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1、东北师大附属中学高三第一轮复习导学案二次函数A 作者： 日期：二次函数一、知识梳理二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征 从解析式出发，可以进行纯
2、粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法1、二次函数解析式的三种形式一般式：顶点式：零点式：存在零点，则有2、二次函数的图象和性质 （1）、二次函数的图象是一条抛物线，抛物线 的对称轴是 ，顶点的坐标 ，因此对任意的实数x，都有 。当a0 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最小值 。当a0,或ax2+bx+c0=00）的图象二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根x1,2=-bb2-4ac2ax1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c0
3、（a0）的解集(-,x1)(x2,+)x|-b2aRax2+bx+c0）的解集(x1, x2)二、题型探究探究一二次函数的最值问题例1：已知a2,求函数f(x)=x2+ax+3 (-1x1)的最大值与最小值。探究二 二次函数与一元二次方程例2若函数是偶函数，则函数的最小值为 解：二次函数是偶函数，其图像关于轴对称函数的最小值为练习1. 若二次函数的图像的对称轴是轴，则实数的值是 解：由已知解得探究三 二次函数与导数例3 已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 .解：由得，即，切线方程为，即例4.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 解：由已知，而，探究四 二次函数与恒
4、成立问题例5.若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是 解：由已知对一切实数恒成立（1）当时，满足题意；（2）当时，只须解得由（1）、（2）得练习：若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是 解：由已知对一切实数恒成立（1）当时，满足题意；（2）当时，只须解得由（1）、（2）得探究四 二次函数综合应用题例5. 已知二次函数和函数，（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；（2）若方程有两个不等的实根，求证：函数在上是单调函数.解：（1）为偶函数, ,，即,. . 的定义域为,且 , 函数为奇函数.（2）由,得 ，由，且, 得,即 函数在上是单调函数.练习1.已知二次函数的图像过点，且得解集为（1
5、）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）求函数在上的最值解：由已知设二次函数，其中将点带入，解得（1），要使在区间上单调递增，只须，解得；（2）由，得，函数在上的最大值为0，最小值为例6 设为实数,记函数的最大值为,求.解: (1) 若,则, .(2) 若,则,当时，由知在上单调递增，；当时， 若，即，则，若，即，则，若，即，则.综上所述：=.思考： 设为实数，记函数的最大值为，求.分析: 令，则， .函数的定义域为, .，.由题意知即为函数，的最大值，化归为例2求解.或由函数的定义域为，可令，则，又令，则，练习1. 设为实数，函数（1）若，求实数的取值范围； （2）求的最小值解：（1）
6、若，则（2）当时， 当时， 综上例7.已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=1处取得最小值m1(m).设函数(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值；(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.解：（1）设，则； 又的图像与直线平行，即 又在取最小值， ，即，； 设，则 ，解得或 ；21世纪教育网 （2）由， 得 当时，方程有一解，函数有一零点； 当时，方程有二解，若， 函数有两个零点；若，函数有两个零点； 当时，方程有一解, , 函数有一零点 21世纪教育网 练习1.已知关于的二次方程（1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求实数的取值范围；（2）
7、若方程两根均在区间内，求实数的取值范围解:设二次方程所对应的函数为（1）要使方程的两根一根在区间内，另一根在区间内，由根的分布知识得解得；（2）要使方程两根均在区间内，由根的分布知识得解得即 备用己知，（1）（2），证明：对任意，的充要条件是；证明：（1）依题意，对任意，都有（2）充分性：必要性：对任意三、方法提升：1、关于二函数根的分布问题，主要采用连续函数根的存在性定理，并结合函数的单调性来解决问题，这与后面利用导数来解决根的个数问题方法一致。2、利用二函数求最值是一种重要的方法，尤其在解析几何中求最值问题应用软较多，3、韦达定理的使用是为了从整体上解决问题，利用根与系数的关系，节省计算过
8、程，类似高中采取整体法处理问题的题目还是很常见的。4、含有二次不等式的讨论问题原则有两个，一是讨论二次项系数的正负，二是讨论两个根的大小，通常这类问题所给代数式都 是可以分解因式的，在解决问题的过程 中要先考虑分解因式。四、反思感悟 五课时作业三个二次问题（二次函数、不等式、方程）1. 解关于的不等式：(1) x2(a1)xa0，(2) 2 设集合A=x|x23k22k(2x1)，B=x|x2(2x1)kk20，且AB，试求k的取值范围 3不等式(m22m3)x2(m3)x10的解集为R，求实数m的取值范围 4已知二次函数yx2pxq，当y0时，有x，解关于x的不等式qx2px10 5若不等式
9、的解集为，求实数p与q的值 6. 设，若，, 试证明：对于任意，有.7.（经典题型，非常值得训练） 设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.8. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.9. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.10.已知实数t满足关系式 (a0且
10、a1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)若x(0,2时，y有最小值8，求a和x的值.11.如果二次函数y=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.12.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m0,求证：(1)pf()0;(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=1602x,生产x件的成本R=500+30x元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？14. 已知a、b、c是实数，函数f(x)ax2bxc，g(x)axb，当1x1时，|f(x)|1(1)证明：|c|1；(2)证明：当1x1时，|g(x)|2；15. 设二次函数，方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称，证明：.16. 已知二次函数，设方程的两个实数根为和. （1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，求的取值范围.17. 设,，,求证：() a0且21；()方程在（0，1）内有两个实根.
