到直线2xy0的距离d，得a2，半径r3，所以圆C的方程为(x2)2y29。【答案】(x2)2y29微考点大课堂考点一 求圆的方程【典例1】根据下列条件，求圆的
6、方程：(1)经过P(2,4)、Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)。【解析】(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0。设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6有D24F36，由、解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0。故所求圆的方程为x2y22x4y80，或x2y26x8y0。(2)解法一：如图，设圆心(x0，4x0)，依题意得1，x01，即圆心坐标为(1，4)，半径r2，故圆的方程为(x1)2(y4)28。解法二：设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，根据已
7、知条件得解得因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28。【答案】(1)x2y22x4y80或x2y26x8y0(2)(x1)2(y4)28反思归纳1.直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。2待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值。【变式训练】(1)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22(2)经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2xy30上
8、的圆的方程为_。【解析】(1)设圆心坐标为(a，a)，则，即|a|a2|，解得a1，故圆心坐标为(1，1)，半径r，故圆的方程为(x1)2(y1)22。(2)设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则可得a4，b5，r210。所以圆的方程为(x4)2(y5)210。【答案】(1)B(2)(x4)2(y5)210考点二 与圆有关的最值问题多维探究角度一：斜率型、截距型、距离型最值问题【典例2】已知实数x，y满足方程x2y24x10，则的最大值为_，最小值为_。【解析】如图，方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆。设k，即ykx，当圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时，即直线
9、与圆相切，斜率取得最大、最小值。由，解得k23，kmax，kmin，(也可由平面几何知识，得OC2，CP，POC60，直线OP的倾斜角为60，直线OP的倾斜角为120)【答案】【母题变式】1.在本典例条件下，求yx的最小值和最大值。【解析】设yxb，则yxb，仅当直线yxb与圆切于第四象限时，截距b取最小值，切于第一象限时，截距b取最大值，由点到直线的距离公式，得，即b2，故(yx)min2，(yx)max2。【答案】(yx)min2，(yx)max22在本典例条件下，求x2y2的最大值和最小值。【解析】x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处
10、取得最大值和最小值(如图)。又因为圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值为(2)274。【答案】(x2y2)max74，(x2y2)min74角度二：与圆有关的范围问题【典例3】设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_。【解析】如图，过点M作O的切线，切点为N，连接ON。M点的纵坐标为1，MN与O相切于点N。设OMN，则45，即sin，即。而|ON|1，所以|OM|。因为M为(x0,1)，所以，所以x1，所以1x01，所以x0的取值范围为1,1。【答案】1,1反思归纳1.形如的最值问题，可转化为过定点的动直线的
11、斜率的最值问题。2形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解。3形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题。4与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解。否则可用代数法转化为函数求最值。【变式训练】(2016邯郸二模)已知圆O：x2y28，点A(2,0)，动点M在圆上，则OMA的最大值为_。【解析】设|MA|a，因为|OM|2，|OA|2，由余弦定理知cosOMA2，当且仅当a2时等号成立，OMA，即OMA的最大值为。【答案】考点三 与圆有关的轨迹问题【典例4】已知圆x2y24上一定点A(2,0)，
12、B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点。(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程。【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)。因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24。故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21。(2)设PQ的中点为N(x，y)。在RtPBQ中，|PN|BN|。设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24。故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10。【答案】(1)(x1)2y21(2)x2y2xy
13、10反思归纳求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：1直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。2定义法：根据圆、直线等定义列方程。3几何法：利用圆的几何性质列方程。4代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等。【变式训练】已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点。(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积。【解析】(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4。设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)。由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，
